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河北省唐山市2012届高三下学期第一次模拟考试数学文



试卷类型:A

唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学
说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道大题,24 道小题,共 150 分.其中 ?(21)小题为必做题, (1) (22)?(24)小题为选做题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需 改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共 12 小题,毎小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求. (1) 复数 ( A ) (2) 函数 (A) (-1, 2) (B) = 1 + 2 i ( B ) 1 - 2 i 的定义域为 (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1, 2] ( C ) 2 - i ( D ) 2 + i

(3) 己知命题 p: ( ( A C ) ) 的图象可以由函数 个单位得到

,则 为 ( ( 的图象 个单位得到 B D ) )

(4) 函数 (A)向左平移

(B)向右平移

第1页

(C)向左平移

个单位得到

(D)向右平移

个单位得到

(5)

设变量 x、y 满足约束条件



的最小值为

( A )

3

( B )

2 , (D) 63

( C ) ,则

1

( D )

5

(6) 等比数列{an}的公比a>1, (A) 64 (B) 31 (C) 32

(7) 已知某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 (A) (B) (C) 2 (D) 8

(8) 算法如图,若输入 m=210,n= 119,则输出的 n 为 ( A ) 2 ( B ) 3 ( C ) 7 ( D ) 1 1

(9) 在
( A )

中,
1 0

,AB=2, AC=3, 则
( B ) - 1 0 ( C ) - 4 ( D )

=
4

(10)点A、B 、 C 、

D 均在同一球面上,其中
( A )

是正三角形,AD丄平面AD=2AB=6,则该球的体积为 ( B ) ( C ) ( D )

(11) 已知

则集合

等于

(A)

(B)

第2页

(C) (12)抛物线

(D) 的焦点为F,点A、B 、 的重心,则直线B C 的方程为 (D)

C在此抛物线上,点A坐标为(1,2).若点F 恰为 (A) (B) (C)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
(13)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,从全班50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为10的样本进行分析.己知抽取的样本中男生人数为6,则 班内女生人数为_______. (14) 函数 (15) 在数列 (16) (x〉0)的值域是_______. 中, 的一个顶点P(7,12)在双曲线 的内心的横坐标为_______. ,则数列的通项 =_______.

上,另外两顶点F1、F2为该双曲线的

左、右焦点,则

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分12分) 在ΔABC中,角A、B、C的对边分别为a、B 、 C , A=2B, (I )求cosC的值; ( I I ) 求 的值.

(18) (本小题满分12分) 某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,右表是在某单位得到的 数据(人数). (I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? ( I I ) 从反对“男女同龄退休”的甲、乙等6 名男士中选出2人进行陈述,求甲、乙至少有 一人被选出的概率.

第3页

附:

(19) (本小题满分12分) 如图,在三棱柱. 别是棱 CC 1 、AB, BC 的中点. (I )求证:CN//平面 AMB 1 (II)若 ,求证: 平面 AMG. 中,CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形,M、 N、G 分

(20)(本小题满分12分) 设函数,

(I )当a=0时,求曲线
(II )讨论f(x)的单调性.

在点(1, f(1))处的切线方程;

第4页

(21) (本小题满分12分) 中心在原点0,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且 .

(I)求椭圆E的方程;

(II) 垂直于OC 的直线l与椭圆E交于A、 B两点,当以AB 为直径的圆P 与Y 轴相切时,求直线
l的方程和圆P的方程.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 .作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,AB是圆0的直径,以B为圆心的圆B与圆0的一个交点为P.过点A作直线交圆Q于点交圆

B于点M、N. (I )求证:QM=QNI
( I I ) 设圆0的半径为2,圆B的半径为1,当AM= 时,求MN的长.

(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已

知直线l的参数方程为

(t为参数,

),曲线C的极坐标方程为

第5页

(I )求曲线C的直角坐标方程;
( I I ) 设直线l与曲线C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.

(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设 (I) 求不等式 (II) 若关于x不等式 . 的解集S ; 有解,求参数t的取值范围.

文科数学参考答案

一、 选择题: A 卷:ADCDC B 卷:BCDAB DACBA DDCAB BB CA

二、填空题:
2

(13)20

(14)(-1,1)

(15)n

(16)1

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)∵B= A 2 5 π 2 ∈(0, ),∴cosB= 1-sin B= , 2 2 5 …2 分

∵A=2B,∴sinA=2sinBcosB=

3 4 2 ,cosA=cos2B=1-2sin B= , …4 分 5 5

2 5 ∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=- .…7 分 25

第6页

2

(Ⅱ)sinC= 1-cos C=

11 5 , 25

…9 分

根据由正弦定理, (18)解:

c sinC 11 = = . sinB 5 b

…12 分

2

25×(5×3-6×11) 2 (Ⅰ)K = ≈2.932>2.706, 16×9×11×14 由此可知,有 90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关. …5 分

