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函数零点问题典例(含答案)


函数零点问题典例(含答案)
1 1、(1)求函数 f(x)=2x-2x-2 的零点; (2)已知 a, b 是实数, 1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. ①求实数 a 和 b 的值; ②设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求函数 g(x)的极值点.

2、(1)判断函数 f(x)=2-x-lg(x+1)的零点个数;
2

e2 (2)已知函数 f(x)=-x +2ex+t-1,g(x)=x+ x (x>0). ①若函数 g(x)-m 有零点,求实数 m 的取值范围; ②确定实数 t 的取值范围,使得关于 x 的方程 g(x)-f(x)=0 有两个相 异实根

3、已知函数 f(x)=2x+ln(1-x),讨论函数 f(x)在定义域内的零点个数.

4、已知函数 f(x)=x2+2mx+2m+1. (1)若函数 f(x)的两个零点 x1, x2 满足 x1∈(-1,0), x2∈(1,2), 求实数 m 的取值范围; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 的两根均在区间(0,1)内,求实数 m 的取值 范围.

2 1 5、 已知函数 f(x)=3x+2, h(x)= x. (1)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2, 求函数 F(x)的单调区间与极值; ?3 3? ? (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4?2f?x-1?-4? ?=log2h(a-x)-log2h(4 ? ? -x).

?xln x,x>0, 6、已知函数 f(x)=? ?xln?-x?,x<0. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若关于 x 的方程 kf(x)=1 恰有 3 个不同的根, 求实数 k 的取值范围.

1、分析 1 (1)求函数的零点,即求方程 2x- x-2=0 的根. 2 (2)导数值为 0 且使导函数左右异号的点是极值点.极值点一定是导函数的零 点. 【解析】 1 (1)令 2x- x-2=0, 2 x 由 2 >0,方程两边同时乘以 2x, 得(2x)2-2×2x-1=0. 由一元二次方程的求根公式,得 2x=1± 2. 由 2x>0,知 2x=1+ 2. 1 ∴函数 f(x)=2x- x-2 的零点是 x=log2(1+ 2). 2 (2)①由题设,知 f′(x)=3x2+2ax+b 且 f′(-1)=3-2a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0.解得 a=0,b=-3. ②由(1),得函数 f(x)=x3-3x.∴f(x)+2=(x-1)2(x+2). ∴方程 g′(x)=0 的根是 x1=x2=1,x3=-2. ∴函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g′(x)<0,当-2<x<1 时,g′(x)>0, ∴-2 是极值点. 又当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0,故 1 不是极值点. ∴函数 g(x)的极值点是-2.

【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化,解二次方程的 常用方法是因式分解和求根公式.注意导数的零点的意义. 2、分析 - (1)直接解方程 f(x)=0 有困难,可以作出函数 y=2 x 及 y=lg(x+1)的图象,还 可以用判定定理. (2)画出函数图象,结合最值与交点情况求解. 【解析】 - - (1)方法一:令 f(x)=0,得 2 x=lg(x+1),作出函数 y=2 x 及 y=lg(x+1)的图 象(如图 2-16-1),可知有一个交点.∴函数 f(x)的零点有且只有一个.

方法二: - 首先 x>-1,在区间(-1,+∞)上 2 x 是减函数,-lg(x+1)也是减函数, ∴函数 f(x)在区间(-1,+∞)上为减函数且连续.

1 - ∵f(0)=20-lg 1=1>0, f(9)=2 9-lg 10= 9-1<0, 2 ∴f(0)f(9)<0. ∴函数 f(x)在区间(-1,+∞)上有唯一零点.

e2 (2)①∵x>0,∴g(x)=x+ ≥2 e2=2e. x 当且仅当 x=e 时取等号. ∴函数 g(x)的值域是[2e,+∞),要使函数 g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. ②若关于 x 的方程 g(x)-f(x)=0 有两个互异的实根,即函数 g(x)与 f(x)的图象 e2 有两个不同的交点,作出 g(x)=x+ (x>0)的图象(如图 2-16-2). x

3、 【解析】 函数 f(x)的定义域为{x|x<1}且函数 f(x)在定义域内的图象是连续的. - 1 1- 2x f′(x)=2+ = (x<1). 1- x 1- x 1 令 f′(x)=0, 得 x= . 2

