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椭圆的复习课件


椭圆

知识点归纳
一.椭圆的定义
1.椭圆的第一定义

{ P | PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 }
在椭圆的定义中,要特别注意:

PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2
当 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 时,动点的轨迹是线段 F1 F2 当 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 时,动点的轨迹不存在.

2.焦点三角形
F1

P F2

周长:2(a+c)

二.椭圆的方程
椭圆的标准方程
x2 y2 (1)焦点在x轴上:a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) y2 x2 (2)焦点在y轴上: a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)

(3)统一形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

三.椭圆的几何性质
标准方程

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
B2 y A1 O A2 x

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a bA y
2

图 形

B1 O A1

B2 x

B1

焦点坐标 范 围 对称性 顶 点

(-c,0)和 (c,0) (0,-c)和 (0,c) ? a ? x ? a, ? b ? y ? b ? a ? y ? a, ? b ? x ? b
坐标轴是对称轴; 原点是对称中心,叫椭圆的中心.

(±a,0)和(0,±b)

(±b,0)和(0,±a)

A1A2叫长轴, B1B2叫短轴, 且|A1A2|=2a, |B1B2|=2b

离心率

e=c/a(0<e<1,且e越小,椭圆越接近圆)

1.若P为椭圆上任一点, 则│PF1│+│PF2│=2a B2 P A1 F1 o B1 F2 A2

2.中心,一个焦点,一个短轴端点 构成直角三角形.a 2 ? b 2 ? c 2 B2 A1 F1 b o c B1 a F2 A2

四.直线和椭圆的位置关系
1.位置关系的判断:判别式法 AB ? 1 ? k ? ( x ? x ) ? 4 x x 2.相交弦: 1 AB ? 1 ? ? (y ? y ) ? 4y y (1)弦长公式: k (2)中点弦问题:点差法
2 2 1 2 1 2
2 2 1 2 1

2

2 2 x y 3.点M(x0,y0)与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 2 的位置关系 2

点M在椭圆内

点M在椭圆外

x0 y0 ? 2 ?1 2 a b 2 2 x0 y0 ? 2 ?1 2 a b

练习题组(一):
1.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 与x轴的负半轴交于A,与y轴的负半轴交 于B,F1是左焦点,F1到直线AB的距离 7 求椭圆的离心率. F1 H ? OB
7
2 2

x y 思路:设椭圆方程为 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)

寻找a,b,c的关系式.

1 Key : e ? 2

2.椭圆 =1(a>b>0)的焦点F1、F2, 两条准线与x轴的交点为M、N,若 |MN|≤2|F1F2|,则该椭圆离心率的取值范 围是________.

3.若椭圆短轴的一个端点与两个焦点的 连 线互相垂直,则椭圆的离心率为( 2 )

2

4. 已知椭圆的焦点分别为F1,F2,若
? e ?1

? 椭圆上存在点P,使 ?F1 PF2 ? ,则e 2 的范围为( 2 )
2

练习题组(二):
x y x2 y2 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1和 2 ? 2 ? k (k ? 0) a b a b 具有相同的( C ) A长,短轴 B焦点 C离心率 D顶点
2 2

x y 2.已知方程 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭 |m|-1 2-m 圆,则 m 的取值范围为 3 A.(-∞, ) 2 C.(-∞,0)∪(1,2) B.(1,2) 3 D.(-∞,-1)∪(1, ) 2 ( )

2

2

3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经 过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),求椭圆的方程.

4. (2008 高考辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点

(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C, 直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程;
→ ⊥OB → ,求 k 的值. (2)若OA

解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3)为焦点,长半轴为 2 的椭圆. 它的短半轴 b= 22-( 3)2=1,
2 y 故曲线 C 的方程为 x2+ 4 =1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 y ? ?x2+ =1, 4 其坐标满足? ? ?y=kx+1.

消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0. 其中 Δ=4k2+12(k2+4)>0 恒成立. 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4

→ ⊥OB → ,即 x1x2+y1y2=0. 若OA 而 y1y2=k x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3k 2k 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 化简得-4k +1=0,所以 k=± . 2
2 2 2 2

椭圆的综合问题 x2 y2 1. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点为 a b → → F1(-c,0)、F2(c,0),M 是椭圆上一点,满足F F 1M· 2M=0. (1)求离心率 e 的取值范围; (2)当离心率 e 取得最小值时,点 N(0,3)到椭圆上的点的 最远距离为 5 2.求此时椭圆的方程.

→ → (1)设点 M 的坐标为(x, y), 则F y), F 1M=(x+c, 2M → → =(x-c,y).由F F 1 M· 2 M =0 , 得 x2-c2+y2=0,即 y2=c2-x2① 2 x 又由点 M 在椭圆上得 y2=b2(1- 2), a 2 x 代入①得 b2(1- 2)=c2-x2, a 2 a 所以 x2=a2(2- 2), c 2 a ∵0≤x2≤a2,0≤a2(2- 2 )≤a2, c a2 1 即 0≤2- 2 ≤1,0≤2- 2≤1, c e 2 2 解得 2 ≤e≤1,又∵0<e<1,∴ 2 ≤e<1. [解]

2 (2)当离心率 e 取最小值 时, 2 c 2 2 2 2 2 2 2 1 2 = ?c= a,a -b =c ?a -b = a ?a2=2b2, 2 2 a 2 x2 y2 ∴椭圆方程可表示为 2+ 2=1, 2b b 设点 H(x,y)是椭圆上的一点,则 2 2 2 |HN| =x +(y-3) =(2b2-2y2)+(y-3)2 =-(y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b).

