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2013届高考数学(理)考前60天冲刺【六大解答题】三角函数专练



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2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】 三角函数
1 1.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 2,

C ? 60? (1)求

a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。 3.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ? (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值. 4,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 cos 2C ? ? . (1)求 sin C 的值; (2)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长. 5,已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式

? ?

??

? ? cos A . 6?

1 4

x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集. (1)求角 C 的最大值; 7 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值. (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ? 2 2 1 2 16.在 ?ABC 中, cos 2 A ? cos A ? cos A . 2
(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC . 6.已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

π , x ? R) 2

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值. 7.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?
1

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

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8.在 ?ABC 中, a、 c 分别为角 A、、 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a 2 ? bc . BC b、 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值. 9.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量

m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 10 . 三 角 形 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 设 向 量

?

?

?

?

m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 11. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P (?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,求函数

?

?

?

?

y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 3 2 ?

?

2π ? 上的取值范围. ? ?

12.设向量 α =( 3 sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sin x-cos x),其中 x∈R,函数

f (x)=α ? β .
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 f (θ )= 3 ,其中 0<θ <

π 2

,求 cos(θ +

π 6

)的值.

13.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b 。 14.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 2 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2
? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?π ? ? ? ? ? cos(2? ? ) 的最大值及取得最大值时的 ? 值. 6 ?4 ?

15.已知向量 a ? (cos

?

? 3 3 x x ? 3 x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [ , ? ] 2 2 2 2 2 2

(1)求 | a ? b | 的取值范围;
2

?

?

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(2)求函数 f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值 16.已知 sin( A ?

? ?

?

?

?
4

)?

7 2 ? , A ? (0, ). 10 4

(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 5cos A cos x ? 1 的值域。 17. (本小题满分为 12 分)已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ?sin B ? 2sin c ,角 A、 B、C 所对的边为 a、b、c(1)求 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为 sin c 求角 C 的大小。

1 6

2c ? b cos B ? cos A . 18、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 19.在 ?ABC 中,

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC . 20.已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ? ?1, ?2 ? ,且 m? ? 0 。 n (1)求 tan A 的值;
2 (2)求函数 f ? x ? ? 2 3 1 ? 2sin x ? tan A sin 2 x 的最大值和单调递增区间。

??

?

?? ?

?

?

21.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数

y ? 3f (

?
2

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3?

?? ? ?? ? 22.已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 .
(I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f( 求 b ? c 的 取值范围. 23. 在锐角三角形 ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 B, 且 (1)求角 A; (2)若 a ?
3

A ) ? 3 ,且 a ? 2 , 2

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A

2 ,求 bc 的取值范围.

[键入文字]

24 . 已 知 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量

m ? (2 sin B,? 3) , n ? (cos 2 B,2 cos 2
(Ⅰ)求角 B 的大小;

B ? 1) ,且 m ∥ n , B 为锐角. 2

(Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 25.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数

2 ? 3? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 26.三角形 ABC 中, AB ? AC ? 1 AB ? BC ? ?3 , sin( A ? B) 的值 (1)求边 AB 的长度 (2) 求 sin C
解:

y ? 3f (

?

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ?

π π 1 7π 27.已知函数 f(x)=asinx+bcos(x- )的图象经过点( , ),( ,0). 3 3 2 6 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间.

π 3 1 π (2)由(1)知:f(x)= 3sinx-cos(x- )= sinx- cosx=sin(x- ).(9 分) 3 2 2 6 π π π π 2π 由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤x≤2kπ + 2 6 2 3 3

k∈Z.

2π 2π ∵x∈[0,π ],∴x∈[0, ],∴函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间为[0, ]. 3 3 28.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间;

(II) 在△ABC 中,a, b, c 分别是角 A、 C 的对边, f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为 B、 若 求 a 的值.

3 , 2

30.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,

4

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BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的 区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的 总长为 ykm。

D

P O

C

A (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式;

B

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短 31.设三角形 ABC 的内角 A, B, C, 的对边分别为 a, b, c, a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小.

