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公开课-椭圆及其标准方程课件



探究:
若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在 图板上不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉 紧绳子,再移动笔尖一周,这时笔尖画出的 轨迹是什么图形呢?
y p

思考:如
F2 x

F1

0

何定义椭 圆?

椭圆的概念:平面内

与两个定点

的距离的和等 于定长的点的轨迹叫做椭圆,其中两定点 F1 , F2 叫椭圆的焦 点,定点间的距离叫椭圆的焦距。(定长大于两定点间的距离)
F1 , F2

讨论:若把绳长记为2a,两定点间
的距离记为2c(c≠0). (1)当2a>2c时,轨迹是 椭圆 (2)当2a=2c时,轨迹 是 以F1,F2为端点的直线段 ; (3)当2a<2c时, 无轨迹 ;


椭圆标准方程的推导
1、建系 2、设点
3、根据椭圆定义列方程 4、化简方程

y
M ( x, y)
O
F2 (c,0)

F1(-c,0) |MF1|+|MF2|= 2a>2c
|MF1|=

x

( x ? c) ? y
2
2

2

|MF2|= ( x ? c) 2 ? y 2

则可以得到方程 : ( x ? c) ? y ?
2

( x ? c) ? y
2

2

? 2a

由椭圆定义:|MF1|+|MF2|=2a可得: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 如何化简 y
移项得: ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c) 2 ? y 2 将上式两边同时平方:


P ( x, y )
O
F2 (c,0)

( x ? c ) ? y ? 4a ? 4a ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y
2 2 2 2 2 2

2

F1 (?c,0)

x

整理得:
4

a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2
2 2 2
2

再将上式两边同时平方:

a ? 2a cx ? c x ? a x ? 2a cx ? a c ? a y
2 2 2 2 2
2

2 2

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ) x2 y2 ? 2 ?1 将上式两边同时除以a 2 (a 2 ? c 2 )得: 2 2 a a ?c
整理得:
2 2 2 2 2 2

由椭圆定义:|MF1|+|MF2|=2a可得: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 如何化简 y
经过一系列的化简可得到:
x2 y2 ? 2 2 ?1 2 a a ?c


P ( x, y )
O
F2 (c,0)

由2a ? 2c ? a ? c ? a ? c ? 0 2 2 b 2 (b ? 0) 代入就可以得到: 令a ? c ?
2 2

F1 (?c,0)

x

(a ? b ? 0)
方程①就叫做椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在



F x轴上, 焦点坐标是 F1 (?c,0)、 2(c,0)。

其中

c ? a ?b
2
2

2

由椭圆定义:|MF1|+|MF2|=2a可得: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 如何化简 y
经过一系列的化简可得到:
x2 y2 ? 2 2 ?1 2 a a ?c


P ( x, y )
O
F2 (c,0)

由2a ? 2c ? a ? c ? a ? c ? 0 2 2 b 2 (b ? 0) 代入就可以得到: 令a ? c ?
2 2

F1 (?c,0)

x

(a ? b ? 0)
方程①就叫做椭圆的标准方程



y
F2
M(x,y)

o
F

x

1

二、椭圆标准方程的推导
如果椭圆的焦点在y轴上

y
F2
M(x,y)

o
(a ? b ? 0)

x

那么可以用相同的方法得到它的标准方程为: F1



其中

b ? a ?c
2

2

2

F 那么焦点坐标为 F1 (0,?c)、 2 (0, c)
方程②也叫做椭圆的标准方程

y
y
M

F1

M

F1
2 2

o

F2

x
2

o
F2
2

x

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ① 2 a b
(2)焦点坐标为(-c,0)、(C,0)

y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ② a2 b
(2)焦点坐标为 (0,-c)、 (0,c)

