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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题(教师版)



2014 福建高考文科数学第二轮专题复习 专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题

★★★高考在考什么
【考题回放】

x2 y2 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直 a b
线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. [2, ??) D.(2,+∞) 2. P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2 9 16

+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( B ) A. 6 B.7 C.8 D.9 3.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双 a 2 b2
(B)

曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: (B) (A)
2

4 3

5 3

(C) 2

(D)

7 3

5.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y22 的最小值是 32 .

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是 4 ??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 1 坐标原点, P 满足 OP ? ( OA ? OB ) , N 的坐标为 ( , ) , l 绕点 M 旋转时, 点 点 当 2 2 2 ??? ? 求(1)动点 P 的轨迹方程; (2) | NP | 的最小值与最大值.
6.设椭圆方程为 x ?
2

【专家解答】 (1)法 1:直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 记 A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点 A、B 的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 ① ?y ? kx?1

? 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0, ? 2 y2 ?1 ?x ? ② 4 ? 2k ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? k 2 , ? 所以 ? ?y ? y ? 8 . 2 ? 1 4? k2 ?
《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 1 页(共 10 页)

于是 OP ?

x ? x2 y1 ? y 2 1 ?k 4 (OA ? OB ) ? ( 1 , )?( , ). 2 2 2 2 4? k 4? k2

设点 P 的坐标为(x,y), 则

?k ? ?x ? 4 ? k 2 , ? 消去参数 k 得 4x2+y2-y=0 ? ?y ? 4 . ? 4? k2 ?



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③, 2 2 所以点 P 的轨迹方程为 4x +y -y=0 解法二:设点 P 的坐标为(x,y),因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以

x12 ?

y12 ? 1, 4
2


2

2 x2 ?

2 y2 ? 1. 4



1 2 2 ( y1 ? y 2 ) ? 0 , 4 1 所以 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. 4 y ? y2 1 ? 0. 当 x1 ? x2 时,有 x1 ? x 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 4 x1 ? x 2
④—⑤得 x1 ? x2 ?



? x1 ? x 2 , ?x ? 2 ? y ? y2 ? , 并且 ? y ? 1 2 ? ? y ? 1 y1? y2 ? x ? x ?x . 1 2 ?



将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0



当 x1=x2 时,点 A、B 的坐标为(0,2)(0,-2) 、 ,这时点 P 的坐标为

1 ( y ? )2 x 2 ? 1. (0,0)也满足⑧,所以点 P 的轨迹方程为 ? 1 1 16 4 1 1 1 2 (2)由点 P 的轨迹方程知 x ? ,即 ? ? x ? . 所以 16 4 4
2

1 1 1 1 1 7 | NP | 2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ? 4 x 2 ? ?3( x ? ) 2 ? 2 2 2 4 6 12
故当 x ?

1 1 , | NP | 取得最小值,最小值为 ; 4 4 21 1 . 当 x ? ? 时, | NP | 取得最大值,最大值为 6 6
《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 2 页(共 10 页)

★★★高考要考什么
【考点透视】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区 分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的 参数适合的不等式(组) ,通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变 量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行 巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们 的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式??0。

★★★突破重难点
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F1、 2 的距离之和为定值, 【范例 1】 已知动点 P 与双曲线 F 2 3 1 且 cos?F1PF2 的最小值为 ? . 9
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3),M、N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数?的取值范 围. 讲解

5) ,由余弦定理, 得 2 | PF1 | ? | PF2 | ? | F1 F2 | 2a ? 10 cos ?F1 PF2 ? ? ? 1. 2 | PF1 | ? | PF2 | | PF1 | ? | PF2 |
2 2 2

(1)由题意 c2=5.设|PF1|+|PF2|=2a( a ?

