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2.2.1 椭圆及其标准方程(1)



高二下数学A 选修2-1

2.2.1 椭圆及其标准方程(1)
椭圆 椭圆的标准方程

复习引入
求曲线的方程的一般步骤:
1. 建系设点 2. 构建条件 3. 坐标表示 4. 化简方程 5. 证明说明

求轨迹的一般方法:
1. 直接法:关键“寻求等量关系” 2. 间接法:引参

消参,等价转化.

问题引出
两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离 之和为10,求点M的轨迹方程.
1. 建系设点 2. 构建关系 3. 坐标表示 4. 化简方程 5. 证明说明

y
M

A

O

B

x

新课讲授
定义: 我们把平面内与两个 定点F1,F2的距离之和 等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫 做椭圆的焦距.

概念理解
椭圆定义中“大于|F1F2|”的理解 等于|F1F2| 小于|F1F2|

轨迹为线段F1F2

无轨迹

方程推导
建系设点
以经过椭圆焦点F1、F2 的直线为x轴,线段F1F2 的垂直平分线为y轴,建 立坐标系. M(x, y) F1(-c, 0) F1(c, 0) y
M

F1

O

F2

x

构建关系
|MF1|+|MF2|=2a (a>c)

坐标表示 ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x - c)2 ? y 2 ? 2a 化简方程

2 2 x y (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) ? ? 2 ?1 2 2 a a -c

标准方程
观察与思考: 你能从图中找出表示 a,c, a 2 - c 2 的线 段吗? 令b2=a2-c2(b>0) 则b就是线段OP的长度. 椭圆的标准方程:
P y

a -c
F1

2

2

a c
F2

O

x

x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 2 a b

标准方程
思考: 如图,如果焦点F1,F2在 y轴上,且F1,F2的坐标分别 为(0, -c),(0, c),a,b的意 义与前面相同,那么椭圆的 方程是什么呢? 椭圆方程为: y2 x2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 2 a b 这个方程也是椭圆的标准方程.
M O

y
F1 x F2

归纳小结
焦点在x轴上 图形 焦点在y轴上

标准 方程 焦点 a,b,c

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

F1(-c, 0) F2(c, 0)

F1(0, c) F2(0, -c)

a2=b2+c2 (a>b>0)

例题分析
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2, 0), 5 3? (2, 0),并且经过点 ? ? ,- ? ,求它的标准方程.
?2 2?

解:∵椭圆焦点在x轴上, 2 x y2 ∴设它的标准方程为: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)
a b

由椭圆的定义,得
2a ? ? ? 2 10 ? a ? 10

又∵c=2,∴b2=a2-c2=6
因此,所求的椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ?1 10 6

y2 x2 ? ?1 100 36

巩固练习
1.椭圆 的点P到一个焦点的距离 为6,那么点P到另一个焦点的距离为 。
2.求椭圆的标准方程
1)a=4,b=2,焦点在x轴
y2 x2 ? ?1 100 36

2)b=3,c=1,焦点在y轴
3)到(-4,0),(4,0)的距离和为12 4)a+b=9,c=3

问题拓展
y

例2 如图,已知点B是 l M 圆C:(x+1)2+y2=16上 一动点,A(1, 0),线 C O A 段AB的垂直平分线l 交BC于点M,求M的 轨迹方程. 分析:连接AM,则 |MA|=|MB| ∴|MC|+|MA|=|BC|=4 ∴点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆 且2a=4,c=1 2 2 x y ∴点M的轨迹方程为: ? ?1
4 3

B

x

探究 轨迹 求轨迹 方程

问题拓展
y

例2 如图,已知点B是 圆C:(x+1)2+y2=16上 一动点,A(1, 0),线 段AB的垂直平分线l 交BC于点M,求M的 轨迹方程. 变题: 已知动圆M过定点A(1, 0) 且与定圆C:(x+1)2+y2=16 内切,求动圆圆心M的轨 迹方程.

l

M C O A

B

x

y

M
C O A

B

x

归纳小结
椭圆的定义: {M| |MF1|+|MF2|=2a, 2a>|F1F2|} 椭圆的标准方程:



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