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100测评网2009届高三数学第一轮复习资料——统计案例



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统计案例与推理证明
选修 1-2 第 1 章 统计案例 §1.1 独立性检验 重难点:了解独立性检验(只要求 2 ? 2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用.

考纲要求:①了解独立性检验(只要求 2 ? 2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用. ②了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用. 经典例题:在一次恶劣气候的飞机航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有 24 人, 不晕机的有 31 人;女乘客晕机的有 8 人,不晕机的有 26 人。请你根据所给数据判断是否在恶劣气候飞行 中,男人比女人更容易晕机.

当堂练习: 1.独立性检验中的统计假设就是假设相关事件 A,B A.互斥 B.不互斥 C.相互独立 D.不独立 ( ) 2.下列说法中正确的是 ( )

①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法; ②独立性检验就是选取一个假设 H 0 条件下的小概率事 件,若在一次试验中该事件发生了,这是与实际推断相抵触的“不合理”现象,则作出拒绝 H 0 的推断;③ 独立性检验一定能给出明确的结论. A. ①② A. ? ? 7.331
2

B.①③
2

C.②③
2

D.①②③ ( D. ? ? 1.9
2

3.提出统计假设 H 0 ,计算出 ? 2 的值,则拒绝 H 0 的是 B. ? ? 2.9 B.小于 5% B. ? 2 ? 7.723 C. ? ? 0.8 C. 小于 6% C. ? 2 ? 10.321 4. 独立性检验中的“小概率事件”是指某事件发生的概率 ( A.小于 4% A. )



D.小于 8% ) D. ? 2 ? 20.125 认为作业量大 男生 女生 18 8 26 认为作业量不大 9 15 24 总数 27 23 50

5.给出假设 H 0 ,下列结论中不能对 H 0 成立与否作出明确判断的是(

? ? 2.535
2

6.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查,数 据如下表: 则学生的性别与作业量的大小有关系的把握大约为 ( A C . ) . 99% 90% 男性患者 女性患者 合计 无效 15 4 19 有效 35 46 81 合计 总数 50 50

B.95% D.无充分根据 7. 研究某新药的 的数据。 设 H0 : 服用此药

疗效,给 50 个患者服用此药,跟踪调查后得如右表 100 的 效 果 与 患 者 的 性 别 无 关 . 则 ,

? ?
2

从而得出结论 8.在性别与吃零食这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 ①若 ? 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吃零食与性别有关系,那么在 100 个吃零食的人中必
2

有 99 人是女性; ②从独立性检验可知有 99%的把握认为吃零食与性别有关系时,我们说某人吃零食,那么此人是女性的可

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能性为 99%; ③若从统计量中求出有 99%的把握认为吃零食与性别有关系, 是指有 1%的可能性使得出的判断出现错误. 9.下列关于 ? 2 的说法中,正确的是 ① ? 2 在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关;② ? 2 越大,两个事件的相关性越大;③ ? 2 是用来 判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量,它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题. 10.某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有 关,对成年人进行了一次随机抽样调查,结果 如右表,则从直观上你能得到什么结论. 酗酒 不酗酒 合计 30 20 50 170 280 450 200 300 500 患肝病 未患肝病 合计

11.为了调查服用某种新药是否会患某种慢性病,调查了 200 名服用此新药和 100 名未服用此种新药的人, 调查结果如下表,试问此种患慢性病是否与服用新药有关? 患慢性病 服用新药 乙工作 合计 40 13 53 未患慢性病 160 87 247 合计 200 100 300

12.在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了 124 人,其中六十岁以上的 70 人,六十岁以下的 54 人, 六十岁以上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主,另外 27 人则以肉类为主;六十岁以下的人中有 21 人饮食以 蔬菜为主,另外 33 人则以肉类为主。(1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断人的饮食习惯是 否与年龄有关.