①若 0<b<3,则-b>-3,当 y=-b 时,|HN|2 有最大值 b2+6b+9. 由题意知:b2+6b+9=50,b=5 2-3,这与 0<b<3 矛 盾. ②若 b≥3,则-b≤-3,当 y=-3 时, |HN|2 有最大值 2b2+18, 由题意知:2b2+18=50,∴b2=16. x2 y2 ∴所求椭圆方程为32+16=1.

x2 y2 2.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,上顶点为 A,过 a b A 点与 AF 垂直的直线分别交椭圆与 x 轴负半轴于 M、N 两点, 8→ → 且AM= MN. 5 (1)求椭圆的离心率; (2)过 A、 N、 F 三点的圆恰好与直线 l: x- 3y-3=0 相切, 求椭圆方程.

图2

[解]

(1)设 N(x0,0),由 → =(-c,b), F(c,0),A(0,b)知FA → =(x0,-b) AN

2 b → ⊥AN → ,∴-cx0-b2=0,x0=- . ∵FA c 8→ → 设 M(x1,y1)由AM= MN得 5

8 ? ? 5x0 8b2 ?x1= =- 8 13c ? 1+ 5 ? ? b 5b ?y1= 8=13 ? 1+5 ?

8b2 2 5 2 (- ) ( b) 13c 13 ∵M 在椭圆上,∴ + 2 =1 整理得 2b2=3ac 2 a b 即 2(a2-c2)=3ac,两边同除以 a2,得 2-2e2=3e 1 2 即 2e +3e-2=0,解得 e=2或 e=-2(舍去) 1 ∴椭圆的离心率为2.

?2b2=3ac ? a a 3 (2)由?c 1 得 c= 2,F(2,0),N(-2a,0) =2 ? a ? 1 ∴△AFN 外接圆圆心为(- a,0),半径为 a, 2 a |- 2-3| ∵圆与直线 x- 3y-3=0 相切,∴ =a, 2 解得 a=2,∴c=1,b= 3, x2 y2 ∴椭圆方程为 4 + 3 =1.

知识复习自我小结
@ 大脑形成网络 @ 如何理解重点 @ 加强克服难点 @ 针对薄弱环节 @ 同学互相交流 @ …… ……

作 业
x2 y2 ? ?1 1.已知椭圆 25 9 A(4,0),B(2,2)是

椭圆内的两点,P是椭圆上任意一点.求 (1) 5 PA ? 4 PB 的最小值; (2) PA ? PB 的最大值和最小值.

x y ? ? 1 2.已知椭圆 25 9 上不同的三点

2

2

A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点 F(4,0)的距离成等差数列. (1)求证:x1+x2=8; (2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交 点为T,求直线BT的斜率.

3. 设椭圆 与两坐标轴 的正向交于A、B,在椭圆的AB弧上求一 点P,使四边形OAPB的面积最 大. 方案一设P(x,y)联结OP,四边形 OAPB的面积可分为 ?OAP和 ?OPB






方案二 设P(5cost,4sint),联结OP, 四边形OAPB的面积可分为?OAP和 ?OPB

4.椭圆 mx ? ny ? 1 ,与直线 x ?
2 2

y ? 1 相交

于A,B两点,C是AB的中点,若 AB ? 2 2 ,OC 斜率为 2 (O为原点),试确定椭圆的方程.
解:法一:由方程组 得
2

x ? y ?1
2 2

mx ? ny ? 1 2 ?m ? n?x ? 2nx ? n ?1 ? 0

设: A?x1 , y1 ? B?x2 , y2 ? C ?x0 , y0 ? 则
2n x1 ? x2 ? m?n

n ?1 x1 ? x2 ? m?n 2n 2m y1 ? y2 ? 2 ? ?x1 ? x2 ? ? 2 ? ? m?n m?n

x1 ? x2 n x0 ? ? 2 m?n

y1 ? y2 m y0 ? ? 2 m?n

由题设得:

m 2 ? n 2

?1?
?x1 ? x2 ?
2

又 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2

2

? 4 x1 x2

?

2

? 2n ? ? ? ?m?n?

4?n ? 1? ? m?n

m ? n ? mn ?2 2? ?2 2 m?n
解 (1) (2) 得
2 2 x 2 y 所以,椭圆方程为 ? ?1 3 3

?2?

1 m? 3

2 n? 3

2 x 解法二: 由得OC的方程为 y ? 2 2 y ? x 由方程组 2 解得 C 2 ? 2, 2 ?1

又由方程组

x ? y ?1 x ? y ?1
mx ? ny ? 1
2 2

?

?

2 ? ? m ? n x ? 2nx ? n ?1 ? 0 得

x1 ? x2 n ? ? ? 2? 2 2 m?n

? n ? 2m
2

? AB ? 1 ? ?? 1? ?x1 ? x2 ? ? 2 2 m? n ? mn ?1 2 得 ?2? ?m ? n?
2

?

?

?1?

解 (1) (2) 得

1 m? 3
2

2 n? 3
2

所以,椭圆方程为

x 2y ? ?1 3 3

解得 C 2 ? 2, 2 ?1 法三: 由方程组 x ? y ? 1 ? k AB ? ?1 所以直线L的倾斜角为 1350 即 A 1 ? 2, 2
m 1?
m 3?

y ?

2 x 2

?

?

又知C是AB的中点, AB ? 2 2 所以 AC ? BC ? 2

?

?

同理求出点 B?3 ? 2, 2 ? 2?
2 2

将A,B坐标代入椭圆方程 mx ? ny ? 1 得

?
?

2
2

?

?
2

2

?n

?n

解 (1) (2) 得

1 m? 3

?

?

2

?

2

2 ?2

?

?1
?1

2

x2 所以,椭圆方程为 ? 3

2 n? 3 2 y2 ?1 3


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