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建立函数模型解决实际问题



建立函数模型解决实际问题

1、 数学模型就是把 实际问题

用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映

实际问题,得出关于实际问题的数学描述. 2、 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 解决问题的关键. 3、实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 建立函数模型解决实际问题的

一般步骤: (1)审题:弄清题目意,分清条件和结论,理顺数量关系; (2)建模:将题目条件的文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得到数学结论; (4)结论:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义,并根据题意下结论. 典例解析: 例 1、 有一块半径为 R 的半圆形钢板, 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状, 它的下底 AB 是 ⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,写出这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数关系式,并 求出它的定义域. . 的过程, 是数学地

分析:关键是用半径 R 与腰长 x 表示上底,由对称性:CD ? AB ? 2 AE ,故只要求出 AE .

例 2、某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层 中空玻璃,厚度均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 d 的均匀介质,两侧的温度差为 ?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其 d 中 k 为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相 等. (注: 玻璃的热传导系数为 4 ? 10?3 J ? mm/ C , 空气的热传导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ C . ) (1) 设室内, 室外温度均分别为 T1 , 内层玻璃外侧温度为 T1? , 外层玻璃内侧温度为 T2? , T2 , 且 T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的 热量(结果用 T1 , T2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何 设计 x 的大小?

墙 T1 8 室内 墙 图1 室外 室内 T2 T1 4
T1?


T2?

T2 4 室外

x

墙 图2

例 3、将一张长 8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两 部分,面积分别为 S1cm ,S2cm ,其中 S1≤S2.记折痕长为 lcm. (1)若 l=4,求 S1 的最大值; (2)若 S1∶S2=1∶2,求 l 的取值范围.
2 2

解析:如图所示,不妨设纸片为长方形 ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点 A 在面积为 S1 的 部分内. 折痕有下列三种情形: ①折痕的端点 M,N 分别在边 AB,AD 上; ②折痕的端点 M,N 分别在边 AB,CD 上; ③折痕的端点 M,N 分别在边 AD,BC 上.
C D N C

D N

C

D M

N A M (情形①) B A M (情形②) B A (情形③) B

例 4、如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步 行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为

130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?
(1)求索道 AB 的长;

12 3 , cos C ? . 13 5

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内? M B D C N A

例 5、如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示 20

的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. y(千米)

O

(第 17 题)

x(千米)



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