第 1 章 统计案例 §1.2 回归分析 重难点:解聚类分析的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 考纲要求:①了解聚类分析的基本思想、方法及其简单应用. ②了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 经典例题:某校医务室抽查了 10 名学生在高一和高二时的体重(单位:kg)如下表:

选修 1-2

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高一成绩 x 高二成绩 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72

y

(1)利用相关系数 r 判断 y 与 x 是否具有相关关系? (2)若 y 与 x 具有相关关系,试估计高一体重为 78kg 的学生在高二时的体重.

当堂练习: 1.下列两个变量之间的关系中,哪个是函数关系 A.学生的性别与他的数学成绩 C.女儿的身高与父亲的身高 B.人的工作环境与健康状况 D. 正三角形的边长与面积





? ? 0.849 x ? 85.712 ,则 2.从某大学随机选取 8 名女大学生,其身高 x (cm)和体重 y (kg)的回归方程为 y
身高 172cm 的女大学生,由回归方程可以预报其体重 A.为 6 0.316 kg 3.为研究变量 x 和 B. 约为 6 0.316 kg ( ) D.小于 6 0.316 kg

C.大于 6 0.316 kg

y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程 l1 和
相同, B.平行

l 2 ,两人计算知 x
A.重合

y 也相同,则 l1 与 l 2 的关系为
C.相交于点 ( x ,

(

) D. 无法判断

y)


?, 4. 设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系, 它们的相关系数是 r ,y 关于 x 的回归直线的回归系数为 b

? ,那么必有 回归截距是 a
? 与 r 的符号相同 B. A. b

) D.

? a

? 与 r 的符号相反 与 r 的符号相同 C. b

? 与 r 的符号相反 a

? ? 160 ? 180 x ,下列判断正确的是 5. 工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 y
( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 340 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 180 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,工资平均提高 180 元 D.工资为 520 元时,劳动生产率为 2000 元 6.由右表可计算出变量 x, y 的线性回归方程为( A. y ? ? ?0.35 x ? 0.15 C. y ? ? 0.35x ? 0.15 B. y ? ? ?0.35 x ? 0.25 D. y ? ? 0.35x ? 0.25 )

x
y

5 2

4 1.5

3 1

2 1

1 0.5

7.若回归直线方程中的回归系数 b=0 时,则相关系数 r = 8.下列结论中,能表示变量 x, y 具有线性相关关系的是 ① | r |? r0.05 ② | r |? r0.05 ③ | r |? r0.05 ④ | r |? r0.05

9.下列说法中正确的是

(填序号)

①回归分析就是研究两个相关事件的独立性;②回归模型都是确定性的函数;③回归模型都是线性的;④ 回归分析的第一步是画散点图或求相关系数 r ;⑤回归分析就是通过分析、判断,确定相关变量之间的内 在的关系的一种统计方法. 10.变量 x 与

y 具有线性相关关系,当 x 取值为 16,14,12,8 时,通过观测得到 y 的值分别为 11,9,8, y 的预报最大取值是 10,则 x 的最大取值不能超过多少?

5.若在实际问题中,

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11.在某年一项关于 16 艘轮船的研究中,船的吨位区间从 192 吨到 3246 吨,船员的数目从 5 人到 32 人. 船员人数

y 关于船的吨位 x 的线性回归方程为 y ? ? 9.5 ? 0.0062 x

(1)假设两艘轮船吨位相差 1000 吨,则船员平均人数相差多少? (2)对于最小的船估计的船员数是多少?对于最大的船估计的船员数是多少?(本小题保留整数)

12.已知 10 只狗的血球体积及红血球的测量值如下(x(血球体积,mm) ,y(血红球数,百万) ): x y 45 6.53 42 6.30 46 9.25 48 7.50 42 6.99
10 i ?1

35 5.90
10 2 i ?1

58 9.49

40 6.20

39 6.55

50 7.72

(1)画出上表的散点图; (2)求 x , 画x与

y , ? xi yi , ? xi

; (3)由散点图判断能否用线性回归方程来刻

y 之间的关系,若能,求出线性回归方程.