4 ? (? ? x ? 0) ,求 sin x . 5 2 ? 32. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) ,
(3)如果 cos( x ? C ) ?

? ? ? 3 n ? (cosB cosC , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2 (1)求 A 的大小; ? (2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再 选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.
(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分) . 33.在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,其中 c ? 10 ,且 (1)求证: ? ABC 是直角三角形; (2)若 ? ABC 的外接圆为 ? O ,点 P 位于劣弧 ? 上,?PAB ? 60 ,求四边形 ABCP 的 AC
?

cos A b 4 ? ? 。 cos B a 3

面积。 34.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 ? (2)若 cosB= ,△ABC的周长为5,求b的长. 4
(1)求

2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】三角 函数专练
1 1.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值.
5

(1)

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1 2 2 2 【解答】 (1)∵c =a +b -2abcosC=1+4-4× =4, 4 ∴c=2,∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 1 15 ?1?2 2 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos C= 1-? ? = , 4 4 ?4? 15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 2 8 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角, ∴cosA= 1-sin A=
2

1-?

? 15?2 7 ?= . ? 8 ? 8

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 2, C ? 60? 2. 在 (1)求

a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 。

a b c 2 2 4 3 , ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2 4 3 4 3 所以 a ? sin A, b ? sin B , 3 3 4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 ? 3 ? 所以 . ???????6 分 sin A ? sin B sin A ? sin B 3 2 2 2 (2)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C , 即 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab , 又 a ? b ? ab ,所以 (ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 , 解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去) 1 1 3 所以 S?ABC ? ab sin C ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2
解: (1)由正弦定理可设 3.设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 sin ? A ? (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值. 本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查 运算求解能力,考查化归与转化思想. 解法一: (Ⅰ)由已知有 sin A ? cos

? ?

??

? ? cos A . 6?

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,

6

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故 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 . 又 0 ? A ? ? ,所以 A ? (Ⅱ)由正弦定理得 b ?

?
3

.

a ? sin B 4 a ? sin C 4 ? sin B, c ? ? sin C , sin A sin A 3 3

故b ? c ?

4 3

?sin B ? sin C ? .????????????8 分

2? 2? 3 3 ? 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin B ? sin ? cos B ? cos ? sin B ? sin B ? cos B 3 3 2 2 ? 3 ?

?? ? ? 3 sin ? B ? ? .????????????10 分 6? ?
所以 b ? c ? 4 sin( B ? 因为 0 ? B ? ∴当 B?

?
6

).

2? ? ? 5? ,所以 ? B ? ? . 6 6 6 3 ?

?
6

?
2

即 B?

?
3

时, sinB ? ?

? ?

??

? 取得最大值1 , b ? c 取得最大值 6?

4. ????12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A





4 ? b2 ? c 2 ? bc ,????????????8 分
2 所以 4 ? (b ? c) ? 3bc ,即 (b ? c) ? 3(
2

b?c 2 ) ? 4 ,????????????10 2



(b ? c)2 ? 16 ,故 b ? c ? 4 .
所以,当且仅当 b ? c ,即 ?ABC 为正三角形时, b ? c 取得最大值4. ????12 分 4,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 cos 2C ? ? . (1)求 sin C 的值;
7

1 4

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(2)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长. (1)解:因为 cos 2C ? 1 ? 2sin C ? ?
2

1 ,及 0 ? C ? ? , 4

所以 sin C ?

10 . 4

(2)解:当 a ? 2, 2sin A ? sin C 时, 由正弦定理

a c ? ,得 c ? 4. sin A sin C 1 2 由 cos 2C ? 2 cos C ? 1 ? ? , 及 0 ? C ? ? 4

得 cos C ? ?
2

6 . 4
2 2

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C , 得 b ? 6b ? 12 ? 0 ,
2

解得 b ? 所以 ?

6或2 6

?b ? 6, ?b ? 2 6 ? ? 或? ?c ? 4 ?c ? 4. ? ?

