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构造法证明不等式例说



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禹 三  
( 数 学 教学 通 讯) 学 生版 2 ( ] O O年第 3 期 
3 /  

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构 造 法 证 明 不 等 式 倒 说 
( 河北省 乐亭=中 0 6 3 6 0 0 ) 垫查叠 
不 等 式 证 明是 中 学 数 学 的 难 点 之 一 . 由  于 不等 式 的形 式 与 结构 千 变 万 化, 因 而 方 法  灵活、 证法 独特 、 技巧性强. 本 文 列 举 数 例 介  绍 构造 法在 证 明不 等式 中的应用 .   1 构造 对偶 式  根 据 问题 的整 体 结 构 , 构 造 一 些 与 它 有  内在 联 系 的辅 助 对 偶 式 , 然 后 经 过 某 些运 算 ,   促使 问题 的转化 与解 决, 完成不 等式 证 明 .  
例 1 设   >O (   =l , 2 . …,  ) , 且 1 +   2 +… +   =1 , 求证 :  

G   I  .  

2 构造对 偶不 等式 
根 据 已知 不 等 式 结 构 , 构 造 一 个 与 之 对  称 的不等 式 . 然后联 立原 不等式 , 完 成 不 等 式 
的证 明.  

例 2 若  为 锐角 . 求证:  

s l n 8

+j- +— 1 —

  一 9

 ̄ o s 8   s i nO o o s O   ,  2 ’ .  

证 明:’ . ’  

+  

+  

> 

3 /  
立) .  

( 1 ) ( 由 于s i n O  s  c 0 s 口 和  

1 十   2  




2 ; 2+ 1 3

+ . - . +  十   l  Z ≥ {   .  

c o s O=s l n O c o s O不 能 同 时 成 立 , 所 以“ =” 不 成  仿( 1 ) 结构 构 造 不 等 式 如 下 :  
。 。

证 明 : 设 M =   譬   +  ̄ 立 2 + I 3 + … +  
』 L 
+ z l’  





m _ 2 0  0 0   =L 


. .

2=1+s i f I 2 口+∞6 2 口> 3   s i T   口 ? c o s 2 0  

构造 M 的对偶 式 为 :  

( 由于  n 2 口=1和 c o s 2 8= 1不 能 成 立 . 所 
“ =

互 N =






1 2+ I 3

” 不成立 ) .  

+ - - -+

I+  ̄2

熹 
、 +  
=o  

上 述两个 同 向不等 式相乘 得 :  
2 (   +   +   >9 ) ,  



. M




— N :

圭   +垂  

2  

即 
r I- - X2+ . r 2- -i t 3 +. - . +而 一

+  

+  



,  9
.  


. .

i V / =N .  

3 构造 局部不 等式  时  有些 不等 式 的 证 明, 从 整 体 上 考虑 难 下  手, 如果构 造若干 个结 构相 同的新 不等 式 , 将  例 3 设  1 、 / 2 、 …、   是正 数 , 求证:  


当 注 意 到 公 式  z +6   ≥ 
… :

掣 J r " + 掣
1十 z 2  

X2十 I3  

乘) , 即得证 所求 不等式 .   + . . . + 掣   这 些不 等式相 加(
1。J C 1  

≥ 


+  

+- . - +  

+  
z2  

蕉 +… +盛   +矗 ≥ , +
13   z 1   一  

- r2 +

…  

+如 : 1 ,  

即2 M ≥ 1 , 故M ≥ { .  

+ 晶

.  

证明: 由重要不 等式 , 构造局 部不 等式如 

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1 6-   重 庆 

( 数学 教学 通 讯) 学 生版 砌

年 第 3期 

瞄 

> 0,  

兰  > / 2 x 1 ,  

+) , >  鼬 n。?   瞄 

耋  ≥ 2 恐 ,  
+x . > /- 2x.-l '  
一2  

5 构 造函 数 法  有些 不 等 式 可 以 和 函 数 建 立 直 接 联 系 ,   通 过构造 函数式 . 利用 函数 的有关特 性 . 完 成  不等 式证 明 .   例 6 已知 J   n   J <1 , J   b   J <1 . J   c   J <1 , 求 
证: 如 +2> n +b+c.  

三 苎 + z 1 /2 > x . .  
将 上述   个 式 子 相 加 得 :  

证明 : 构 造 函数 , ( z) =(   一1 ) z+2一b  
— C,

要 2   + 耋 z 3 + - - - + 等+ — 弓 t     1  一  一 一   一  
+  .  

这里 J   bI <1 . f   c   J <1 , f z   J <1 。 则  < 1 .  



‘ , ( 一1 ) =1 一   + 2一 b— C =( 1一   )  

+( 1 一b ) +( 1 一C ) >0 ,   , ( 1 ) =b c一 1+2一 b — f: ( 1一 b) ( 1一  
c) > 0.  

. .


倒 4 已知 。 I 、 。 2 、 …、 n  为 n 个 正 数 ,   且 Ⅱ 1 “ 2 …? ? Ⅱ   =1 , 求证 : ( 2+n I ) ? ( 2+n 2 ) ?  
… ?

( 2 +Ⅱ   ) ≥3   .  