选修 1-2 参考公式
2 P (K ? k) 0.50

第 1 章 统计案例 §1.3 统计案例单元测试 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 ) 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

k

0.455

1、 在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( (A)预报变量在 x 轴上,解释变量在

y 轴上 (B)解释变量在 x 轴上,预报变量在 y 轴上
(C)可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 (D)可以选择两个变量中任意一个变量在

y 轴上

2、设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵 截距是 a,那么必有( (A) b 与 r 的符号相同 (C) b 与 r 的相反 ) (B) a 与 r 的符号相同 (D) a 与 r 的符号相反

3、一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归模型为 y=7.19x+73.93

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用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( (A)身高一定是 145.83cm (C)身高在 145.83cm 以下 4、两个变量 )

(B)身高在 145.83cm 以上 (D)身高在 145.83cm 左右 ,其中拟合效果

y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 2 如下
)
2 2

最好的模型是(

(A)模型 1 的相关指数 R 为 0.98 (C)模型 3 的相关指数 R 为 0.50

(B) 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 (D) 模型 4 的相关指数 R 为 0.25
2

2

5、 工人月工资 (元) 依劳动生产率 (千元) 变化的回归直线方程为 (A)劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 (B)劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 (C)劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 (D)劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 6、为研究变量 x 和

? ? 60 ? 90 x , 下列判断正确的是 ( y



y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程 l1 和
相同,

l 2 ,两人计算知 x
(A) (C)

y 也相同,下列正确的是(
(B)

)

l1 与 l 2 重合

l1 与 l 2 一定平行

l1 与 l 2 相交于点 ( x , y )
种子处理 得病 不得病 合计 32 61 93 )

(D) 无法判断 l1 和 l 2 是否相交 种子未处理 101 213 314 合计 133 274 407

7、考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据:

根据以上数据,则(

(A)种子经过处理跟是否生病有关 (C)种子是否经过处理决定是否生病

(B)种子经过处理跟是否生病无关 (D)以上都是错误的

8、变量 x 与 y 具有线性相关关系,当 x 取值 16,14,12,8 时,通过观测得到 y 的值分别为 11,9,8,5,若 在实际问题中, y 的预报最大取值是 10,则 x 的最大取值不能超过( ) (A)16 (B)17 (C)15 (D)12
2

9、在研究身高和体重的关系时,求得相关指数 R

? ______________,可以叙述为“身高解释了

64%的体

重变化,而随机误差贡献了剩余的 36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。 10、某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集哪些数据? 11、某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 性别 男 女 专业 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

k?
因为 K
2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30

? 3.841 ,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为_____________
y )的数
0.8 说

12、许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一,在研究这两个因素的关系时收集了美国 50 个州的成年 人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比 ( 据 , 建 立 的 回 归 直 线 方 程 如 下 明

? ? 0.8 x ? 4.6 y

, 斜 率 的 估 计 等 于

, 成年人受过 9 年或更少

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教育的百分比(

x )和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比( y

)之间的相关系数

(填充“大于 0”或“小于 0”) 13、在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人。女性中有 43 人主 要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另 外 33 人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系。

14、某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下: x y 1 10.15 2 5.52 3 4.08 5 2.85 10 2.11 20 1.62 30 1.41 50 1.30 100 1.21 200 1.15

检验每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数

1 x

之间是否具有线性相关关系,如有,求出 y 对 x 的回归方程。

第 2 章 推理与证明 §2.1-2 合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明 重难点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用; 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;了解合情推理和演 绎推理之间的联系和差异;了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考 过程、特点;了解间接证明的一种基本方法――反证法;了解反证法的思考过程、特点. 考纲要求:①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的 作用. ②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. ③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. ④了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. ⑤了解间接证明的一种基本方法――反证法;了解反证法的思考过程、特点. 经典例题:25. 通过计算可得下列等式:

选修 1-2

2 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 32 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 1 4 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 1
┅┅

(n ? 1) 2 ? n 2 ? 2 ? n ? 1 2 2 将以上各式分别相加得: (n ? 1) ? 1 ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n n(n ? 1) 即: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 2 2 2 2 类比上述求法:请你求出 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的值..

