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理科数学热身卷初步设想Microsoft Word 文档 (5)



2014 双十中学热身卷理科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的] 1.设全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? 1或x ? ?1} , N ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则 N A. ?x | ?2 ? x ? 1 ? B. ?x | 0 ? x ? 1 ? C. ?x

| ?1 ? x ? 1?

(? UM) ? (

)

D. ?x | x ? 1 ?

2. 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 及以下3个函数:① f ( x) ? x3 ;② f (x) ?tan x ;③ f (x) ?x sin x . 其中图像能等分圆 C 面积的函数有( ) C. 1 个 D. 0 个 A. 3 个 B. 2 个 3.下列结论错误 的是( ) ..
2

A.命题“若 x ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ”的逆否命题为“若 x ? 4, 则x2 ? 3x ? 4 ? 0 ” B.“ x ? 4 ”是“ x ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分不必要条件
2

C.已知命题 p “若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”,则命题 p 的否定 ? p 为真命题
2

D.命题“若 m ? n ? 0 ,则 m ? 0且n ? 0 ”的否命题是“若 m ? n ? 0.则m ? 0或n ? 0 ”
2 2

2

2

4.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A. (??, ?1] B. (??, ?1)
(1, ??)



C. [3, ??)

D. (??, ?1] [3, ??) )

5. 执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 6.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 儿子身高 y(cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y=x-1
2

178 177

175

175

176

177

) 1 C.y=88+ x 2 D.y=176

B.y=x+1

7.把函数 y ? 2cos x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再 向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

8. 已知方程|x–2n|-k x =0( n ? N * )在区间[2n–1,2n+1]上有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A. 0 ? k ?



1 2n ? 1

B.0<k≤

1 2n ? 1

C.

1 1 ≤k≤ 2n ? 1 2n ? 1

D. 0 ? k ?

1 2n ? 1

9. 如 图 , 在 长 方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , AB=AD=2AA 1 =4 , 点 O 是 底 面 ABCD 的 中 心 , 点 E 是 A 1 D 1 的 中 点,点 P 是 底 面 ABCD 上 的 动点 , 且 到直 线 OE 的 距 离等 于 1 , 对 于 点 P 的 轨 迹, 下列 说 法 正确 的 是( ) A.离心率为
2 的椭圆 2

B.离心率为

1 的椭圆 2

C.一段抛物线

D.半径等于 1 的圆

10.已知集合 M=N={0,1,2,3},定义函数 f:M→N,且点 A(0,f(0) ) ,B(i,f(i) ) ,C(i+1,f(i+1) ) , (其 中 i=1,2) .若△ABC 的内切圆圆心为 P ,且满足 PA ? PC ? ? PB(? ? R) ,则满足条件的 ?ABC 有( A. 10 个 B. 12 个 C. 18 个 D. 24 个 )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11. 已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 12. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 . .

13. 某初中校共有学生 1200 名,各年级男、女生人数如右表,已知在全校 学生中随机抽取 l 名,抽到八年级女生的概率是 0.18,现用分层抽样 的方法在全校抽取 200 名学生,则在九年级应抽取 名学生.

? x2 ? y 2 ? 0 ? 14. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的取值范围 ? y?0 ?
15. 已知 (2 x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ... ? an x n 中令 x ? 0, 就可以求出常数,即 1 ? a0 . 请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题 若 e x ? ? ai x i ,即 ex ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ?
i ?0 ??

an xn ?

,则

1 2 3 ? ? a1 a2 a3

n = an

16.(本题满分 13 分) 如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小.

17.(本题满分 13 分) 如图,某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处进行该仪器的垂直 2 弹射,地面观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.A 地测得 17 该仪器在 C 处时的俯角为 15°,A 地测得最高点 H 的仰角为 30°.(声音的传播速度为 340 米/秒) (Ⅰ)设 AC 两地的距离为 x 千米,求 x; (Ⅱ)求该仪器的垂直弹射高度 CH.

18.(本题满分 13 分) 某电视台举办猜歌曲的娱乐节目:随机播放歌曲片段,选手猜出歌曲名称可以赢取奖金. 曲库中歌曲足够多,不重 复抽取. 比赛共分 7 关:前 4 关播放常见歌曲;第 5,6 关播放常见或罕见歌曲,曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比 为 1:4;第 7 关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一关(最后一关除外)之后可以 自主决定退出比赛或继续闯关;若退出比赛,则可获得已经通过关卡对应奖金之和;若继续闯关但闯关失败,则不 获得任何奖金. (Ⅰ)选手甲准备参赛,在家进行自我测试:50 首常见歌曲,甲能猜对 40 首;40 首罕见歌曲,甲只能猜对 2 首, 以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率. 关卡 关卡奖金/元 累计奖金/元 ①若比赛中,甲已顺利通过前 5 关,求他闯过第 6 关的概率是多少? 1 1000 1000 ②在比赛前,甲计划若能通过第 1,2,3 关的任意一关,则继续; 2 2000 3000 若能通过第 4 关,则退出,求这种情况下甲获得奖金的数学期望; 3 3000 6000 (Ⅱ)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p,且他已经顺利通过前 6 关, 4 4000 10000 当 p 满足什么条件时,他选择继续闯第 7 关更有利?. 5 6 7 8000 12000 20000 18000 30000 50000