次 函数 , ( 卫) =( b c—1 )   +2一b—  

证明: 由重 要 不 等 式 构 造 局 部 不 等 式 如 

c , z∈ ( 一1 , 1 ) 的 图 象 在 z轴 上 方 . 这 就 是  说. 当J   n   J <1 , J   bf <1 . I   c   J < 1时 , 有 
(   一1 ) Ⅱ+2一b— c >0 ,  

2 + Ⅱ l = 1 + 1 + Ⅱ l /3 > 了  ,  
2+ a2= 1+ 1+ a 2 / 3 >   ,  

即Ⅱ   +2 >Ⅱ+6+c .  
倒 7 已 知 n、 b >O . 求证 :  

2+ Ⅱ  = 1+ 1 +n  > /3  

.  
+   >  .  

将 上 述  个 同 向不 等 式 相 乘 得 :  
( 2+   1 ) ( 2+ “ 2 ) … ? ? ( 2+ Ⅱ  ) > /3  

证明: 构造 函数 , (  ) =一兰 l +一   x .易证 ,

: = 3 一 .  
4 构 造整 体 不 等 式  

, ( z )  惫  l 一 『 {   当 z > 0 时 单 调  
递增 .  
。 .

根据 问题 需要 , 直 接构 造 一 个 整体 不 等 
式 .  



Ⅱ +b+a b > d + b > 0.  







f ( a +b   a b) >, ( Ⅱ +b ) .  

例 5 若 z>0 . y>0 . 口∈R. 求证 :  
2   2 

故 

+  

=  
> 

> 
+ 6)=  

+  >   …

?   ∞。  .  

证明: 不 论 z≥ 还 是 x<y . 均 有 下 列 不  等式成 立 .  
—  

=   n+ b+  

( z  

一  s   ) ( z喵2  —  

) ≥0  

1+ Ⅱ + 占 。  

展开整 理 :  
(  
2  

6 构 造 数 列 
+   )一   a.   啷2  

+  
2  

) +   (  

通过 构造一 个 单 调 数 列, 利 用 其 单 调 有  界性, 完成不 等式证 明 .  
.   +   a .   n ,  

一z  

?  。 … ≥0 .  

即  +  ≥ 

例 8 对 任 意 自然 数   , 求证 :  

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‘ 壹 £ 学教 学最 讯 ) 学 生版 2 呻0 年第 3 期 

重 庆  ? l 7  

( 1 + 1 ) ( 1 + { ) … ? ? ( 1 +  ̄ 3 - 2 ) >  
;   .  


. .

A M +MD>2 、 / 2—1 .  

即√ 1 + z 2 +√ 1 + ( 1 一 z )   >2 √   一 1 .  
8 构 造立 体几何 囝形 

证明  构造数列{  L , 这里 

= ( 1 + 1 ) ( 1 + } ) …l ( 1 +  ̄- 3 2 ) -  
’ 

有些条 件 不等 式 , 若能 借助 式 子 的几 何  意义 . 构 造 立体 几 何图形 , 借助立体 几何 的性  质予 以证 明 . 常 使得 问题变 得简 明 易证 .  

由 



案 - 蕊 =  .  

例 1 0 已知 4 、 6、 c均 大 于 零 , 且 d  +  

6   +c   =1 . 求证 :  

蕊 3 n   + 4 : 一   ( 3 n + 2 ) 3 十 4 ) , ? 工 , ’  
‘ .

√  

+√  

+√  

+ 口+ 6 +c  

> 3.  

.   +l>   .  

证明 : 根 据 所 给条 件 d   +6   +c   。1 . 可 

即{   } 是 单调 递增 数列 . 从 而 
晶 > 晶 一l > … > z2 > zl ’  

将求 证 式 转 化 为 : 、 / d  +6  + 、 / 6   +c  +  
√c   +d  +d+6+c >3 .   构 造 一 个 长 方 

但 zt =   =   >? .  
‘ . . 

> 1.  

体, 使其 对 角 线 长 为  1 . 且 共 点 的 三 条 棱 
AA 1= d ,A 1 B I= 6,  

1 + 1 ) ( 1 + { ) . . …( 1 +   ) >  
7 构 造平面 几何图形 

Al D1 =c ( 如 图) . 则 

面 对 角 线 A B 1=   、 / d   +6   , A D 1 =  

B  

图 2  

C  

有些不 等式证 明, 可 以适 当地 构 造平 面 
几 何 图形 , 巧妙 地运用 平面几 何知识 . 化 抽象  为形象 , 达到 另辟蹊径 、 难 题 巧 证 的 目的 .   例9 若0 <z< 1 . , 求证 :  


中.  
’ .

, A l C l =  
’ ABI+ Et Ct > 
. 

, 于是在AA B 1 C  
1 .  

- .

+ c> 1.  

①  ⑦  ⑦ 

+ 

>2  

一 1.  

证明: 根 据 已 知 

同理可得 :   雨
√   +c   +d>1 .  
① +② +③ 即 得 :  

+6 >1  

条件, 构 造 一 单 位 正 
方 形 A / KD (见 右 

图) , 在B C 上 任 取 一 
点M , 连结 A M, c M,   令 B M=  . 则 A M+  
A   >A C =√2, B M 
一  

+  
+ c> 3.  
B  M  C 

7 +  

+   +6  

图 1  

即: √  
+ c > 3.  

+√ 而

+√  

+  + 6  

M D > BD =√2.  

A M+  

+B M +加 >2 √  



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