当堂练习:

1.如果数列 ?an ? 是等差数列,则( A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 2.下面使用类比推理正确的是

) C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 ( D. a1a8 ? a4 a5 )

B. a1 ? a8 ? a4 ? a5

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A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a

? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” a?b a b ? ? C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“
3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4. 设

f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) ) f2007 ( x) ? (
A. sin

'



f2 ( x) ? f1' ( x),

, fn?1 ( x) ? fn' ( x)

, n ∈ N , 则

x C. cos x D.- cos x 1 2 3 5.在十进制中 2004 ? 4 ?10 ? 0 ?10 ? 0 ?10 ? 2 ?10 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制 x
B.- sin
0

为( A.29 6.函数 A.

) B. 254
2

C. 602

D. 2004 ) D. 1

y ? ax ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a =( 1 1 1 B. C. 8 4 2
2

7. 下面的四个不等式:① a

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ;② a ?1 ? a ? ?
2

?a

2

? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd?
B.2 个
2

??

?

1 4

;③

a b ? ?2 b a

;④

.其中不成立的有 (

) ) D. 5

A.1 个 A.2 9.设

C.3 个 B.3 则

D.4 个 C.4

8.抛物线 x ? 4 y 上一点

A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为(

f ( x) ?| x ? 1| ? | x | ,
? 1 2
?

A.

B. 0
?

1 f [ f ( )] ? ( 2 1 C. 2
? ?

) D. 1 则由 x 的值构成的集合是( D. {6} )

10.已知向量 a A.{2,3}

? ( x ? 5,3) , b ? (2, x) ,且 a ? b ,
B. {-1, 6} C. {2}

11. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? ,直 线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为(
?

)

A.大前提错误 12.已知

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

A.

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为( ) f ( x) ? 2 4 2 1 2 f ( x) ? x B. f ( x ) ? C. f ( x ) ? D. f ( x ) ? 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ?1 f ( x ? 1) ?
2 2 2

13. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角形三边长之间满足 关系: AB ? AC ? BC 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则三棱锥的侧 面积与底面积之间满足的关系为 .

2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3+4+5+6+7=5 中,可得到一般规律为 14.从 1 ? 1 , (用数学表达 式表示) 15.函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系 是 .
2 2 2

16.设平面内有n条直线 (n ? 3) , 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点. 若用 表示这n条直线交点的个数,则 (用含 n 的数学表达式表示)

f ( n)

f ( 4 )=

; 当 n > 4 时 , f (n) =

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17.证明:

2, 3, 5 不能为同一等差数列的三项.
sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状. cos B ? cos C

18.在△ABC 中, sin

A?

19.已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,判断直线 EF 与平面 ABD 的关系,并证明你的 结论. 20.已知函数

f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,求 f ( x) 的最大值.

21.△ABC 三边长 a, b, c 的倒数成等差数列,求证:角 B

? 900 .

22.在各项为正的数列

?an ?中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n

(1) 求 a1 , a 2 , a3 ; (2)

1? 1 ? ? an ? ? ? 2? an ? ? 由(1)猜想数列 ?an ? 的通项公式; (3 ) 求 S n ?

23.自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼 群总量的影响,用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量, n ? N ,且 x1 >0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 x n 成正比,这些比例系数依次为正常数 a, b, c . (Ⅰ)求 x n ?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 , a, b, c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
2
?

24. 设函数

f ( x) ? x sin x( x ? R) . (1)证明: f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? 2k? sin x, k ? Z ; f ( x) 的一个极值点,证明 [ f ( x0 )]2 ?
4 x0 2 1 ? x0

(2)设 x0 为

.

25.已知 等式

f ( x)(x ? R) 恒不为 0,对于任意 x1 , x2 ? R

? x ? x2 ? ? x1 ? x2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 2 f ? 1 ?? f ? ? 恒成立.求证: f ( x) 是偶函数. ? 2 ? ? 2 ?