又 | PF1 | · PF2 |? ( |

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? a2 , 2

当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|?|PF2| 取最大值,

2a 2 ? 10 2a 2 ? 10 1 ? 1 ,令 ?1 ? ? , 2 2 9 a a 2 x y2 ? ? 1. 解得 a2=9,? c ? 5 ,∴b2=4,故所求 P 的轨迹方程为 9 4 (2)设 N(s,t),M(x,y),则由 DM ? ? DN ,可得(x,y-3) =?(s,t-3),
此时 cos?F1PF2 取最小值 故 x=?s,y=3+?(t-3). 《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 3 页(共 10 页)

∵M、N 在动点 P 的轨迹上,

s2 t 2 (?s ) 2 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ? 1, ? ? ? 1且 9 4 9 4 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2 t 2 13? ? 5 消去 s 可得 , ? 1 ? ?2 ,解得 t ? 4 6? 13? ? 5 1 又|t|?2,∴ | |? 2 ,解得 ? ? ? 5 , 6? 5 1 故实数?的取值范围是 [ ,5] . 5
【点晴】为了求参数的取值范围,只要列出关于参数的不等式,而建立不等式的方 法有多种方法,诸如:判别式法、均值不等式法、有界性法等等. 【文】 已知点 M(-2,0),N(2,0), 动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的 轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,

??? ??? ? ?

x 2 y2 所求方程为: - =1 (x?0) 2 2
(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,

? 此时 A(x0, x 0-2 ) ,B(x0,- x 0-2 ) O B , AO
2 2

?? ??

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,

x 2 y2 1 代入双曲线方程 - = 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0 2 2
依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? ? 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ? 0 ? 2kb ? ?0 解得|k|?1, ? x1 ? x2 ? 1? k 2 ? ? b2 ? 2 ?0 ? x1 x2 ? 2 k ?1 ? ??? ??? ? ? 又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) 2+b) (kx 2k 2+2 4 2 2 =2+ 2 =(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = 2 ?2 k -1 k -1 ??? ??? ? ? 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 【范例 2】给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 25 16 5 AB ? BF 取得最小值时,试求 B 点的坐标。 3
《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 4 页(共 10 页)

解析:因为椭圆的 e ?

3 5 1 1 ,所以 AB ? BF ? AB ? BF ,而 BF 为动点 B e 5 3 e

到左准线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之 和最小,过点 B 作 l 的垂线,垂点为 N,过 A 作此准线的垂线,垂点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3 于是 AB ?

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 为定值 3
5 3 , 2) 2

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB ?

5 3 5 , 2) BF 取得最小值时,B 点坐标为 ( ? 2 3

【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时,常常用圆锥曲线的定义化 折为直,是一种简便而有效的好方法。 【文】点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 y2=4x y 的焦点,点 P 在抛物线 y2=4x 上移动,若|PA|+|PF| A 取得最小值,求点 P 的坐标。 2 解:抛物线 y =4x 的准线方程为 x=-1, P d 设 P 到准线的距离为 d,则|PA|+|PF|=|PA|+d。 O F 要使|PA|+|PF|取得最小值,由图 3 可知过 A 点 x 的直线与准线垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,把 y=2 代入 y2=4x,得 P(1,2) 。
X=1
2 2

【范例 3】已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆

图3

x ? y 2 ? 1 上移动,试求|PQ|的最大值。 9

2

解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ| 的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ① 因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2) ②

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ? 1 因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 y ? 时, O1Q max ? 3 3 2 此时 PQ max ? 3 3 ? 1
2 2 2

2

【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关; 2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的 有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ....................... 【文】设 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点, 2 a

《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 5 页(共 10 页)

求|PQ|的最大值。 解: 依题意可设 P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y-1)2 ,又因为 Q 在椭圆上, 所以 x2=a2(1-y2) , |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2 1 1 =(1-a2)(y- )2- +1+a2 . 1-a2 1-a2 a2 a2-1 1 1 |≤1, 当 y= 时, |PQ|取最大值 2 ; 1-a2 1-a2 a -1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2. 因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| 【范例 4】已知△OFQ 的面积为 2 6 , OF ? FQ ? m (1)设 6 ? m ? 4 6 ,求?OFQ 正切值的取值范围; (2) 设以 O 为中心, 为焦点的双曲线经过点 Q F (如图) | OF |? c, m ? ( , 当 | OQ | 取得最小值时,求此双曲线的方程。 解析: (1)设?OFQ =?

??? ??? ? ?

??? ?

????