(1)表示的椭圆焦点在X轴上, (1)表示的椭圆焦点在Y轴上

x y 与 平 (3)左边为 a b 方和

y x 与 (3)左边为 a b 方和



y
y
M

F1

M

F1
2 2

o

F2

x
2

o
F2
2

x

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ① a2 b
(2)在两种方程中,总有

y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ② a2 b

(1)两种方程右边均为1,左边为分式的平方和的形式。

a?b?0
2 2

(3)a,b,c都有关系式:

b ? a ?c
2

2

2

即a ? b ? c , a最大
2

y
y
M

F1

M

F1

o
2

F2

x
2

o
F2
2

x

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ① 2 a b

2

y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ② 2 a b

椭圆的标准方程,它所表示的椭圆一定是: “关于两坐标轴对称”。

知识应用
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程 2 x 2 ? y ?1 (1) a=4,b=1,焦点在x轴上; 16
(2)a=4,c=3,焦点在Y轴上;y

x ? ?1 16 7 (3)写出适合条件:b=1,c=3,焦点在坐标轴上的椭圆 的标准方程。 x2 y2 2 2

2

2

答:

10

? y ? 1或x ?

10

?1

总结:求椭圆标准方程的步骤:
(1)判断焦点位置 (2)根据焦点位置设出恰当的方程 (3)求出a、b代入标准方程即可求得 (待定系数法)

练习1:求适合下列条件的椭圆的标准方程: 两焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上 的一点P到两焦点距离的和等于10;
解: (1)因为焦点在x轴上,所以设它的标准方程为: x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 a b 由题意可知:2a=10、 2c=8、

∴a=5,c=4
?b ? a ? c ? 25 ?16 ? 9
2 2 2

?b ? 3
x y ? ?1 25 9
2 2

因此,这个椭圆的标准方程是:

例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程: 两个焦点的坐标分别是F1(0,-2),F2(0,2),并 且椭圆经过点P( ? 3 , 5 )
2 2
y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 a b 2 由椭圆的定义可知:a ? | PF1 | ? | PF2 | ? (? 3 ) 2 ? ( 5 ? 2) 2 ? (? 3 ) 2 ? ( 5 ? 2) 2 2 2 2 2

解: (2) 因为焦点在y轴上,所以设它的标准方程为:

3 1 ? 10 ? 10 2 2

? 2 10

又? c ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 ?a ? 10
y2 x2 ? ?1 所以椭圆的标准方程为: 10 6
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课堂练习

练习2 写出适合下列条件的椭圆标准方程 两个焦点的坐标是F1(-2,0)和F2(2,0),并且经过点 P(0, 1);
解:因为焦点在X轴上,所以设它的标准方程为:
x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 a b 由椭圆的定义可知: 2a ? | PF1 | ? | PF2 | ? (?2)2 ? 12 ? 22 ? 12? 2 5

?a ? 5 又? c ? 2

?b ? a ? c ? 5 ? 4 ? 1
2 2 2

所以椭圆的标准方程为: x 2

5

? y2 ? 1
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能力提高
练习3、根据下列椭圆的方程,写出a、b。说明焦点在 哪个坐标轴上,并写出焦点的坐标。
x2 y2 ?1 (1) ? 25 16
答:a=5,b=4 ;X轴;(-3,0)、(3,0)

x2 y2 ?1 (2) ? 144 169 答:a=13,b=12 ;Y轴; (0,-5)、(0,5)
x2 y2 ? 1 答: (3) 2 ? 2 a ? m2 ? 1, b ? m 2 m m ?1

?| m |;

Y轴;

(0,-1)、(0,1) 规律总结: (1)大分母为 a 2 , 小分母为

b。
2
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(2)哪个的分母大,焦点就在哪条轴上。

综合提升
练习4、(1)如果椭圆 14 离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是_______
x2 y2 ? ?1 上一点P到F1的距 36 100

4 x 2 ? ky2 ? 1 的曲线是焦点在Y轴上的椭 (2)方程
圆,求k的取值范围。

答:k的取值范围是{k|0<k<4}

小结:
一个定义: |MF1|+|MF2|=2a >2c>0
x2 y2 y2 x2 二个方程: 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 与 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? a b a b

三种数学思想: 换元思想 分类讨论思想 数形结合思想

作业
?完成《导与练》 P56 自主学习1—9; P59 基础达标1—7。

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课后思考

当2a为定值时,椭圆形状的 变化与2c有怎样的关系?
答: 2c越小,椭圆越圆 2c越大,椭圆越扁

课后思考

方程 Ax ? By ? C
2 2

什么时候表示一个椭圆



答:当A、B、C同号且A不等于 B时该方程表示一个椭圆

课后思考

a,b,c在椭圆中分别表 示哪些线段的长?



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