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26.已知Δ ABC 的三条边分别为 a,b,c 求证:

a?b c ? 1? a ? b 1? c

第 2 章 推理与证明 §2.3 推理与证明单元测试 1、由数列 1,10,100,1000,??猜测该数列的第 n 项可能是( A.10 ;
n

选修 1-2

) D.11 .
n

B.10 ;

n-1

C.10 ;

n+1

2、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比 较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的 二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.①; 3、下列表述正确的是( B.①②; ) C.①②③; D.③。

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推 理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; ) D.定理、公式。 D.①③⑤。

4、演绎推理是以下列哪个为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法( A.一般的原理原则; B.特定的命题; ) C.一般的命题;

5、实数 a、b、c 不全为 0 的条件是( A.a、b、c 均不为 0; C.a、b、c 至多有一个为 0;
4 3 3 4

B.a、b、c 中至少有一个为 0; D.a、b、c 至少有一个不为 0。 ) D.x≠y。

6、设 m≠n,x=m -m n,y=n m-n ,则 x 与 y 的大小关系为( A.x>y; B.x=y;

C.x<y;

7、下列表述:①综合法是执因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证法; ⑤反证法是逆推法。正确的语句有( A.2; 8、在演绎推理中,只要
2

)个 C.4; 是正确的,结论必定是正确的。 。 。 数列。 。 D.5。

B.3;

9、用演绎法证明 y=x 是增函数时的大前提是

10、由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 11、如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n -3n,那么这个数列是 12、命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定是 13、在数列{an}中, a1
2

? 1,

an?1 ?

2a n 2 ? an

(n ? N ? ) ,试猜想这个数列的通项公式。

14、用适当方法证明:已知: a

? 0, b ? 0 ,求证:

a b ? ? a ? b。 b a

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参考答案
第 1 章 统计案例 §1.1 独立性检验 经典例题:根据题意,列出列联表如下: 晕机 男 女 合计 24 8 32 不晕机 31 26 57 合计 55 34 89 提出统计假设, H 0 :在恶劣气候飞行中男人与女人一样容易晕机 则

?2 ?

89(24 ? 26 ? 31? 8) 2 ? 3.689 55 ? 34 ? 32 ? 57

? 2 ? 2.706 ,故我们有 90%的把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.
当堂练习: 1.C; 2.A; 3.A; 4.B; 5.A; 6.B; 7. 7.86;服用此药的效果与患者的性别有关. ; 8. ③; 9. ③; 10.在酗酒的人中患病的概率为 在不酗酒的人中患病的概率为
30 =15% 200

20 =6.7% 300

因此,酗酒与否,其患肝病的可能性有较大差异,故患肝病与酗酒有关. 患肝病与酗酒有关。 11.提出统计假设, H 0 :患慢性病与服用新药无关 根据列联表中的数据,可以求得: ? 2 ?

300(40 ? 87 ? 160 ?13)2 ? 2.25 53 ? 247 ? 200 ?100

当统计假设 H 0 成立时, ? 2 ? 2.706 的概率约为 10%,而这里 ? 2 ? 2.25 ? 2.706 ∴我们不能否定 H 0 ,即根据目前的调查数据,不能作出患慢性病是否与服用新药有关的结论. 12..(1)2×2 的列联表如右: (2) 提出统计假设, H 0 : 假设人的饮食习惯与年龄无关, 六十岁以下 六十岁以下 合计 主食蔬菜 21 43 64 主食肉类 33 27 60 合计 54 70 124

?2 ?

124(43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60

当统计假设 H 0 成立时,? 2 ? 5.024 的概率约为 2.5%, 即有 97.5%的把握认为 “人的饮食习惯与年龄有关” .

§1.2 回归分析 经典例题: (1) x ? 71, y ? 72.3, xy ? 5146.7, x2 ? 5052, sx ?
sy ?

1 (9 ? 0 ? 1 ? 9 ? 25 ? 4 ? 16 ? 1 ? 36 ? 9) ? 11 10

1 (3.72 ? 2.72 ? 1.32 ? 2.32 ? 3.72 ? 6.72 ? 7.32 ? 4.72 ? 10.32 ? 0.32 ) ? 26.81 10

r?

xy ? x y 5146.7 ? 71? 72.3 ? ? 0.7803 . sx s y 11 ? 26.81

由小概率 0.05 及 n ? 2

? 8 查得 r0.05 ? 0.632



r ? r0.05 , ∴ y 与 x 具有相关关系.