6 ? 1)c 2 4

??? ? ??? ? ?| OF | ? | FQ | cos(? ? ? ) ? m 4 6 ? ? tan ? ? ? ? ??? ? ? 1 ??? m ? ? | OF | ? | FQ | sin ? ? 2 6 ?2

? 6 ? m ? 4 6??? ?4 ? tan ? ? ?1
(2)设所求的双曲线方程为

??? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), Q( x1 , y1 ),?则FQ ? ( x1 ? c, y1 ) ? a2 b ? 4 6 1 ??? ∴ S?OFQ ? | OF | ? | y1 |? 2 6 ,∴ y1 ? ? c 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 6 ? 1??c 2 又∵ OF ? FQ ? m ,∴ OF ? FQ ? (c, 0) ? ( x1 ? c, y1 ) ? ( x1 ? c) ? c ? ( 4 ???? 6 96 3c 2 ? x1 ? c,????| OQ |? x12 ? y12 ? ? ? 12. 4 c2 8 ???? 当且仅当 c=4 时, | OQ | 最小,此时 Q 的坐标是 ( 6, 6) 或 ( 6, ? 6) ?6 6 ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? ? ?1 ? ? ? a 2 b2 ?????? ? 2 ? ? 1. ,所求方程为 4 12 ?b ? 12 ? ?a 2 ? b 2 ? 16 ?
【点晴】 当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时, 可通过建立目标函数, 求其目标函数的最值,求函数最值的常用方法有:一元二次函数法、基本不等式法、判 别式法、定义法、函数单调性法等。 【文】已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ?

9 2 ,且离 4

《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 6 页(共 10 页)

心率 e 满足:

2 4 , e, 成等差数列。 3 3 1 2

(1)求椭圆方程; (2) 是否存在直线 l, l 与椭圆交于不同的两点 M、 且线段 MN 恰被直线 x ? ? 使 N, 平分,若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。 (1)解:依题意 e ?

2 2 a2 9 2 2 ,? ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4 9 2 4

∴a=3,c=2 2 ,b=1, 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x ?
2

1 2 y ?1 9
1 平分 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0 ?1 ?x ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, ∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0 即 m2-k2-9<0 ①

x1 ? x2 ?km 1 ? 2 ?? 2 k ?9 2 2 2 (k ? 9) ? (k 2 ? 9) ? 0 把②代入①式中得 2 4k ∴k> 3 或 k<- 3 ? ? ? 2? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ?

?m ?

k ?9 2k
2



★★★自我提升
1.设 AB 是过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦,椭圆的左焦点为 F1(-c,0), a 2 b2
C.ac D.b2

则△F1AB 的面积最大为( A ) A.bc B.ab

2.已知 A(3,2) 、B(-4,0) 是椭圆 ,P 大值为( C ) A.10

x2 y2 ? ? 1 上一点,则|PA|+|PB|的最 25 9

B. 10 ? 5 C. 10 ? 5 D. 10 ? 2 5 《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 7 页(共 10 页)

3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ,过其右焦点 F 的直线 l 交双曲线于 AB,若|AB|=5,则 16 9

直线 l 有( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 4.已知点 P 是抛物线 y =4x 上一点,设 P 到此抛物线的准线的距离为 d1, 到直线 x+2y+10=0 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 ( C ) A.5 5.设 F 是椭圆 B.4 C.

11 5 5

(D)

11 5

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2, 7 6

3,…) ,使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为____

[?

1 1 ,0) ? (0, ] . 10 10

1 6.抛物线 y2=2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为__________ ( ,1) 2

7.如图,已知 A、B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个顶点, 16 9

C、D 是椭圆上两点,且分别在 AB 两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值是_______ 12 2

x2 y 2 ? ? 1 的一段围成封闭图形,点 8.如图 3,抛物线 y =4x 的一段与椭圆 4 3
2

N(1,0)在 x 轴上,又 A、B 两点分别在抛物线及椭圆上,且 AB//x 轴,求△NAB y 的周长 l 的取值范围。 解:易知 N 为抛物线 y2=4x 的焦点,又为椭圆的右焦点, 抛物线的准线 l1:x=-1,椭圆的右准线 l2:x=4, 过 A 作 AC?l1 于 C,过 B 作 BD?l2 于 D, A B 则 C、A、B、D 在同一条与 x 轴平行的直线上。 O N ? y2 ? 4x 由 ? x2

?

