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高中高一数学必修1各章知识点总结



高中高一数学必修 1 各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性. 3、集合的表示:(1){ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (2). 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 4.集合的表示方法:列举法与描述法。 常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 5.关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示, 如: a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A 记 作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 6、集合的分类: (1).有限集 含有有限个元素的集合 (2).无限集 含有无限个元素的集合 2 (3).空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5}=Φ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同

? B 或 B? ?A 一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?
2. “相等”关系:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同 时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。即 A?A ②如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.
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3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集(1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所 有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA ={x ? x?S 且 x?A} (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, S 这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U CsA A 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那 么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自 变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式 组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对 数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由 一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值 组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际 问题有意义. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定 义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等 当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 3.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3) 区间的数轴表示. 4.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ?B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的 对应关系一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个 元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对 应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法:
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6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 7.函数单调性(1) .设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增 函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函 数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 2 作差 f(x1)-f(x2);○ 3 变形(通常 (A) 定义法:○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 5 下结论(指出函 是因式分解和配方) ;○ ;○ 数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在 一起写成其并集. 8.函数的奇偶性 (1)一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数. 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整 注意:○ 体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内 ○ 的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 1 首先确定函数的定义域,并判断 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 2 3 作出相应结论:若 其定义域是否关于原点对称;○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(- x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已 知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用 换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知 抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x)。
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补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质 1、a>0 时, | x |? a ? x ? ?a或x ? a , | x |? a ? ?a ? x ? a 2、配方: ax ? bx ? c ? a( x ?
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b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

2 3、△>0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ),则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x1或x ? x2 , ax2 ? bx ? c ? 0 ? x1 ? x ? x2
2 4、△=0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个等根为 x0 ? ?

b ,则 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x0 , ax2 ? bx ? c ? 0 无解 ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x0
2 5、△<0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )无解,则

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax2 ? bx ? c ? 0 无解
6.根与系数的关系
2 若 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 , x2 则

b c x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

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