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椭圆的定义及标准方程(第一课时)



§2.1.1椭圆及其标准方程 (第一课时)

一、教学背景分析

(一)教材的地位与作用 椭圆及其标准方程是平面解析几何中的重要基础 知识。这段教材内容承上启下,为研究双曲线和 抛物线提供方法。此外求椭圆标准方程的方法也 对其它曲线标准方程的得出起到先导和示范作用, 从而达到培养学生探索问题和解决问题能力的目 的。

一、教学背景分析
(二)学情分析

在学习本课《椭圆及其标准方程》前,学生已学 习了直线与圆的方程,对曲线和方程的概念有了 一些了解与运用,用坐标法研究几何问题也有了 初步的认识。但由于学生学习解析几何时间还不 长、知识与经验的不足,在学习过程中还会有些 困难。如:由于学生对坐标法解决几何问题掌握 还不够,故从研究圆到椭圆,学生思维上会存在 障碍 。

一、教学背景分析
(三)教学目标 1、知识与技能目标:理解椭圆定义、掌握标准方程及其 推导。 2、过程与方法目标:注重数形结合,掌握解析法研究几 何问题的一般方法,注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标:
通过课堂活动参与,激发学生学习数学的兴趣,提高学 生审美情趣,培养学生勇于探索,敢于创新的科学的精 神

一、教学背景分析
(四)教学重难点 重点:椭圆的定义与椭圆的标准方程的形式的 特点; 难点:椭圆标准方程的推导。

二、教学方法分析
(一)教法的选择
基于上述分析,我采取的是教学方法是“问题 诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察-归纳抽象--总结规律”的一种探究式教学方法, 注重“引、思、探、练”的结合。 引导学生学习方式发生转变,采用激发兴趣、 主动参与、积极体验、自主探究的学习,形成 师生互动的教学氛围。

(二)学法指导的实施: (1) 通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程,从而 启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导,让学生体会 到类比思想的应用;通过利用椭圆定义探索椭圆方程的 过程,指导学生进一步理解数形结合思想,产生主动运 用的意识;通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分 类讨论,进行分类讨论思想运用的指导。 (2) 通过解题思路的脉络分析,对学生进行解题思考 的指导。 (3) 通过对学生发言的点评,规范语言表达,指导学 生进行交流和讨论。

三教学过程设计
1创设情境,展示生活中的椭圆的图片

生 活 中 的 椭 圆

8

天体运动的轨迹是一个什么图形呢?

如何精确地设计、制作、建造出现实生活 中这些椭圆形的物件呢?
10

2怎样画椭圆呢?
请看教材2.1.1探究,同桌一起合作画椭圆。

M ?
? F1 ? F2

目的:1、给学生提供一个动手操作、合 作学习的机会;2、通过实验可以是使学生去探究“满足什 么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解。

M

F1

F2

运动过程中,什么是不变的? 不论点M运动到何处,绳长(2a)是不变的! 即轨迹上任一点M与两个定点距离之和为同一 常数2a,即:

MF1 ? MF2 ? 2a

3椭圆几何定义获得
(由学生分组讨论,交流)
F1

M

2c

F2

平面内与两个定点F1、F2的距离之和 等于常数 (大于 F1F 2 )的点的轨迹 叫做椭圆。 两个定点F1、F2称为焦点, 两焦点之间的距离称为焦距。

设问:为什么要

MF1 ? MF2 ? F1 F2



MF1 ? MF2 ? F1 F2 画出的图形还是椭 若 圆吗?



MF1 ? MF2 ? F1 F2 ?

目的:加深对椭圆定义条件的理解 。

4怎么推导椭圆的标准方程呢? ? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y

M
xx x

O 2 F

x

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)

y

o

以经过椭圆焦点 F1,F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2的中垂线为y轴,建立直角坐标系xoy。 设 M(x,y)是椭圆上的任一点, 设椭圆的焦距为 2c,点M与两焦 点的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)

x

故由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a
移项,得

( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2

2

化简,得

(a ? c ) x ? a y ? a ( a ? c )
2

y



x y ? 2 ?1 2 2 a a ?c

2

2

b

a
c

x

此方程形式还不够简捷,还有变 形的必要,
观察左图, 你能从中找出表示

o

c 、 a 的线段吗?
a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP |? a 2 ? c 2 ? b
则方程可化为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

椭圆的标 准方程

椭圆的标准方程的再认识:
y M(x,y)
F1(-c,0) x

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

O

F2(c,0)

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足c2=a2-b2 。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 (4)焦点在x轴上的椭圆的标准方程中,x2对应的分母大。

变式练习题(一)
x y 1. 2 ? 2 ? 1 ,则a= 5 ,b= 3 ; 5 3 (-4,0)(4,0) 8 焦点坐标为:___________ 焦距等于___;
x2 y2 2. ? ? 1 ,则a= 3 ,b= 2 ; 9 4 (? 5,0) ( 5,0) 焦点坐标为:___________
2 2

2 5 焦距等于______

变式练习题(二):根据下列条件写出椭 圆的标准方程
(1)a=4,b=2,焦点在x轴上。 2 2 x y ? ?1 16 4 椭圆的标准方程为:____________ (2)焦点坐标为(-4,0),(4,0),a=5 2 2 x y ? ?1 25 9 椭圆的标准方程为:____________

思考: 如果焦点F1 、F2在 y 轴上,且
F1(0,-c),F2(0,c),a、b、c 的意义同上,

那么椭圆的方程形式又如何呢?
y
F2
M

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

o
F1

x 也是椭圆的标准方程。

归纳:椭圆的标准方程
定 义 y
M

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
F 2

M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的
关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2
焦点在分母大对应的字母所在轴

焦点位置的 判定

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是?? 2,0?, ?5 3? ?2,0?, 并且经过点? ,? ?, 求椭圆的标准方程. ?2 2? 解 因为椭圆的焦点在x轴上, 所以它的标准方 2 2 x y 程为 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ?. 由椭圆定义知 2a a b 2 2 2 2 ?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 10 , ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2?

则a ? 10 .又c ? 2, 故b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. x2 y 2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ?1. 10 6 你还能用其他方法求它 的方程吗?

练习:1、判定下列椭圆的焦点在哪个 轴上 ?并 指明a2、b2,写出焦点坐标

x y ? ?1 25 16
x y ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0)
答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

x y ? 2 ?1 2 m m ?1

2

2

答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的对应那个轴上。

练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=

6

,b=1,焦点在x轴上;

x2 6

? y ?1
2

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5; 25 ? 16 (3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; x ? y ? 1
2 2

y2

x2

?1

16

12

.

课时小结:
1、学习了椭圆的定义,焦点、焦距, 2、求出了椭圆的标准方程,椭圆的两种标准方程 中,总是a>b>0 3 、 a、b、c始终满足:a2-b2=c2, a>b>0 4 、判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的对应的那个轴上
作业: 习题2.1A组第2题

本节课的教学感想
我根据教学大纲,认真设计了教学过程,在老师的启发 引导下,在多媒体课件的辅助下,通过观察、类比、归 纳等手段达到教学目的。激发了学生的学习兴趣、调动了 学生学习的积极性,让学生参与了知识的形成过程,充分 体现了学生在教学中的主体地位,通过例题分析和练习题 的训练,巩固了所学知识,加深了学生对知识的理解和掌

握,这样的设计,符合了学生了认知规律。



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