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中档大题保分练(二)



中档大题保分练(二)
(推荐时间:50 分钟) 1. 已知函数 f(x)= 3 1 π sin 2x- (cos2x-sin2x)-1,x∈R,将函数 f(x)向左平移 个单位后得 2 2 6

到函数 g(x),设△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 c= 7,f(C)=0,sin B=3sin A,求 a 和 b

的值; (2)若 g(B)=0 且 m=(cos A,cos B),n=(1,sin A-cos Atan B),求 m· n 的取值范围. 解 (1)f(x)= π? 3 1 sin 2x- cos 2x-1=sin? ?2x-6?-1 2 2

π? π? π? ? g(x)=sin?2? ?x+6?-6 -1=sin?2x+6?-1

?

?

π? 由 f(C)=0,∴sin? ?2C-6?=1. π π 11 ∵0<C<π,∴- <2C- < π, 6 6 6 π π π ∴2C- = ,∴C= . 6 2 3 由 sin B=3sin A,∴b=3a. π 由余弦定理得( 7)2=a2+b2-2abcos . 3 ∴7=a2+9a2-3a2,∴a=1,b=3. π? (2)由 g(B)=0 得 sin? ?2B+6?=1, π π 13 ∵0<B<π,∴ <2B+ < π, 6 6 6 π π π ∴2B+ = ,∴B= . 6 2 6 ∴m· n=cos A+cos B(sin A-cos Atan B) =cos A+sin Acos B-cos Asin B = 3 1 sin A+ cos A 2 2

π? =sin? ?A+6?. 5π 5π ∵A+C= ,∴0<A< , 6 6 π? π π ∴ <A+ <π,∴0<sin? ?A+6?≤1. 6 6 ∴m· n 的取值范围是(0,1].

2. 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛 时, 每局胜者得 1 分, 负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束. 假 2 设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为 ,且各局比赛胜负互不影响. 3 (1)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (2)设 ξ 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解 2 1 (1)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1- = . 3 3

比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分即前两局乙胜一局,3,4 局连胜, 1211 4 则 P2=C1 2 ···= . 3 3 3 3 81 (2)由题意知,ξ 的取值为 2,4,6. 2?2 ?1?2 5 则 P(ξ=2)=? ?3? +?3? =9, 1 2?2?2 20 11 2?1?2 P(ξ=4)=C1 , 2 · 3 +C2 · 3 = 3 3? ? 3 3? ? 81 16 11 2?2 P(ξ=6)=? 3? =81. ?C23· 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 2 5 9 4 20 81 6 16 81

5 20 16 266 则 E(ξ)=2× +4× +6× = . 9 81 81 81 3. 如图,几何体 ABCD-B1C1D1 中,四边形 ABCD 为菱形,∠BAD= 60° , AB=a, 面 B1C1D1∥面 ABCD, BB1、 CC1、 DD1 都垂直于面 ABCD, 且 BB1= 2a,E 为 CC1 的中点,F 为 AB 的中点. (1)求证:△DEB1 为等腰直角三角形; (2)求二面角 B1-DE-F 的余弦值. (1)证明 连接 BD, 交 AC 于 O, 因为四边形 ABCD 为菱形, ∠BAD=60° , 所以 BD=a, 因为 BB1、CC1 都垂直于面 ABCD, 所以 BB1∥CC1, 又面 B1C1D1∥面 ABCD, 所以 BC∥B1C1. 所以四边形 BCC1B1 为平行四边形, 则 B1C1=BC=a, 因为 BB1、CC1、DD1 都垂直于面 ABCD,

2 所以 DB1= DB2+BB1 = a2+2a2= 3a,

DE= DC2+CE2=
2 B1E= B1C2 1+C1E =

a2 6a a2+ = , 2 2 a2 6a a2+ = , 2 2

6a2+6a2 所以 DE +B1E = =3a2=DB2 1, 4
2 2

所以△DEB1 为等腰直角三角形. (2)解 取 DB1 的中点 H,因为 O,H 分别为 DB,DB1 的中点,所 以 OH∥BB1. 以 OA,OB,OH 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, a a 3 2 0,- ,0?,E?- a,0, a?,B1?0, , 2a?, 则 D? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 F? 3 a ?, ? 4 a,4,0?

3 a 2 3 3 → → → 所以DB1=(0,a, 2a),DE=?- a, , a?,DF=? a, a,0?. 2 2 ? 4 ? 2 ?4 ? 设面 DB1E 的法向量 n1=(x1,y1,z1), → → 则 n1· DB1=0,n· DE=0, 即 ay1+ 2az1=0 且- 3 a 2 ax + y + az =0, 2 1 2 1 2 1

令 z1=1,则 n1=(0,- 2,1) 设面 DFE 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 3 3 → → 则 n2· DF=0,n2· DE=0 即 ax2+ ay2=0 4 4 且- 3 a 2 ax + y + az =0, 2 2 2 2 2 2

令 x2=1,则 n2=?1,-

?

3 2 6? , , 3 3 ?

6 2 6 + 3 3 2 则 cos〈n1,n2〉= = , 1 8 2 3× 1+ + 3 3 则二面角 B1-DE-F 的余弦值为 2 . 2

3+?-1?n 4. 已知 n∈N*,数列{dn}满足 dn= ,数列{an}满足 an=d1+d2+d3+?+d2n;又 2
n 知数列{bn}中,b1=2,且对任意正整数 m,n,bm n =bm.

(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;

(2)将数列{bn}中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,??,第 an 项,??删去后,剩余的项 按从小到大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前 2 013 项和. 解 3+?-1?n 方法一 (1)∵dn= , 2

∴an=d1+d2+d3+?+d2n. = 3×2n =3n. 2

2 3 n n 又由题知:令 m=1,则 b2=b1 =22,b3=b3 1=2 ,?,bn=b1=2 . nm n mn 若 bn=2n,则 bm n =2 ,bm=2 , n ∴bm n =bm恒成立. n 若 bn≠2n,当 m=1,bm n =bm不成立,

∴bn=2n. (2)由题知将数列{bn}中的第 3 项、第 6 项、第 9 项??删去后构成的新数列{cn}中的奇 数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1=1,b2=4,公比均是 8, T2 013=(c1+c3+c5+?+c2 013)+(c2+c4+c6+?+c2 012) = 2×?1-81 007? 4×?1-81 006? 20×81 006-6 + = . 7 1-8 1-8

3 方法二 (1)an=d1+d2+?+d2n= ×2n=3n. 2
n 由 bm n =bm及 b1=2>0 知 bn>0, n 对 bm n =bm两边取对数得,mlg bn=nlg bm,

令 m=1,得 lg bn=nlg b1=nlg 2=lg 2n, ∴bn=2n. (2)T2 013=c1+c2+?+c2 013 =b1+b2+b4+b5+b7+b8+?+b3 018+b3 019 =(b1+b2+?+b3 019)-(b3+b6+?+b3 018) 2?1-23 019? 8?1-81 006? = - 1-2 1-23 = 20×81 006-6 . 7



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