.解:(1) 证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA ----------2 分 ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC ? BC ? C ∴平面 BEC //平面 PDA -------4 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA -------6 分 (2)∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PDCE ∴平面 PDCE ? 平面 ABCD ∵ BC ? CD ∴BC ? 平面 PDCE ----------8 分 ∵ S梯形PDCE ?

1 1 ( PD ? EC ) ? DC ? ? 3 ? 2 ? 3 ------10 分 2 2

∴四棱锥 B-CEPD 的体积

1 1 VB ?CEPD ? S梯形PDCE ? BC ? ? 3 ? 2 ? 2 .----------12 分 3 3 5,已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式 x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集. (1)求角 C 的最大值; 7 3 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值. (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ? 2 2
8

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解: (1)显然 cos C ? 0 不合题意,则有 ?

?cos C ? 0 ,---------------------2 分 ?? ? 0

?cos C ? 0 ?cos C ? 0 1 ? 即? , 即? 1 , 故 cos C ? ,--4 分 2 2 ?16sin C ? 24cos C ? 0 ?cos C ? ?2或 cos C ? 2 ?
∴角 C 的最大值为 60? 。????????------------------------------------6 分

1 3 3 ab sin C ? ab ? 3 ,∴ ab ? 6 -------------8 分 2 4 2 由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? 2ab cos C , 121 11 2 2 ∴ (a ? b) ? c ? 3ab ? ,∴ a ? b ? 。 4 2 1 2 16.在 ?ABC 中, cos 2 A ? cos A ? cos A . 2
(2)当 C = 60? 时, S?ABC ? (I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

1 解: (I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A , 2

1 ? ?0 ? A ? ? , . ? A ? . ??????5 分 2 3 b c sin B b ? ? ?2 (II)由 可得: sin B sin C sin C c ??????8 分 ? b ? 2c 2 2 2 2 b ?c ?a 4c ? c 2 ? 9 1 cos A ? ? ? ??????10 分 2bc 2 4c 2 ? cos A ?
解得: c ? 3 , b ? 2 3

S?

1 1 3 3 3 bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2
π , x ? R) 2

6.已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

的图象的一部分如下图所示. (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值. I)由图象,知 A=2, ∴? ?



?

?8.

π π ,得 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) .?????????????????2 分 4 4 π π 当 x ? 1 时,有 ?1 ? ? ? . 4 2 π ∴? ? . ????????????????????????4 分 4
9

[键入文字]

∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) .

π 4

π 4

????????????????? 5 分

(II) y ? 2sin( x ? ) ? 2sin[ ( x ? 2) ? ]

π π π π 4 4 4 4 π π π π ???????????7 分 ? 2sin( x ? ) ? 2cos( x ? ) 4 4 4 4 π π ? 2 2 sin( x ? ) 4 2 π ???????????????????10 分 ? 2 2 cos x 4
?

∴ ymax ? 2 2 , ymin ? ?2 2 . 7.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

16 解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

2 2 2 8.在 ?ABC 中, a、 c 分别为角 A、、 的对边,且满足 b ? c ? a ? bc . BC b、

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值. (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b2 ? c2 ? a2 ? bc 及余弦定理得 cos A ? 而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ)由 a ?

?
3

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ?2 分 2bc 2
?????4 分



3, A ?

?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2 , ??6 分 3 2

10

[键入文字]

同理 c ?

a 2? ? sin C ? sin( ? x) sin A 3


?????8 分

y ? 2 sin x ? 2 sin(

2? ? ? x) ? 3 ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 3 6 ? 2? ? ? 5? ), ∵ A ? ,? 0 ? x ? ∴ x ? ?( , 3 3 6 6 6

??????10 分

∴x?

?

6

?

?

2

即x?

?

3

时, ymax ? 3 3 。

9.三角形的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,设向量

m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围.
? ?

?

?

?

?

解(I)由 m // n 知

cos B ?

1 ? ,得 B ? 2 3

c?a b?a 2 2 2 ? ,即得 b ? a ? c ? ac ,据余弦定理知 a?b c
——————6 分

(II) sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ? B) ? sin A ? sin( A ?

