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【金版学案】2015-2016高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离练习 新人教A版必修2


3.3.1
基 础 梳 理

两条直线的交点坐标及两点间的距离

1.求两直线的交点坐标的方法:解方程组,以方程组的解为坐标的点就是交点. 2.两点间的距离公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,则|AB| = (x2-x1) +(y2-y1) . 练习1:直线 l1:x=-1,l2:x=2 的位置关系为平行. 练习2:(1)两点 A(0,-4)与 B(0,-1)间的距离为 3. (2)已知两点 A(2,5),B(3,7),则|AB|的值为 5. (3)P(x,y)到原点 O(0,0)的距离 d= x +y . ?思考应用 如何利用方程判断两直线的位置关系?
? ?A1x+B1y+C1=0, 解析:只要将两条直线 l1 和 l2 的方程联立,得方程组? ?A2x+B2y+C2=0. ?
2 2 2 2

(1)若方程组无解,则 l1∥l2; (2)若方程组有且只有一个解,则 l1 与 l2 相交; (3)若方程组有无数解,则 l1 与 l2 重合. 自 测 自 评 1.直线 3x+5y+1=0 与直线 4x+3y+5=0 的交点是(A)

A.(-2,1) B.(-3,2) C.(2,-1) D.(3,-2)
2.直线 x=1 与直线 y=2 的交点坐标是(A)

A(1,2) B.(2,1) C.(1,1) D.(2,2)
3.当 a 取不同实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0 恒过一个定点,这个定点是(B)

A.(2,3) B.(-2,3) C.?1,- ? D.(-2,0) 2

? ?

1?

?

解析:将直线化为 a(x+2)+(-x-y+1)=0,故直线过定点(-2,3). 4.已知点 A(a,0),B(b,0),则 A,B 两点间的距离为(D)

1

A.a-b B.b-a C. a2+b2 D.|a-b|
5.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是(B)

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:|AB|=|AC|= 17,|BC|= 18,故△ABC 为等腰三角形.

基 础 达 标 1.直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点坐标为(C) A.(4,1) B.(1,4)

?4 1? C.? , ? ?3 3?

?1 4? D.? , ? ?3 3?

2.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点是 P(2,3),则过两点 Q1(a1,

b1),Q2(a2,b2)的直线方程是(C)
A.3x+2y=0 B.2x-3y+5=0 C.2x+3y+1=0 D.3x+2y+1=0

3.两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A,B,则|AB|等于(C) A. C. 89 17 B. 5 5 13 5 11 D. 5

2? 13 ? 解析:易知 A(0,-2),B?-1, ?,|AB|= . 5? 5 ? 4.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于(C) A.5 B.4 2 C.2 5 D.2 10

2

解析:设 A(x,0),B(0,y),由中点公式得 x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得 |AB|= (0-4) +(-2-0) = 20=2 5. 5.根据图中信息写出:
2 2

(1)|AB|=________;|BC|=________. (2)|CD|=________;|DA|=________. (3)|AC|=________;|BD|=________. (1) 5 2 2 (2) 5 2 2 (3)3 17

巩 固 提 升 6.已知 M(1,0),N(-1,0),点 P 在直线 2x-y-1=0 上移动,则|PM| +|PN| 的最 小值为________. 答案:2.4 7.求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一个定点, 并求出这个定点的坐标. 证明:证法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 令 m=0,得 x-3y-11=0;令 m=1,得 x+4y+10=0. 解方程组?
?x-3y-11=0, ? ? ?x+4y+10=0,
2 2

得两直线的交点为(2,-3).

将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m -2-3m-9-m+11=0. 这表明不论 m 为什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 证法二:将已知方程以 m 为未知数, 整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
?2x+y-1=0, ? 由于 m 取值的任意性,有? ? ?-x+3y+11=0,

3

解得 x=2,y=-3. 所以所给的直线不论 m 取什么实数,都经过一个定点(2,-3). 8.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3,1),B(3,-3),C(1,7). (1)求 BC 边上的中线 AM 的长; (2)证明△ABC 为等腰直角三角形. (1)解析:设点 M 的坐标为(x,y), ∵点 M 为 BC 边的中点, 3+1 x= ? ? 2 =2, ∴? -3+7 y= =2, ? ? 2 即 M(2,2), 由两点间的距离公式得: |AM|= (-3-2) +(1-2) = 26. ∴BC 边上的中线 AM 长为 26. (2)证明:由两点间的距离公式得 |AB|= (-3-3) +(1+3) =2 13, |BC|= (1-3) +(7+3) =2 26, |AC|= (-3-1) +(1-7) =2 13, ∵|AB| +|AC| =|BC| ,且|AB|=|AC|, ∴△ABC 为等腰直角三角形. 9.(1)求与点 P(3,5)关于直线 l:x-3y+2=0 对称的点 P′的坐标. (2)已知直线 l:y=-2x+6 和点 A(1,-1),过点 A 作直线 l1 与直线 l 相交于 B 点, 且|AB|=5,求直线 l1 的方程. 解析:(1)设 P′(x0,y0),则 kPP′=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y0-5 , x0-3

PP′中点为 M?
0

?x0+3,y0+5?. 2 ? ? 2 ?

y -5 1 ? ?x -3·3=-1, ∴? x +3 y +5 ? ? 2 -3× 2 +2=0.
0 0 0

解得?

?x0=5, ? ? ?y0=-1. 4

∴点 P′坐标为(5,-1). (2)当直线 l1 的斜率不存在时,方程为 x=1,此时 l1 与 l 的交点 B 的坐标为(1,4). |AB|= (1-1) +[4-(-1)] =5 符合题意. 当直线 l1 的斜率存在时,设为 k. 则 k≠-2,∴直线 l1 为 y+1=k(x-1), 则 l1 与 l 的交点 B 为?
2 2

?k+7,2(2k-1)?, k+2 ? ?k+2 ?
2 2

∴|AB|=

?k+7-1? +?2(2k-1)+1? =5. ?k+2 ? ? k+2 ? ? ? ? ?

3 解得 k=- ,∴直线 l1 为 3x+4y+1=0. 4 综上可得 l1 的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

1.关于两条直线相交的判定: (1)两直线组成的方程组有唯一解,则两直线相交. (2)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不相等,则两直线相交.注意两直线的斜率 一个存在,另一个不存在时,两直线也相交. 2.两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点. 3.对于特殊情况,可结合图形求解. (1)P1P2 平行于 x 轴时,y1=y2,|P1P2|=|x2-x1|; (2)P1P2 平行于 y 轴时,x1=x2,|P1P2|=|y2-y1|; (3)P1,P2 在直线 y=kx+b 上时, |P1P2|= (x2-x1) +(y2-y1)
2 2 2 2

= (x2-x1) +(kx2-kx1) = 1+k ·|x2-x1|.

2

5



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