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9.9.1棱柱(1)



——多面体、棱柱与它的性质

多面体

一、多面体: 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面,两个 面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫 做多面体的顶点。

食盐

明矾

石膏

(1)凸多面体:
把多面体的任何一个面伸展为平面,如果所有其他 各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多 面体。 V

C D

A
E 问:以上多面体,哪个为凸多面体?

B

多面体分类:
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等

棱镜的色散

棱柱
三棱镜

实际生活中的一类几何体

既然线是由面生成的,观察上面的几何体,这些 几何体的面与面的关系是怎样的?交线的关系是 怎样的?

棱柱的概念
定义:有两个面互相平行,而其余每相邻两 个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱 柱. 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面, 其余各面叫做棱柱的侧面.
A1

E1 C1 D1

B1

两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点, 两个底面的距离叫做棱柱的高.
A
H B E C D

不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,

问题1:有两个面互相平行,其余各面都是四边形 的几何体是棱柱吗? 答:不一定是.如右图所示,不是棱柱.

问题2:有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗? 答:不一定是.如右图所示,不是棱柱.

问题3:下面的几何体是棱柱吗?

棱柱的表示法 1.用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如图: 记作棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
E1 A1 B1 C1

D1

E A B C D

2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示, 如图:记作棱柱A C1

棱柱的分类: 按侧棱与底面位置关系

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点?

2.按侧棱数分:侧棱数为3,4,5,可以把棱柱分 为三棱柱,四棱柱,五棱柱……

观察下列棱柱并思考:棱柱具备哪些性质?

棱柱的性质

1.侧棱都相等,侧面是平行四边形; 2.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

3.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

特殊的 (1)直棱柱的每一个侧面都是矩形; 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. (2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面 都是矩形. (3)正棱柱的两个底面与平行于底面的 截面是对应边互相平行的全等多边 形.

例1、已知正棱柱ABCD-A’B’C’D’各棱长为1,
M是底面BC边的中心,N是侧棱CC’上 的点, 4CN=CC′,求证:AB′⊥MN.
解法1:用三垂线定理证明异面直线垂直, 关键:寻找其中一条直线所在平面的垂线
解法2:向量法 关键:寻找X、Y、Z轴 解法3:利用空间向量基本定理 关键:寻找知道模及夹角的基底

A' z c M1 a A b M C'

B'

N
C y

B

x

练习
1、判断下列命题是否正确: A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;

B.有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱;
C.有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直棱柱; 2、一个棱柱是正四棱柱的条件是: A.底面是正方形,有两个侧面是矩形;

B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面;
C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直;

D.每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

3、求证:直棱柱的侧棱长与高相等,侧面
及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形?

4、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱 柱?有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?



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