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? ? xy ? x y ? 5146.7 ? 71? 72.3 ? 1.218 , a ? ? 72.3 ? 1.218 ? 71 ? ?14.178 (2) b 2 2 2 x ? ( x) 5052 ? 71
? ? 1.218x ? 14.178 ,当 x ? 78 时, y ? 1.218 ? 78 ? 14.178 ? 81 . ∴ 回归直线方程为: y
即计高一体重为 78kg 的学生在高二时的体重约为 81kg. 当堂练习: 1.D; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7. 0; 8. ③; 9. ④⑤; 10.15. 11. (1)6.2 人; (2)11 人,30 人. 12.(1)散点图如下图

(2) x ? 1 (45 ? 42 ? 46 ? 48 ? 42 ? 35 ? 58 ? 40 ? 39 ? 50) ? 44.50 10
y?
10

1 (6.53 ? 6.30 ? 9.52 ? 7.50 ? 6.99 ? 5.90 ? 9.49 ? 6.20 ? 6.55 ? 7.72) ? 7.243 10
10

i ?1

? xi yi ? 3283.9 , ? xi2 ? 20183
i ?1

(3)由散点图知:能用线性回归方程来刻画 x 与
? ? 10 ? 44.50 ? 7.243 ? 3283.9 ? 0.16 b 10 ? 44.502 ? 20183

y 之间的关系,设回归直线为 y ? ?a ? ? bx ?

? ? 7.243 ? 0.16? 44.50 ? 0.12 ? ? y ? bx a

? ? 0.16 x ? 0.12 ∴ 线性回归方程为: y
§1.3 统计案例单元测试 1.B; 2.A; 3.D; 4.A; 5.C; 6.C; 7.B; 8.C; 9. 64%;10. 女教授人数,男教授人数,女副教授人数,男副 教授人数; 11. 5%; 12. 一个地区受过 9 年或更少教育的百分比每增加 1%,收入低于官方规定的贫困线的 人数占本州人数的百分比将增加 0.8%左右, 大于 0;

13. 性别

解: (1)2×2 的列联表 休闲方式 女 男 总计 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

(2)假设“休闲方式与性别无关”

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124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60 因为 k ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的,
计算 k

?

即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”

14

解:首先设变量 u 1 10.15

?

1 ,题目所给的数据变成如下表所示的数据 x
0.33 4.08 0.2 2.85 0.1 2.11 0.05 1.62 0.03 1.41 0.02 1.30 0.01 1.21 0.005 1.15

ui yi

0.5 5.52

? 0.9998 ? 0.75 ,从而认为 u 与 y 之间具有线性相关关系, ? ? 8.973 ? ? 1.125, b 由公式得 a
经计算得 r 所以

? ? 1.125 ? 8.973x y
? 1 8.973 ? ? 1.125 ? ,可得 y x x

最后回代 u

第 2 章 推理与证明 经典例题: [解]

2 3 ? 13 ? 3 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1 43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1

33 ? 23 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1
┅┅

(n ? 1) 3 ? n 3 ? 3 ? n 2 ? 3 ? n ? 1
将以上各式分别相加得: (n ? 1) 所以:
3

? 13 ? 3 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ) ? 3 ? (1 ? 2 ? 3? ? n) ? n

1 1? n 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? [( n ? 1) 3 ? 1 ? n ? 3 n] 3 2 1 ? n( n ? 1)( 2n ? 1) 6

当堂练习: 1.B; 2.C; 3.C; 4.D; 5.B; 6.B; 7. A; 8.D; 9.D; 10.C; 11.A; 12.B;13. S?BCD ? S?ABC ? S?ACD ? S?ADB ; 14.
2 2 2 2

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ...... ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2
1 (n+1)(n-2); 2
17.证明:假设

;

15.

f(2.5)>f(1)>f(3.5);

16.