?
3

)

1 3 3 3 ? sin A ? sin A ? cos A ? sin A ? cos A 2 2 2 2
? 3 sin( A ?
因为 B ?

?
6

)

————————9 分

2? 2? ) ————10 分 ,得 A ? (0, 3 3 3 ? ? 5? ? 1 3 ) , n A ) ( 1? i ( ? ] , 所以 A ? ? ( , 得s , 即得 sin A ? sin C 的取值范围为 ( , 3] . 6 6 6 6 2 2 10 . 三 角 形 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 设 向 量

?

,所以 A ? C ?

m ? (c ? a, b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)求 sin A ? sin C 的取值范围.
? ?

?

?

?

?

解(I)由 m // n 知

cos B ?

1 ? ,得 B ? 2 3

c?a b?a 2 2 2 ? ,即得 b ? a ? c ? ac ,据余弦定理知 a?b c
——————6 分

(II) sin A ? sin C ? sin A ? sin( A ? B) ? sin A ? sin( A ?

?
3

)

1 3 3 3 ? sin A ? sin A ? cos A ? sin A ? cos A 2 2 2 2
? 3 sin( A ?
11

?
6

)

————————9 分

[键入文字]

因为 B ?

2? 2? ) ————10 分 ,得 A ? (0, 3 3 3 ? ? 5? ? 1 ) , 得 sin(A ? ) ( , 1] 即 得 sin A ? sin C 的 取 值 范 围 为 ? 所以 A ? ?( , , 6 6 6 6 2

?

,所以 A ? C ?

(

3 , 3] . 2
11. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P (?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,求函数

y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 3 2 ?

?

2π ? 上的取值范围. ? ?

12.设向量 α =( 3 sin 2x,sin x+cos x),β =(1,sin x-cos x),其中 x∈R,函数

f (x)=α ? β .
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 f (θ )= 3 ,其中 0<θ < (Ⅰ)解:由题意得

π 2

,求 cos(θ +

π 6

)的值.

f (x)= 3 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
= 3 sin 2x-cos 2x=2sin (2x-

π ), 6
????6 分

故 f (x)的最小正周期 T=

2π =π . 2 π )= 3 , 6

(Ⅱ)解:若 f (θ )= 3 ,则 2sin (2θ - 所以,sin (2θ -
12

3 π )= . 2 6

[键入文字]

π π 5π ,所以 θ = 或 . 2 4 12 6? 2 π π π π 当 θ = 时,cos(θ + )=cos( + )= ; 4 4 6 4 6 6? 2 5π π 5π π 5π 当θ = 时,cos(θ + )=cos( + )=-cos =- . 4 12 6 12 6 12
又因为 0<θ < 13.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b 。

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

14.已知 △ ABC 的面积为 1 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 2 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2

?

?

?

?

? ?π ? ? ? ? ? cos(2? ? ) 的最大值及取得最大值时的 ? 值. 6 ?4 ?

解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,

1 bc sin ? ? 1 , 0 ? bc cos ? ? 2 , ?????????????2 分 2 可得 tan ? ? 1 , ?????????????4 分
则由

?π π ? ?? ? (0, ? ) ∴? ? ? , ? . ?4 2 ?
(Ⅱ) f (? ) ? ? ?1 ? cos ?

?????????????6 分

? ?

3 1 ?π ?? ? 2? ?? ? ( cos 2? ? sin 2? ) ?????8 分 2 2 ?2 ??

? 1 ? sin 2? ?

? 3 1 cos 2? ? sin 2? ? 3 sin(2? ? ) ? 1 .????10 分 6 2 2

π π ? π 5π ? ?π π ? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 当 ? ? 时, ??????12 分 3 6 ?3 6 ? ?4 2 ?
有 f (? )max ? 3 ? 1. .
13

????????????14 分

[键入文字]

15.已知向量 a ? (cos

?

? 3 3 x x ? 3 x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [ , ? ] 2 2 2 2 2 2

(1)求 | a ? b | 的取值范围; (2)求函数 f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值 解析: (1)∵

?

?

? ?

