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12指数函数、对数函数与幂函数(1)



12 指数函数、对数函数与幂函数(1) 一、基础训练 1.对于任意 a ? (0,1)

(1, ??) ,函数 f ( x) ? 1 ? loga ( x ?1) 图像通过定点是




2.若函数 f ( x) ? (a ?1) x 在实数集 R 上是减函数,则 a 的取值范围是 3.设 f ( x) ? lg ?

? 2 ? ? 1 1? ? a ? , x ? ? ? , ? 是奇函数,则实数 a ? ? 1? x ? ? 2 2?




2 4.函数 y ? log 2 ? ?( x ? 2) ? 1? ? 的单调递增区间是

5.函数 y ?

log 1 ( x ? 1) 的定义域是
2



?1? 6.关于 x 的方程 ? ? ? log 1 x 的实数根的个数是 ?2? 2
7.函数 y ?

x



2x ? 1 的值域为 2x ? 1



? lg x , 0 ? x ? 10 ? 8. 已知函数 f ( x) ? ? 1 . 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c) , 则 abc 的 ? x ? 6, x ? 10 ? ? 2
取值范围是 .

二、例题精讲 例 1.比较下列各组数的大小. (1) 0.8 与 0.9
0.5

0.4



(2) 4

0.9

,8

0.48

?1? ,? ? ?2?

?1.5



(3) log 2.1 0.7 , log 2.2 0.7 .

x ?1 例 2.已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 .

(1)作出函数 y ? f ( x) 的图像; (2)若 a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,求证: 2 ? 2 ? 4 .
a c

例 3.已知函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x ?1) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 . (1)当 a ?

1 时,求函数 f ( x ) 的值域; 2

(2)当 f ( x ) 在区间 ? , ? 上为增函数时,求 a 的取值范围. 4 2

?1 3? ? ?

例 4.设函数 f ( x) ? log a (1)求 f ( x ) 的定义域;

x?b ( a ? 0, b ? 0 且 a ? 1 ) . x?b

(2)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (3)判断 f ( x ) 的单调性并加以证明.

三、巩固练习 1 .若 A ? {x | 2 ? 22? x ? 8, x ? Z }, B ? {x | ?1 ? log2 x ? 1, x ? R} ,则 A 为 . . .

? CR B? 的元素个数

2.若指数函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (?2, 4) ,则 f (?3) ? 3.若函数

f ( x) ? e?( m? x)

2

的最大值为 m ,则函数 f ( x ) 的单调增区间为

x 4.若直线 y ? 2a 与函数 y ? a ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是



四、要点回顾 1.对于指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,要能从概念、图像和性质三个方
x

面理解它们之间的联系与区别.

2.指数函数、对数函数中绝大部分问题是指数函数、对数函数与其他函数的复合函数问题,讨 论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径. 3.指数函数的底数及对数函数的真数和底数应满足的条件,要求解有关指数、对数问题时必须 予以特别重视的,如果这两类函数的底数含有参数,一般需分类讨论. 指数函数、对数函数与幂函数作业(1) 1.已知函数 f ( x) ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域为 ?1, 2? ,值域为 ? ?1,0? ,则 a ? 2.给出下列三个等式:
1 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ;○ 2 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ;○ 3 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) . ○



那么在函数 f1 ( x) ? 3x , f 2 ( x) ? lg 2x , f3 ( x) ? log 2 x , f 4 ( x) ? kx ? b ( kb ? 0 )中,不满足 其中任何一个等式的是 3.函数 y ? . .

xa x ( 0 ? a ? 1 )的值域为 x

4.已知函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? 2? x ? 1的图像关于 y 轴对称,则 f (4) ? 5. 若函数 f ( x) ? a ? 6.函数 f ( x) ? ? log 2

. .

1 是定义在 ? ??, ?1? 2 ?1
x

?1, ??? 上的奇函数,则 f ( x) 的值域是


? ?

x ?? ?? log 2 4 ??

x? ? 的最小值是 2?

7.已知函数 f ( x) ? log 2

2? x ( 0 ? a ? 1) . 2? x

(1)试判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的单调区间. (不必证明)

2 8.已知函数 f ( x ) ? log 0.5 x ? 2ax ? 3 .

?

?

(1)若 f ( x ) 的值域为 ? ??, ?1? ,试求实数 a 的值; (2)若 f ( x ) 在区间 ? ??, ?1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

?1? 9.已知 9 ? 10 ? 3 ? 9 ? 0 ,求函数 y ? ? ? ?4?
x x

x ?1

?1? ? 4 ? ? ? 2 的最大值和最小值. ?2?

x

2x 1 ) ? 1 ) (f 10. 已知函数 f ( x ) 是定义在 ??1,1? 上的奇函数, 在 x ? ? 0,1? 时,f ( x) ? x , 且 f (? 4 ?1
(1)求 f ( x ) 在 ??1,1? 上的解析式; (2)求证:当 x ? ? 0,1? 时, f ( x ) ?



1 . 2



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