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递推数列求通项公式



高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下, 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性比较强的数列问题中, 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望 能对大家有帮助。 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? a

n ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

变式: 已知数列 {an } 中a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为 例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 例 2:已知 a1 ? 3 , a n ?1

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1 3n ? 1 ? a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2), 则{an}的通项 an ? ? 类型 3

?1 ? ___

n ?1 n?2

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 比数列求解。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 变式:(2006,重庆,文,14)

q ,再利用换元法转化为等 1? p

在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ).
*

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 1 4 2
b ?1 b ?1

4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}是等差数列;

(Ⅲ)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2
(或 an?1 ? pan ? rqn ,其

类型 4

。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

中 p,q, r 均为常数) 。 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? (其中 q n?1 q q n q

bn ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 类型 5 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )
例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消 去 S n ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

(n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例:已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,
⑴设数列 bn

), a1 ? 1 ,

? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
? an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n

⑵设数列 c n



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