?

?

? 3 x ?[ , ? ] 2 2



? 1 ? cos 2 x ? 1 ;

? ? | a ? b |? 2 ? 2 cos2x
(2)∵ ∵

∴ 0≤ | a ? b | ≤2

?

?

4分

? 3 x ?[ , ? ] ∴ ? 1 ? cos x ? 0 ;????6 分 2 2 ? ? ? ? f ( x) ? a ? b ? | a ? b |? cos2x ? 2 ? 2 cos2x

? 2 cos2 x ? 1 ? 4 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ? 1 ??????10 分 1 2 4 3 ? ? ? ? ∴ 当 cos x ? ? ,即 x ? ? 或 x ? ? 时, f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 取最小值- 。 2 3 3 2
16.已知 sin( A ?

?
4

)?

7 2 ? , A ? (0, ). 10 4

(1)求 cos A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 5cos A cos x ? 1 的值域。 解: (Ⅰ)因为 0 ? A ?

?
4

,且 sin( A ?

?
4

)?

7 2 , 10

所以

?
4

? A?

?
4

?

?
2

, cos( A ?

?
4

)?

2 . 10

因为 cos A ? cos[( A ?

?

? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4

?

?

)? ] 4 4

?

?

?

?

2 2 7 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5
4 . 5
????????????????6 分

所以 cos A ?

14

[键入文字]

17. (本小题满分为 12 分)已知△ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ?sin B ? 2sin c ,角 A、 B、C 所对的边为 a、b、c(1)求 AB 的长; (2)若△ABC 的面积为 sin c 求角 C 的大小。 解(1) a ? b ? 2c ∴ 2c ? c ? 2 ? 1 (2) S ? ∵ a ? b ? c ? 2 ?1 -------------------2 分

1 6

∴C=1 ---------------------6 分

1 1 1 AC ? BC sin c ? sin c ? ab ? ---------------------8 分 2 6 3 1 ? 4 ?ab ? 3 ∵? ---------------------10 分 ? a 2 ? b2 ? 3 ?a ? b ? 2 ? 4 ?1 2 2 2 ? a ?b ?c 1 3 ∴c ? cos c ? ? ? 2 3 2ab 2 3

2c ? b cos B ? cos A . 18、在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

2c ? b cos B ? cos A , 解:解: (Ⅰ)因为 a

所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B

由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B . 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C .

在△ ABC 中, sin C ? 0 . 所以

cos A ?

1 ? ?A ? 2, 3

cos A ?
(Ⅱ) 由余弦定理

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2 ,a ? 2 5 . 所以 b2 ? c2 ? 20 ? bc ? 2bc ? 20

所以 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=”
15

[键入文字]

1 S ? bc sin A ? 5 3 2 所以三角形的面积 . 所以三角形面积的最大值为 5 3
19.在 ?ABC 中,

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

1 解: (I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A , 2

1 ? ?0 ? A ? ? , . ? A ? . ??????5 分 2 3 b c sin B b ? ? ?2 (II)由 可得: sin B sin C sin C c ??????8 分 ? b ? 2c 2 2 2 2 b ?c ?a 4c ? c 2 ? 9 1 cos A ? ? ? ??????10 分 2bc 2 4c 2 1 1 3 3 3 解得: c ? 3 , b ? 2 3 S ? bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2 ? cos A ?

20.已知向量 m ? ? sin A,cos A?, n ? ?1, ?2 ? ,且 m? ? 0 。 n (1)求 tan A 的值;
2 (2)求函数 f ? x ? ? 2 3 1 ? 2sin x ? tan A sin 2 x 的最大值和单调递增区间。

??

?

?? ?

?? ? ?? ? n 16、解:(1)由 m ? ? sin A,cos A? , n ? ?1, ?2 ? ,且 m? ? 0 ,
得 sin A ? 2cos A ? 0 ? tan A ? 2
2 (2)由 f ? x ? ? 2 3 1 ? 2sin x ? tan A sin 2 x

?

?

?

?