1 1 当 x< 时, f′(x)>0;当 <x<1 时,f′(x)<0 2 2 ? ?1 ? 1? ∴函数 f(x)在区间?-∞,2?内为增函数,在区间?2,1?内为减函数. ? ? ? ? ?1? 1 1 ∴当 x= 时, 函数 f(x)有最大值 f?2?=1+ln =1-ln 2>0. 2 2 ? ? 又 f(-2)=-4+ln 3<0, ?1? ∴f(-2)f?2?<0. ? ? ? ? 1? 1? ∴函数 f(x)在区间?-2,2?内有唯一零点,即在区间?-∞,2?内有唯一零点. ? ? ? ? -10 -10 -10 -10 又 f(1-e )=2(1-e )+ln(1-1+e )=-8-2e <0, ?1? - ∴f(1-e 10)f?2?<0. ? ? ?1 ? ?1 ? -10 ∴函数 f(x) 在区间 ?2,1-e ? 内有唯一的零点,即在区间 ?2,1? 内有唯一零 ? ? ? ? 点.∴函数 f(x)在区间(-∞,1)内有且只有两个零点.
4、 【解析】 (1)根据函数 f(x)的图象,

f?0?=2m+1<0, ? ?f?-1?=2>0, 得? f?1?=4m+2<0, ? ?f?2?=6m+5>0.

5 1 化简,得-6<m<-2.

5、 【解析】 (1)函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2=-x3+12x+9(x≥0),∴F′(x)=-3x2+12. 令 F′(x)=0,得 x=2(x=-2 舍去). 当 x∈(0,2)时,F′(x)>0;当 x∈(2,+∞)时,F′(x)<0. 故当 x∈[0,2)时,函数 F(x)为增函数;当 x∈[2,+∞)时,函数 F(x)为减函数. 故 x=2 为函数 F(x)的极大值点且 F(2)=-8+24+9=25. a- x (2) 方法一:原方程可化为 log4(x- 1)= log2 a-x - log2 4-x = log2 且 4- x ? ?x<a, ? ?1<x<4. ? 当 a≤1 时,方程无意义,即方程无解.

a- x , 得 x2-6x+a+4=0. 4- x 6± 20-4a Δ=36-4(a+4)=20-4a>0,x= =3± 5-a. 2 此时方程仅有一解 x=3- 5-a.若 4<a<5,则 Δ>0,方程有两解 x=3± 5-a; 若 a=5,则 Δ=0,方程有一解 x=3; 若 a>5,则 Δ<0,方程无解. 当 1<a≤4 时,1<x<a,由 x-1=

综上,当 a≤1 或 a>5 时,方程无解; 当 1<a≤4 时,方程有一解 x=3- 5-a; 当 4<a<5 时,方程有两解 x=3± 5-a; 当 a=5 时,方程有一解 x=3. 当 a>4 时,1<x<4,由 x-1= Δ=36-4(a+4)=20-4a.
6、 【解析】 函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (1)当 x>0 时,-x<0, ∵f(x)=xln x,f(-x)=-xln x, ∴f(-x)=-f(x). 当 x<0 时,-x>0, f(x)=xln(-x), f(-x)=-xln(-x), ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.(2)当 x>0 时, f(x)=xln x, 1 f′(x)=ln x+x· x=ln x+1. 1? ? 1 令 f′(x)<0,得 0<x<e.∴当 x∈?0,e?时, f(x)为减函数. ? ? ?1 ? 1 令 f′(x)>0,得 x>e.∴当 x∈? e,+∞?时, f(x)为增函数. ? ? 又 f(x)为奇函数,

a- x ,得 x2-6x+a+4=0. 4- x

1? ? 1 ? ? ∴当 x∈?-e,0?时, f(x)为减函数;当 x∈?-∞,-e?时, f(x)为增函数.
? ?

? ? 1? ? 1 ? ? ∴函数 f(x)的单调减区间为?-e,0?和?0,e ?, ? ? ? ? 1? ?1 ? ? 1 单调增区间为?-∞,-e?和? e,+∞?(3)原方程等价于 f(x)=k,考察函数 f(x)的图象变化, ? ? ? ?

由(2), 1? ? ?1? 1 知当 x∈?0,e ? 时, f(x)由 0 递减到 f?e ?=-e,
? ? ? ? ?1 ? ?1? 当 x∈?e ,+∞?时, f(x)由 f?e?递增到+∞, ? ? ? ? ? ? ? 1? 1 1 x∈?-∞,-e?时, f(x)由-∞递增到 f?-e?=e , ? ? ? ? ? 1 ? ? 1? 1 x∈?-e ,0?, f(x)由 f?-e ?递减到 0. ∵方程 f(x)=k 恰有 ? ? ? ?

当 当

3 个不同的根,

1 ∴函数 f(x)的图象与函数 y=k 的图象应有 3 个不同的交点. 1 1 1 1 ∴-e <k <0 或 0<k <e . ∴k<-e 或 k>e. 【点评】本题关键是研究好函数的奇偶性、单调性,才能较好地利用数形结合法研 究方程的根的个数问题.


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