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4.1.2圆的一般方程-例题



《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第四章 圆与方程?

第?30?讲? §4.1.2? 圆的一般方程
¤学习目标:回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程;能用待定系数法 求圆的一般方程.? ¤知识要点:? D E 1.? 圆的一般方程:方程?x 2 + y 2? + Dx + Ey + F =

0? (?D 2 + E 2? - 4 F > 0?)表示圆心是 ( - , - )?,半径长 2 2? 1? 2 为? D + E 2? - 4? F 的圆.? ? 2.? 轨迹方程是指点动点 M 的坐标 ( x, y? )?满足的关系式.? 2? ¤例题精讲: 【例 1】求过三点 A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程.? 解:设所求圆的方程为?x 2 + y 2? + Dx + Ey + F =?0?.? 则?

ì 4 + 4 + 2 D + 2 E + F? = 0? ì D?= -8? ? ? í 25 + 9 + 5 D + 3E + F? = 0?, 解得?í E? = -2?.? ?9 + 1 + 3D - E + F = 0? ? F = 12? ? ?? 2 2? ∴ 圆的方程为?x + y - 8 x - 2 y + 12 =?0?.?
【例 2】设方程?x 2 + y 2 - 2( m + 3) x + 2(1 - 4 m 2 ) y + 16m 4 - 7 m 2? + 9 = 0?,若该方程表示一个圆,求 m 的取 值范围及圆心的轨迹方程.?
2? 解:配方得 [ x - ( m + 3) ]? + é m ,该方程表示圆,则有? ? y - (1 - 4m ) ù ? = 1 + 6? ì x = m?+ 3? 1? ,消去 m,得?y = 4( x - 3) 2? - 1?, 1 + 6m > 0?,得?m ? ( - , +? )?,此时圆心的轨迹方程为?í 2? 6? y = 1 4 m ? ? 1? 17? 17? 由?m ? ( - , +? )?得 x=m+3? ? ( , +?? )?.? ∴所求的轨迹方程是?y = 4( x - 3) 2? - 1?,?x ? ( , +? )? 6? 6 6? 【例?3】已知线段 AB?的端点?B?的坐标是(4,3),端点?A 在圆?( x + 1)2 + y 2? = 4?上运动,求线段?AB?的中点轨 2? 2?

迹方程.? (教材 P133? 例 5? 另解) 解:设圆?( x + 1)2 + y 2? = 4?的圆心为 P(?1,0),半径长为 2,线段 AB 中点为 M(x, y).?

-1 +?4? 0 +?3? 3? 3? y? 取 PB 中点 N,其坐标为(? ,? ),即 N(? ,? ).? 2 2 2? 2? ∵? M、N 为 AB、PB 的中点,? B(4,3) N? 1? ∴? MN∥PA 且 MN=? PA=1.? M(x,y)? 2? P? x? ∴ 动点 M 的轨迹为以 N 为圆心,半径长为 1 的圆.? 3 3? A? 所求轨迹方程为:?( x - ) 2 + ( y - ) 2? =?1?.? 2 2? 点评:此解为定义法,利用中位线这一几何性质,将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长,即圆 的定义.? 解法关键是连接 PB,取 PB 的中点 N,得到 MN 的长度为定值.? 教材中的解法是通过设动点的坐标, 然后找出相关的几何条件,得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.? 【例 4】求经过?A(4, 2), B ( -1,3)?两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程.?
解:设所求圆的方程为?x 2 + y 2? + Dx + Ey + F =?0?.? 当?x = 0?时,? y 2? + Ey + F = 0?,则?y1 + y2? = -

E? D? ; 当?y = 0?时,?x 2? + Dx + F = 0?,则?x1 + x2? = -? .? 2? 2?

ì ?16 + 4 + 4 D + 2 E + F? = 0? ì D?= -3? ? ? 则?í1 + 9 - D + 3E + F? = 0? , 解得?í E? = -5 .? ? D ? F = 2? E ?? ?(- ) + ( - ) = 4? ? 2 2? ∴ 圆的方程为?x 2 + y 2? - 3 x - 5 y + 2 =?0?.? 点评:用待定系数法的一般步骤是“设(设含待定系数的方程)→列(利用条件列出系数所满足的方程组) →求(解方程组)→写(写出所求方程) ”. 当已知圆上三点或两点时,选用圆的一般方程形式较为简单. 当 易知圆心和半径时,选用圆的标准方程形式易求解.?
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