? 2 3 cos 2 x ? 2sin 2 x ?? ? ? 4sin ? 2 x ? ? ,所以 f ? x ? 的最大值是 4 3? ? ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? 又 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? 得 k ? ? 2 3 2 12 12 5? ?? ? 所以递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 12 12 ? ?
21.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数

y ? 3f (

?
2

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3?

解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以

16

[键入文字]

? sin ? ?

1 3 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 3 2

------------3 分

3 3 3 ---------6 分 ? ?? 2 3 6 (2) ? f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x , x ? R --------8 分 ? ? ? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ----10 分 2 6 2? 4? ? ? 7? ?0 ? x ? ,? 0 ? 2 x ? ,?? ? 2 x ? ? 3 3 6 6 6 1 ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 ------------------13 分 2 6 6 ? ? 2π ? 2 故:函数 y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围是 [?2,1] 2 ? 3? ?? ? ?? ? 22.已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . ?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ?
(I)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (II)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f( 求 b ? c 的 取值范围. 解: (I)由 m ? n ? 0 得 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

A ) ? 3 ,且 a ? 2 , 2

?? ?

?
6

) ?1

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? (II)因为 f ( ) ? 3 ,则

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .????6 分

A?

?
6

A 2

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z .因为 A 为三角形内角,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

????9 分

由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin(B ? ) 3 3 3 3 3 6
2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 3 6 2

? B ? (0,

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]

23. 在锐角三角形 ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 B, 且 (1)求角 A;
17

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A

[键入文字]

(2)若 a ?

2 ,求 bc 的取值范围.
b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A
, ?

解 :( 1 ) ?

? 2ac cos B ? cos B ? ac sin A cos A



? ?ABC为锐角三角形
? cos B ? 0 ? 2 sin A cos A ? 1,即sin 2 A ? 1 , 2 A ? ?
分 (2)正根据弦定理可得: 分

?
2

,A?

?
4

-----------------6

a b c ? ? , ? bc ? 4 sin B sin C -----------8 sin A sin B sin C


C?

3? ?B 4

? bc ? 4 sin B sin(

3? 2 2 ? B) = 4 sin B( cos B ? sin B) ? 2 sin 2B ? 2 (1 ? cos2B) 4 2 2

? bc ? 2 sin( 2 B ?

?
4

) ? 2 ---------------------------------12 分

? ? ?0 ? B ? 2 ? ? ? 又 ?ABC为锐角三角形,? ? ,得到 B 的范围: ( , ) ----13 分 4 2 ?0 ? 3? ? B ? ? ? 4 2 ?
? 3? ? ( , ) ,则 bc 范围: (2 2 ,2 ? 2 ] ----14 分 4 4 4 24 . 已 知 ?ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量 B m ? (2 sin B,? 3) , n ? (cos 2 B,2 cos 2 ? 1) ,且 m ∥ n , B 为锐角. 2 (Ⅰ)求角 B 的大小;
? 2B ?
(Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 解: (Ⅰ)∵ m // n ∴ 2 sin B(2 cos
2

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B ?????????1 分 2
即 tan2B ? ? 3 . ??????????3 分 ????????????????4 分

∴ sin 2B ? ? 3 cos2B .

又∵ B 为锐角,∴ 2B ? (0, ? ) . ∴ 2B ? (Ⅱ)∵ B ?

2? ? ,∴ B ? . ???????????????????5 分 3 3

?
3

, b ? 2 ,∴由余弦定理 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 得 2ac

18

[键入文字]

a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0 .
2 2 又∵ a ? c ? 2ac ,代入上式得 ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成

立) ???????????????????????????8 分 . ∴ S ?ABC ? 立). ∴ ?ABC 面积的最大值为 3 . 25.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ,求函数

1 3 ac sin B ? ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成 2 4

y ? 3f (

?
2

2π ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? ? ? 3?

解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以

? sin ? ?

