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八年级第13讲 从勾股定理谈起



第十三讲

从勾股定理谈起

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,大约在公元前 1100 多年前,商高已经证明了普通意义下 的勾股定理,在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”. 勾股定理是平面几何中一个重要定理,其广泛的应用体现在:勾股定理是现阶段线段计算、证明线段 平方关系的主要方法,运用勾股定理的逆定理,通过计算也是证明两直线垂直位

置关系的一种有效手段. 直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质:两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系),30° 角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系),这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方 关系等方面有广泛的应用.

例题求解 【例 1】如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边△ABD,连结 DC,以 DC 为边作等 边△DCE,B、E 在 CD 的同侧,若 AB= 2 ,则 BE= .

(重庆市中考题) 思路点拨 因 BE 不是直角三角形的边,故不能用勾股定理直接计算,需找出与 BE 相等的线段转化问 题. 注 千百年来,勾股定理的证明吸引着数学爱好者,目前有 400 多种证法,许多证法的共同特点是通 过弦图的割补、借助面积加以证明,美国第 20 任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一个简单证法. 勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征,有人建议,将来与“外星人”交往,可以把勾股定理转 化为光电讯号,传向异域,他们一定懂得勾股定理. 现已确定的 2002 年 8 月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案.

【例 2】 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 《勾股圆方图》 , 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 (如图所示).如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的较短直角边为 a,较长直角边为 b,那么(a+b)2 的值为( ) A.13 B .19 C.25 D.169 (山东省中考题) 思路点拨 利用勾股定理、面积关系建立 a、b 的方程组. 【例 3】 如图,P 为△ABC 边 BC 上的一点,且 PC=2PB, 已知∠ABC=45°,∠APC=60°,求 ∠ACB 的度数. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 不可能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数, 解本例的关键是由条件构造出含 30°角的直 角三角形.

【例 4】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,设 AC=b,BC=a,AB=c,CD=h. 1 1 1 求证:(1) 2 ? 2 ? 2 ; a b h (2) a ? b ? c ? h ; (3) 以 a ? b 、 h 、 c ? h 为边的三角形,是直角三角形. 1 1 思路点拨 (1)只需证明 h 2 ( 2 ? 2 ) ? 1 ,从左边推导到右边;( 2 )证明 ( (a ? b) 2 ? (c ? h) 2 ; (3) 证明 a b
(a ? h) 2 ? h 2 ? (c ? h) 2 .在证明过程中,注意面积关系式 ab ? ch 的应用.

【例 5】 一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在? 若存在,确定它三边的长,若不存在,说明理由. (北京市竞赛题) 思路点拨 假设存在符合条件的直角三角形,它的三边长为 a、b、c,其中 c 为斜边,则 ?
? a2 ? b2 ? c2 ? ab , a?b?c ? ? 2 ?

于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解. 注 当勾股定理不能直接运用时,常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径,为勾股定理的运用创造 必要的条件,有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系,这就需要熟悉一些常用的勾股数组. 从代数角度,考察方程 x 2 ? y 2 ? z 2 的正整数解,古代中国人发现了“勾三股,四弦五”,古希腊人找到 了这个方程的全部整数解(用代数式表示的勾股数组). 17 世纪,法国数学家费尔马提出猜想:当 n ≥3 时,方程 x n ? y n ? z n 无正整数解. 1994 年,曼国普林斯顿大学堆尔斯教授历尽艰辛证明了这个猜想,被誉为 20 世纪最伟大的成果. 一般地,在有等边三角形、正方形的条件下,可将图形旋转 60°或 90°,旋转过程中角度、线段的长 度保持不变,在新的位置上分散的条件相对集中,以便挖掘隐含条件,探求解题思路. 学力训练 1.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ACD 沿 AD 对折,点 C 落在点 C′的位置,则 BC′ 与 BC 之间的数量关系是 .(山西省中考题)