(Ⅱ)记反对“男女同龄退休”的 6 男士为 ai,i=1,2,…,6,其中甲、乙分别为 a1,a2,从中选出 2 人的不同情形为: a1a2,a1a3,a1a4,a1a5,a1a6, a2a3,a2a4,a2a5,a2a6, a3a4,a3a5,a3a6, a4a5,a4a6, a 5a 6, 共 15 种可能,其中甲、乙至少有 1 人的情形有 9 种, 9 3 所求概率为 P= = . 15 5 (19)解: (Ⅰ)设 AB1 的中点为 P,连结 NP、MP. 1 1 ∵CM∥ AA1,NP∥ AA1,∴CM∥NP, = 2 = 2 = ∴CNPM 是平行四边形,∴CN∥MP. ∵CN?平面 AMB1,MP?平面 AMB1,∴CN∥平面 AMB1. …4 分 …12 分 …9 分

第7页

C1 A1

B1

M P

G C N A

B

(Ⅱ)∵CC1⊥平面 ABC,∴平面 CC1B1B⊥平面 ABC, ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面 CC1B1B,∴B1M⊥AG. …6 分

∵CC1⊥平面 ABC,平面 A1B1C1∥平面 ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1,
2 2

在 Rt△MCA 中,AM= CM +AC = 6. 同理,B1M= 6. ∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥AB,
2 2 2 2

…9 分

∴AB1= B1B +AB = C1C +AB =2 3,
2 2 2

∴AM +B1M =AB1,∴B1M⊥AM, 又 AG∩AM=A,∴B1M⊥平面 AMG. (20)解:
2

…10 分 …12 分

x x(x-2) (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)= x,f′(x)=- , x e e f(1)= 1 1 ,f′(1)= , e e 1 1 1 (x-1)+ ,即 y= x. …4 e e e

曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= 分
x 2 x

(2x-a)e -(x -ax+a)e (x-2)(x-a) (Ⅱ)f′(x)= =- . 2x x e e (1)若 a=2,则 f′(x)≤0,f(x)在(-∞,+∞)单调递减. (2)若 a<2,则

…5 分 …7 分

当 x∈(-∞,a)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,当 x∈(a,2)时,f′(x)>0, 此时 f(x)在(-∞,a)和(2,+∞)单调递减,在(a,2)单调递增.

第8页

(3)若 a>2,则 当 x∈(-∞,2)或 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,当 x∈(2,a)时,f′(x)>0, 此时 f(x)在(-∞,2)和(a,+∞)单调递减,在(2,a)单调递增.
2 2

…12 分

x y (21)解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0) ,则 a b 4 4 2+ 2=1, a b
2 2

① …1 分

记 c= a -b ,不妨设 F1(-c,0),F2(c,0),则
2 2 → → → → CF1=(-c-2,-2),CF2=(c-2,-2),则CF1·CF2=8-c =2,c =6,即

2

2

a -b =6.
2 2



由①、②得 a =12,b =6.
2 2

x y 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 12 6 → → (也可通过 2a=|CF1|+|CF2|求出 a) (Ⅱ)依题意,直线 OC 斜率为 1,由此设直线 l 的方程为 y=-x+m,
2 2

…4 分

代入椭圆 E 方程,得 3x -4mx+2m -12=0.
2 2 2 2

由 Δ=16m -12(2m -12)=8(18-m ),得 m <18.
2

4m 2m -12 . 记 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= 3 3

…6 分

x1+x2 y1+y2 2 2 2 圆 P 的圆心为( , ),半径 r= |x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2 2 2 2 2
2

当圆 P 与 y 轴相切时,r=|
2 2

x1+x2 (x1+x2) |,则 2x1x2= , 2 4 …9 分



2(2m -12) 4m 2 = ,m =9<18. 3 9

当 m=3 时,直线 l 方程为 y=-x+3,
2 2

此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为 2,圆 P 的方程为(x-2) +(y-1) =4;
2 2

同理,当 m=-3 时,直线 l 方程为 y=-x-3,圆 P 的方程为(x+2) +(y+1) =4. …12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 BM、BN、BQ、BP. ∵B 为小圆的圆心,∴BM=BN,

第9页

又∵AB 为大圆的直径,∴BQ⊥MN, ∴QM=QN. (Ⅱ)∵AB 为大圆的直径,∴∠APB=90°,
2

…4 分

∴AP 为圆 B 的切线,∴AP =AM·AN,
2 2 2

…6 分

由已知 AB=4,PB=1,AP =AB -PB =15, 10 10 10 7 又 AM= ,∴15= ×( +MN),∴MN= . 3 3 3 6 …10 分

P O A M B Q N

(23)解: 2cosθ 2 (Ⅰ)由 ρ= ,得(ρsinθ) =2ρcosθ, 2 sin θ
2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y =2x.
2 2 2

…4 分

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y =2x,得 t sin α-2tcosα-1=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 2cosα 1 ,t1t2=- 2 , t1+t2= 2 sin α sin α ____________ 2 4cos α 4 2 ∴|AB|=|t1-t2|= (t1+t2) -4t1t2= + = , √ sin4α sin2α sin2α
2

…7 分

当 α= (24)解:

π 时,|AB|取最小值 2. 2

…10 分

? ?-x+3,x<-3, (Ⅰ)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ?x-3,x>0. ?
如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点, 由此得 S=[-4,10].

第 10 页

y 7 6

O

…6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)的最小值为-3,

- -

4 3
-3

10

x

则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需-3+|2t-3|≤0, 解得 0≤t≤3, 所以 t 的取值范围是[0,3]. …10 分

第 11 页



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