1 3 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 3 2

------------3 分

3 3 3 ---------6 分 ? ?? 2 3 6 (2) ? f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x , x ? R --------8 分 ? ? ? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ----10 分 2 6 2? 4? ? ? 7? ?0 ? x ? ,? 0 ? 2 x ? ,?? ? 2 x ? ? 3 3 6 6 6 1 ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 ------------------13 分 2 6 6 ? ? 2π ? 2 故:函数 y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围是 [?2,1] 2 ? 3? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 26.三角形 ABC 中, AB ? AC ? 1 AB ? BC ? ?3 , sin( A ? B) 的值 (1)求边 AB 的长度 (2) 求 sin C ?sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ?
解: (1)? AB ? AC ? AB ? BC ? 4 ? AB ? AC ? BC ? 4 ? AB ? 4 ? AB ? 2 ·········· 分 ··········6 (2)因为 bccosA=1;accosB=3. ·········· 分 ··········8 所以

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

?

??? 2 ?

b cos A 1 sin B cos A 1 ? ? ? ? sin A cos B ? 3sin B cos A a cos B 3 sin A cos B 3
·········· ··········10 分

19

[键入文字]

于是

sin ? A ? B ? sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B 2cos A sin B 1 ? ? ? ? sin C sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B 4cos A sin B 2

π π 1 7π 27.已知函数 f(x)=asinx+bcos(x- )的图象经过点( , ),( ,0). 3 3 2 6 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间.

π 3 1 π (2)由(1)知:f(x)= 3sinx-cos(x- )= sinx- cosx=sin(x- ).(9 分) 3 2 2 6 π π π π 2π 由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + ,解得 2kπ - ≤x≤2kπ + 2 6 2 3 3

k∈Z.

2π 2π ∵x∈[0,π ],∴x∈[0, ],∴函数 f(x)在[0,π ]上的单调递增区间为[0, ]. 3 3 28.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数 f ( x) ? m ? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间;

(II) 在△ABC 中,a, b, c 分别是角 A、 C 的对边, f ( A) ? 4, b ? 1, △ABC 的面积为 B、 若 求 a 的值. 解: (I)? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),

3 , 2

?? ? ? f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? ? 2 sin( 2 x ? ) ? 3 6 2? ?T ? ?? 2
令2k? ? ? k? ?
20

????4 分 ????5 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 2

?

2 ? x ? k? ? ? (k ? Z ) 6 3

[键入文字]

? f ( x)的单调减区间为 [k? ?
(II)由 f ( A) ? 4 得

?

2 , k? ? ? (k ? Z )] 6 3

????7 分

f ( A) ? 2 sin(2 A ? ? sin(2 A ?

?
6

)?3? 4

?
6

)?

1 2

又? A为?ABC的内角

?

?
6

6 ? 5? ?2A ? ? 6 6
?A?

? 2A ?

?

?

7? 6

?
3

????10 分

3 ,b ? 1 3 1 3 ? bc sin A ? 2 2 ? S ?ABC ?
?c ? 2
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ?3 2
????12 分

?a ? 3
29.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点. D1 A1 求证: (1)AC1∥平面 BDE; (2)A1E?平面 BDE. (1)证明:连接 AC,设 AC∩BD=O.由条件得 ABCD 为正方形, 故 O 为 AC 中点.因为 E 为 CC1 中点,所以 OE∥AC1. 因为 OE?平面 BDE,AC1?平面 BDE.所以 AC1∥平面 BDE. / (2)连接 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中,BE=B1E= 2a,BB1=2a.所以 BE +B1E =BB1 . 所以 B1E?BE.由正四棱柱得,A1B1?平面 BB1C1C,所以 A1B1?BE. 所以 BE?平面 A1B1E.所以 A1E?BE.同理 A1E?DE.所以 A1E?平面 BDE. 30.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,
21
2 2 2

C1 B1 E

D A B

C

[键入文字]

BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的 区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的 总长为 ykm。

D

P O

C

A (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式;

B

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? ? ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? cos ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

? 1 ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 6 2 4

当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函 6? 6 4? ?