5 ;

2 、 3 、 5 为同一等差数列的三项,则存在整数 m,n 满足

3 = 2 +md



5 = 2 +nd



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① ? n-② ? m 得:

3 n- 5 m= 2 (n-m)

两边平方得: 3n +5m -2

2

2

15 mn=2(n-m)

2

左边为无理数,右边为有理数,且有理数 ? 无理数 所以,假设不正确。即 18.

2 、 3 、 5 不能为同一等差数列的三项
因为 sinA=
2 2 2

? ABC 是直角三角形;

sin B ? sin C cos B ? cos C

据正、余弦定理得 : (b+c)(a -b -c )=0; 又因为 a,b,c 为 ? ABC 的三边,所以 b+c ? 0 所以 a =b +c 19.平行;
2 2 2

即 ? ABC 为直角三角形. 提示:连接 BD,因为 E,F 分别为 BC,CD 的中点, EF∥BD.

20.提示:用求导的方法可求得

f ( x) 的最大值为 0

21.证明: cos B

?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? b 2 b2 b2 b ? ? 1? =1 ? ? 1? 2ac 2ac 2ac b(a ? c) a?c
b ? 0 ? cos B ? 0 ? B ? 900 . a?c

a, b, c 为△ABC 三边,?a ? c ? b ,?1 ?
22.(1) a1

(2) an ? n ? n ? 1 ; (3) S n ? n . ? 1, a2 ? 2 ? 1, a3 ? 3 ? 2 ;

23.解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N *.(*) 即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N *.(**)

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
测:当且仅当 a>b,且 x1 24. 证明:1)

a ?b . c

因为 x1>0, 所以 a>b. 猜

?

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? (x ? 2k?)sin(x ? 2k? )-xsinx

( = x ? 2k?)sinx-xsinx = 2 k? sinx
2)

f ?( x) ? sin x ? x cos x
① 又 sin
2

f ?( x0 ) ? sin x0 ? x0 cos x0 ? 0

x0 ? cos2 x0 ? 1
2



x0 2 由①②知 sin x0 = 1 ? x0 2
2

x02 x04 所以 [ f ( x0 )] ? x0 sin x0 ? x0 ? 1 ? x02 1 ? x02
2 2 2

25.简证:令 x1 26.证明:设

? x2 ,则有 f ? 0? ? 1,再令 x1 ? ? x2 ? x 即可
x , x ? (0, ??) 1? x

f ( x) ?

设 x1 , x2 是 (0, ??) 上的任意两个实数,且 x2

? x1 ? 0 ,

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
因为 x2

x1 x x1 ? x2 ? 2 ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
x 在 (0, ??) 上是增函数。 1? x a?b c ? 即 . 1? a ? b 1? c

? x1 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。所以 f ( x ) ?
? 0 知 f (a ? b) ? f (c)

由a?b ? c

§2.3 推理与证明单元测试 1.B; 2.C; 3.D; 4.A; 5.D; 6.A; 7. B; 8. 大前提和推理过程; 9. 增函数的定义; 10. 侧面都是全等的三角形; 11. 等差; 12. a≤b; 13. 解:在数列{an}中,∵ a1

? 1,
, a3 ?

an?1 ?
2 a2 2 ? a2

2a n 2 ? an
? 2 3 ?1

(n ? N ? )
2a3 2 ? a3 ? 2 4 ?1 , a5 ? 2a4 2 ? a4 ? 2 5 ?1 ,

∴ a1 ? 1 ?

2 2

, a2 ?

2a1 2 ? a1

?

2 2 ?1

, a4 ?

∴可以猜想,这个数列的通项公式是 a n 14. 证明: (用综合法) ∵a

?

2 n ?1

? 0, b ? 0 ,

a b a b a ?b b?a ? ? a? b? ? b? ? a? ? b a b a b a ? (a ? b)( ? 1 1 ( a ? b )2 ( a ? b ) ? )? ?0 b a ab
;

a b ? ? a ? b. b a

===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育, 在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线 练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,

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