2.如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与△ACP'重合,若 AP= 3,则 PP′的长等于 . 3.如图,已知 AB=13,BC=14,AC=15,AD⊥BC 于 D,则 AD= . (武汉市选拔赛试题) 4.如图,四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm,CD=12 ㎝,DA=13cm,且∠ABC=90°,则四边形 ABCD 的面积是 cm2. 5.如图,一个长为 10 米的梯子,斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米,如果梯子的顶端下 滑 1 米,那么,梯子底端的滑动距离( ) A.等于 1 米 B.大于 l 米 C.小于 l 米 D.不确定 (宁波市中考题)

6.如果一个三角形的一条边是另一条边的 2 倍,并且有一个角是 30°,那么这个三角形的形状是( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 7.在四边形 ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则 AB=( ) A.4 B.5 C.2 3 D.
8 3 3

)

8.在由单位正方形组成的网格图中标出了 AB,CD,EF,GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边 的线段是( ) A.CD,EF,GH B.AB,CD,EF C.AB,CD,GH D.AB,EF,GH (北京市竞赛题) 9.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是 1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列 要求画三角形:(1)使三角形的三边长分别为 3,2 2 , 5 ;(2)使三角形为钝角三角形且面积为 4. (吉林省中考题) 10.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,MN 垂直平分 AB,求证:CM=2BM. (南道市中考题) 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,D 为斜边 BC 中点,DE⊥DF,求证: EF 2 ? BE 2 ? CF 2 .

12.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=13,边 BC 上的中线 AD=6,则 BC 的长为 . (湖北省预赛试题) 13.如图,设 P 是等边△ABC 内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB 的度数是 . 14.如图,一个直角三角形的三边长均为正整数,已知它的一条直角边的长恰是 1997,那么另一条直角边 的长为 .

15.若△ABC 的三边 a、b、c 满足条件: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 338 ? 10a ? 24b ? 26c ,则这个三角形最长边上的高 为 . 16.在锐角△ABC 中,已知某两边 a=1,b=3,那么第三边的变化范围是( )

A.2<c<4

B.2< c≤3

C. 2< c< 10

8 < c < 10

(“祖冲之杯”邀请赛试题) 17.如图,用 3 个边长为 l 的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( A. 2 B.
5 2

)

C.

5 17 5 D. 16 4

(天津市竞赛题)

18.△ABC 三边 BC、CA、AB 的长分别为 a、b、c,这三边的高依次为 ha 、 hb 、 h c ,若 a≤ ha ,b≤,则 这个三角形为( ) A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 (武汉市选拔赛试题) 19.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AF 平分∠CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且 EG ∥AB 交 CB 于 G,则 CF 与 CB 的大小关系是( ) A. CF>GB B. CF=GB C.GF<GB D.无法确定 20.如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,F、F 分别是 AB、AC 边上的 点,且 DF⊥DF,若 BE=12,CF=5,求△DEF 的面积. 21.如图,在△ABC 中,AB=AC,(1)若 P 是 BC 边上的中点,连结 AP,求证:BP×CP=AB2 一 AP2;(2) 若 P 是 BC 边上任意一点,上面的结论还成立吗? 若成立,请证明,若不成立,请说明理由;(3)若 P 是 BC 边延长线上一点,线段 AB、AP、BP、CP 之间有 什么样的关系?请证明你的结论.

22.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,E、F 分别是 BC 上两点,若∠EAF=45°,试推断 BE、 CF、EF 之间的数量关系,并说明理由. 3 23.如图,∠ACB=90°,AD 是∠CAB 的平分线,BC=4,CD= ,求 AC 的长. 2 (河南省竞赛题)

24.(1)四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的 直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为 13,每个直角三角形两直角边的和是 5,求中间小正方形的面积. (2)现有一张长为 6.5cm.宽为 2 ㎝的纸片,如图乙,请你将它分割成 6 块,再拼合成一个正方形.(要求: 先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据) (烟台市中考题)

25.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,求证:BD2=AB2+BC2. (北京市竞赛题)



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