数,所以当 ? =

? 时, ymin ? 10 ? 10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域 6
10 3 km 处。 3

内且距离 AB 边

31.设三角形 ABC 的内角 A, B, C, 的对边分别为 a, b, c, a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小.
22

[键入文字]

4 ? (? ? x ? 0) ,求 sin x . 5 2 a b ? 解: (1)依正弦定理 有 b sin A ? a sin B sin A sin B
(3)如果 cos( x ? C ) ? 又 a ? 4, sin A ? 4sin B ,∴ b ? 1 (2)依余弦定理有 cos C ? ??????????4 分

a 2 ? b2 ? c 2 16 ? 1 ? 13 1 ? ? 2ab 2 ? 4 ?1 2
????????9 分

又 0? < C < 180? ,∴ C ? 60?

3 3? 4 3 sin( x ? C ) ? ,sin x ? [( x ? C ) ? C ] ? 5 10 ? (3)由已知得 ? 32. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (?1,1) ,
? ? ? 3 n ? (cosB cosC , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2 (1)求 A 的大小; ? (2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,试从中再 选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积.
(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分) .

3 ?? ? ? cos B cos C ? sin B sin C ? ?0 2 解: (1)因为 m ? n ,所以 cos B cos C ? sin B sin C ? ?
即:

3 3 cos( B ? C ) ? ? 2 ,所以 2

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A

cos A ?
所以

3 , A ? 30? 2

6分
?

(2)方案一:选择①②,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, 2c ? ( 3 ?1)b ? 0

12 ? b2 ? (
由余弦定理,得:

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6? 2 2

b2 ? 2, b ? 2, c ?
整理得:

1 1 6? 2 1 3 ?1 S?ABC ? bc sin A ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 4 所以

12 分

23

[键入文字]

方案二:选择①③,可确定 ?ABC ,因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105
? ?

?

sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ?


6? 2 4

c?
由正弦定理

a sin C 1? sin105? 6? 2 ? ? ? sin A sin 30 2

1 1 6? 2 2 3 ?1 S?ABC ? ac sin B ? ?1? ? ? 2 2 2 2 4 所以
(注意;选择②③不能确定三角形) 33.在 ? ABC 中,三个内角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,其中 c ? 10 ,且 (1)求证: ? ABC 是直角三角形; (2)若 ? ABC 的外接圆为 ? O ,点 P 位于劣弧 ? 上,?PAB ? 60 ,求四边形 ABCP 的 AC
?

cos A b 4 ? ? 。 cos B a 3

面积。 .解: (1)由

cos A b 4 ? ? , 得 a cos A ? b cos B ? sin 2 A ? sin 2B, ???? 2 分 cos B a 3

所以 2 A ? ? ? 2 B 或 A ? B ,???????????? 4 分 但 a ? b , 故 A? B ?

?
2

, 所 以 C?

?
2

, 所 以 ? ABC 是 直 角 三 角

形;???????????? 6 分 (2)由(1)得 a ? 6, b ? 8 ,所以 S? ABC ? ???????????? 8 分 在 ? APC 中, AC ? b ? 8, AP ? 10cos60 ? 5 ,
?

1 ? 6 ? 8 ? 24 , 2

sin ?CAP ? sin(60? ? ?BAC ) ? 1 2

3 4 1 3 4 3 ?3 ,??????? 10 分 ? ? ? ? 2 5 2 5 10 4 3 ?3 ?8 3 ?6 10

所以 S? APC ? ?AC ?AP? ?CAP ? 20? sin 所以 S? ABCP ? 8 3 ? 18 。

34.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 ? (2)若 cosB= ,△ABC的周长为5,求b的长. 4
(1)求
24

[键入文字]

解 析

(1) 由 正 弦 定 理 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B,

c ? 2R sin C, 所 以

c o s A - 2 c o s2sin C ? sin A a C 2 c = = , c o s B b sin B
即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B ,即有 sin( A ? B ) ? 2sin(B ? C ),

sin C =2 sin A c sin C (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦 a sin A
即 sin C ? 2sin A ,所以 定理得:

1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) 2 ? (2a) 2 ? a 2 ? 4a 2 ? ,解得 a=1,所以 b=2. 4

25



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