2 ,得抛物线与椭圆的交点 M 的横坐标 x ? y2 3 ?1 ? ? 3 ?4 1 而|BN|=e|BD|= |BD|,|AN|=|AC| 2
∴△NAB 的周长 l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|

x

图 3

1 1 |BD|=|BC|+|BD|- |BD| 2 2 1 1 =|CD|- |BD|=5- |BD| 2 2 2 1 5 ? 4 ? 2 ?| BD |? 4 ? ,即 1 ? | BD |? 3 2 3
=|BC|+ 《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 8 页(共 10 页)

?

10 10 ? l ? 4 ,即 l 的取值范围为( ,4) 3 3

9.求实数 m 的取值范围,使抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称 解法 1:设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x-3)对称,A,B 中点 M(x,y), 则当 m=0 时,有直线 y=0,显然存在点关于它对称。

? y12 ? x1 y ? y2 1 1 1 ? ? 1 ? ? ?? 当 m?0 时, ? 2 x1 ? x2 y1 ? y2 2 y m ? y2 ? x2 ?
所以 y ? ?

m ?5 m? ,所以 M 的坐标为 ? , ? ? ,∵M 在抛物线内, 2 ?2 2 ?
2

5 ? m? 则有 ? ? ? ? ,得 ? 10 ? m ? 10 且 m?0,综上所述, m ? ? 10, 10 2 ? 2?
方程为 x=-my+b,与方程 y2=x 联立,得 y2+my-b=0 所以 y1+y2= -m,即 y ? ?

?

?

解法 2:设两点为 A(x1,y1),B(x2,y2),它们的中点为 M(x,y),两个对称点连线的

? ??

m , 2
?5 m? ,? ? ?2 2 ?

又因为中点 M 在直线 y=m(x-3)上,所以得 M 的坐标为 ?

5 m2 又因为中点 M 在直线 x=-my+b 上, b ? ? , 2 2 对于 ? ?? ,有?=m2+4b=10-m2>0,所以 ? 10 ? m ? 10 。
10.已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,动点 P 与 A、B 两点连线的斜率分别为 kPA 和 kPB, 且满足 kPA?kPB=t (t≠0 且 t≠-1). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) t<0 时, 当 曲线 C 的两焦点为 F1, 2, F 若曲线 C 上存在点 Q 使得∠F1QF2=120O, 求 t 的取值范围. 解:(1) 设点 P 坐标为(x,y),依题意得

y y =t ? y2=t(x2-4) ? x?2 x?2 2 2 2 x x y y2 + =1,轨迹 C 的方程为 + =1(x≠ ? 2). ? 4 ? 4t 4 ? 4t

(2) 当-1<t<0 时,曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 r1+ r2=2a=4. 在△F1PF2 中,|F1F2|=2c=4 1 ? t , ∠F1PF2=120O,由余弦定理得 4c2=r 1 +r 2 -2r1r2cos120?= r 1 +r 2 + r1r2= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-( ∴16(1+t)≥12, 所以当- ∴t≥-
2 2 2 2

r1 ? r2 2 2 ) =3a , 2

1 . 4

1 ≤t<0 时,曲线上存在点 Q 使∠F1QF2=120O 4

《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 9 页(共 10 页)

当 t<-1 时,曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 r1+ r2=2a= -4t, 在△F1PF2 中,|F1F2|=2c=4 ?1 ? t .∠F1PF2=120O,由余弦定理得 4c2=r 1 +r 2 -2r1r2cos120?= r 1 +r 2 + r1r2= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-(
2 2 2 2

r1 ? r2 2 2 ) =3a , 2

∴16(-1-t)≥-12t, ∴t≤-4. 所以当 t≤-4 时,曲线上存在点 Q 使∠F1QF2=120O 综上知当 t<0 时,曲线上存在点 Q 使∠AQB=120O 的 t 的取值范围是

?? ?,?4? ? ?? 1 ,0 ? . ? ?
? 4 ?
文章来源: 福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分, 就上福州五佳教育)

《专题 14 圆锥曲线中的最值和范围问题》第 10 页(共 10 页)



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