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甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学(理)试题



本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a ? R ,且 ( a ? i ) 2 i 为正实数,则 a ?
A. 2 B. 1 C.0

D. ? 1

2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 1, ? 2) P( ? ? 4)=0.79 , P( - 2 ? ? ? 1)= , 则 ( A.0.21 3.下列说法正确的是
A . 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱, B . 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形, C . 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台, D . 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.

B. 0.58

C. 0.42

D. 0.29

4. ( x ? A. ? 4 0

a x

)( 2 x ?

1 x

) 展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为

5

B. ? 2 0

C. 2 0

D. 4 0

?x ? y ?1? 0 ? 5.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为 ? x ? 0 ?

A. 0
x ln x x

B. 1

C.

2

D. 9

6. 函数 y ?

的图像可能是

7.已知函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x , a , b 为常数, a ? 0, x ? R )在 x ? (

?
4

处取得最小值,

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则函数 y ? f (

3? 4

? x)

A . 是偶函数,且它的图像关于 (? , 0 ) 对称 C . 是奇函数,且它的图像关于 (
3? 2 , 0 ) 对称

B . 是偶函数,且它的图像关于 (

3? 2

, 0 ) 对称

D . 是奇函数,且它的图像关于 (? , 0 ) 对称

8.在数列 ? a n ? 中,若对任意的 n 均有 a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 为定值( n ? N * ) , 且 a 7 ? 2, a 9 ? 3, a 98 ? 4 ,则数列 ? a n ? 的前 100 项的和 S 1 0 0 ?

A. 132

B. 2 9 9

C. 6 8

D. 9 9

9.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? 0 且 g(3)=0.则不等式 f ( x ) g ( x ) ? 0 的解集是

A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)
??? ??? ? ?

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

10.如图所示,两个不共线向量 O A , O B 的夹角为 ? ,
M , N 分别为 O A 与 O B 的中点,点 C 在直线 M N 上,

B M O
D.
1 2

C N A

且 O C ? xO A ? y O B ( x , y ? R ) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为
2 4
1 8

????

??? ?

??? ?

A.

B.

C.

2 2

11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 恒成立,如果实数
m , n 满足不等式 f ( m ? 6 m ? 21) ? f ( n ? 8 n ) ? 0 ,那么 m ? n 的取值范围是
2 2
2 2

A . (9,49)

B . (13,49)

C . (9,25)

D . (3,7)

12.对于定义在 D 上的函数 f ( x ) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m 1 和 y ? kx ? m 2 , 使得对任意 x ? D 都有 kx ? m 1 ? f ( x ) ? kx ? m 2 恒成立,则称函数 f ( x )( x ? D ) 有一个宽 度为 d 的通道.给出下列函数:① f ( x ) ?
1 x

,② f ( x ) ? sin x ,③ f ( x ) ?

x ? 1 ,其中在
2

区间 [1, ? ? ) 上通道宽度可以为 1 的函数有:
A . ①② B . ①③ C. ① D. ③

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ( x , y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 ______. 14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为_______________.

15.等比数列 ? a n ? 中, a1 , a 2 , a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a 2 , a 3 中的 任何两个数不在下表中的同一列,则数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? ______________. 第一列 第一行 第二行 第三行 16.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

第二列 2 4 8
x

第三列 10 14 18

3 6 9
2 x

, g (x) ? ?

?1? ? ? m .若 ? x1 ? [1, 2 ] , ? x 2 ? [ ? 1,1] ?2?

使 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,则实数 m 的取值范围是________________.

选择、填空题答案:
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1—5:DDBDB 6—10:BDBDB, 11—12:AB
1 3

13.

; 14.

(8 ? ? ) 3 6

;15. 2 ? 3 n ?1 ;16. [ ?

5 2

, ?? )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ?
3 ) 海里的

两个观测点,现位于 A 点北偏东 4 5 ? ,B 点北偏西 6 0 ? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 6 0 ? 且与 B 点 相距 2 0 3 海里的 C 点救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:

18.已知函数 f ( x ) ?

2x ? 3 3x

, 数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? f (

1 an

), n ? N ,
*

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)令 Tn ? a1 a 2 ? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ? a 4 a 5 ? ? ? a 2 n a 2 n ?1 , 求 T n ;
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(3)若 T n ?

m 2

对 n ? N * 恒成立,求 m 的最小值.
2x ? 3 3x ? 2 3 ? 1 x

解: (1)因为 f ( x ) ?

, a n ?1 ? f ( 又
1 3

1 an

)?

2 3

? a n , ? a n ? 是以 1 为首项, 即 以

2 3

为公差的等差数列,所以 a n ?

2 3

n?

.

(2) T n ? a1 a 2 ? a 2 a 3 ? a 3 a 4 ? a 4 a 5 ? ? ? a 2 n a 2 n ?1
? a 2 ( a1 ? a 3 ) ? a 4 ( a 3 ? a 5 ) ? ? ? a 2 n ( a 2 n ?1 ? a 2 n ? 1 ) ? ?
? ? 4 9 (2 n ? 3n)
2

4 3

(a2 ? a4 ? ? ? a2n )

(3)由 n ? N * ,?T n ? 递减,所以 n ? 1 ,T n 取最大值 ? 所以, m ? ( 2 T n ) m a x ? ?
40 9 , 所以, m m in ? ? 40 9

20 9

,由 T n ?

m 2

时,n ? N * 恒成立,

.

19. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 是 边 长 为 2 3 的 菱 形 , ? B A D ? 1 2 0 ? 且

P
P A ? 面 A B C D , P A ? 2 6 , M , N 分别为 P B , P D 的中点.

N
(1)证明: M N / / 面 A B C D (2)过点 A 作 A Q ? P C ,垂足为点 Q ,求二面角 A ? M N ? Q 的余弦值. 19.

M A B

Q

D C

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20.现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性, 约定: 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E ? . 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为
1 3
i

,去参加乙游戏的概率为
1
i

2 3

.设
4?i

“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏” 为事件 Ai ,( i ? 0,1, 2, 3, 4) , P ( A i ) ? C 4 ( ) ( ) 则
3 3

2

.

(1)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率 P ( A 2 ) ? C 4 ( ) ( ) ?
2 2 2

1

2

8 27

3

3

(2) “这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数” 设 为事件 B ,B ? A3 ? A4 , 故, P ( B ) ? P ( A 3 ) ? P ( A 4 ) ? C 4 ( ) ( ) ? C 4 ( ) ?
3 3 4 4

1

2

1

1 9

.
1 9

3

3

3

所以,这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能取值为 0,2,4.
P (? ? 0 ) ? P ( A 2 ) ? 8 27 40 81 , P (? ? 4 ) ? P ( A0 ) ? P ( A 4 ) ? 17 81 ,

.



P ( ? ? 2 ) ? P ( A1 ) ? P ( A 3 ) ?

所以, ? 的分布列是
?

0

2

4

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P
E? ? 148 81

8 27

40 81

17 81

.

21.已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a ) x , (1)讨论 f ( x ) 的单调性, (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?
1 a

时, f (

1 a

? x) ? f (

1 a

? x) ,

(3)若函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴交于 A , B 两点,线段 A B 中点的横坐标为 x 0 ,证明:
f '( x 0 ) ? 0

解:(1) f (x)的定义域为(0,+∞)
f ?( x ) ? 1 x ? 2ax ? (2 ? a ) ? ? ( 2 x ? 1)( a x ? 1) x

(ⅰ) 若 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f (x)在(0,+∞)内单调递增

(ⅱ) 若 a
x?( 1 a

? 0 时, 由 f ? ( x ) ? 0 得 x ?

1 a

, 且 x ? ( 0 , ) 内单调递增
a

1

, ?? ) 时 f ? f(

(x)单调递减
1 a ? x) ? f ( 1 a ? x)

(2) 设 g ( x )

? g ( x ) ? ln(1 ? ax ) ? ln(1 ? ax ) ? 2 ax
?a 1 ? ax
3 2 2

g ?( x ) ?

a 1 ? ax
1 a 1 a

?

? 2a ?

2a x
2

1? a x

当0 ? x ? 即0 ? x ?

时, g ?( x ) ? 0 ,而 g (0) ? 0 ∴ g ( x ) ? 0 时 f(
1 a ? x) ? f ( 1 a ? x)

(3) 由(1)可得,当 a ? 0 ,f (x)单调递增,所以 f (x)与 x 轴至多有一个交点,不合题

意. 故 a>0,从而

f ( x ) m ax ? f (

1 a

), 且 f(

1 a

)? 0 1 a ? x2

不妨设 A ( x1 , 0), B ( x 2 , 0), 0 ? x1 ? x 2 ,则 0 ? x 1 ? 由(2)知 f ( 即 x2 ?
2 a 2 a ? x1 ) ? f ( 1 a 2 ? 1 a ? x1 ) ? f ( ? 1 a 1 a ? 1 a

? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x 2 )

? x1 ? x 0 ?

x1 ? x 2

? f ?( x 0 ) ? 0

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22.选考题(本小题 10 分) 请从下列三道题当中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,请在答题卷上注 明题号。
22—1.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3

(1)解不等式 f ( x ) ? 5 x ? 1 , (2)若 g ( x ) ?
1 f (x) ? m

定义域为 R ,求实数 m 的取值范围.

解:(1)原不等式等价于:
1 ? ?x ? 2 ? ?9 x ? 3 ? 3 ?1 ? ? x ? 2 ?2 ?1 ? 5 x ?
? ?





3 ? ?x ? 2 ? ? x ? ?5 ?
1? ? 3?

因此不等式的解集为 ? x
1

x ?

(2) 由于 g ( x ) ∴ 又

?

f (x) ? m

的定义域为 R

f ( x) ? m ? 0 在

R 上无解
即 f ( x ) m in ? 2

f ( x ) ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |? | 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 | ? 2

∴-m<2, 即 m>-2
22—2.如图,在 ? A B C 中, C D 是 ? A C B 的角平分线, ? A C D 的外接圆交 B C 于 E ,
A D C E B

AB ? 2 AC ,

(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 A C ? 1, B C ? 2 时,求 AD 的长.

证明:(1)连接 DE, ∵ACDE 为圆的内接四边形. 又∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即
BE BA ? DE CA

∴∠BDE=∠BCA

而 AB=2AC ∴BE=2DE
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又 CD 是∠ACB 的平分线

∴AD=DE 从而 BE=2AD.

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