19. (本小题满 分 13 分) 已知点 F 是抛物线 ? : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点,点 M ( x0 ,1) 到 F 的距离为 2.
2

(Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)设直线 AB : y ? x ? b 与曲线 ? 相交于 A,B 两点,若 AB 的中垂线与 y 轴的交点为 (0, 4) ,求 b 的值. (Ⅲ)抛物线 ? 上是否存在异于点 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的 切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满 分 14 分) 已知 f ( x) ? x ? e a 存在单调递减区间. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)判断曲线 y=f(x)在 x=0 的切线能否与曲线 y ? e x 相切?若存在,求出 a,若不存在,说明理由; (Ⅲ)若 f(x1)=f(x2)=0(x1<x2) ,求证:
x1 e ? . x2 a
x

21.(1)已知矩阵 A ? ?

? 3 2? ?1 0 ? 的逆矩阵 B ? ? ?. ? ?1 1 ? ?2 1?

(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵; (Ⅱ)若矩阵 X 满足 AX ? B ,求矩阵 X.

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cosθ ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l
? 3 x ?5? t ? ? 2 (t 为参数) 的参数方程为 ? . ?y ? 1 t ? ? 2 (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面积.

(3)选修 4-5:不等式选讲 已知 函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集;(Ⅱ)若 f(x)≤|x- 4|的解集包含[1, 2],求 a 的取 值范围.

2014 双十中学热身卷理科数学
1.【解析】 M ? {x x ? 1或x ? ?1} ,所以 ? U M ? {x ?1 ? x ? 1} ,所以 N

(? ? ,选 B. U M ) ? ?x | 0 ? x ? 1

2.解:①与②都是奇函数,满足题意,③是偶函数,且 f(0)=0,所以不符合题意. 3.【解析】虽然对“若?则?”结构命题的“否定”我们现在写不出,但并不妨碍我们对其否定进行判断. 命题 p “若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根” , ? ? 1 ? 4m ? 0 ,所以 p 为真,则 ? p 一定是
2

.

1 ?1 ? 4.∵等比数列{an}中,a2=1,∴S3=a1+a2+a3=a2? +1+q?=1+q+ .

?q

?

q

1 当公比 q>0 时,S3=1+q+ ≥1+2

q

q· =3, q
-q D
2 2

1

1? ? 当公比 q<0 时,S3=1-?-q- ?≤1-2

?

q?

?-1?=-1, ? q? ? ?

∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).答案 5.由题意知 y ? ?

? x 2 ? 1, x ? 2 ?log 2 x, x ? 2

。当 x ? 2 时,由 x ? 1 ? 3 ,得 x ? 4 ,解得 x ? ?2 。当 x ? 2 时,由 log2 x ? 3 ,

得 x ? 8 ,所以输入的实数 x 值的个数为 3 个,选 C. - 174+176+176+176+178 - 175+175+176+177+177 6.解析 因为 x = =176, y = =176, 5 5 - - 又 y 对 x 的线性回归方程表示的直线恒过点( x , y ),所以将(176,176)代入 A、B、C、D 中检验知选 C. 7. y ? 2 cos x ? y ? 2 cos
2 2

x ( x ? 1) ( x ? 1) ? y ? 2 cos 2 ? y ? 2 cos 2 ? 1 ? cos( x ? 1) ,再用五点作图.A 2 2 2

8.解观察发现令 n=1 进行检验,转化为 y1 ?| x ? 2 | 与y2 ? k x 在 [1,3] 上有两交点的条件.
3 ,且 k>0,只有 B 满足 3 9.解 1: 先不考虑点 P 在平面上, 由点 P 到 OE 的距离为 1, 则 P 的轨迹是空间中以 OE 为旋转轴, 半径为 1 的圆柱,

只需满足 B 在 A 下方(包括重合), k 3 ? 1 ? k ?

又被底面所截,所以点 P 的轨迹为椭圆,作 EF⊥AD 于点 F,则 EF=OF=2,△OEF 为等腰直角三角形,得轴 OE 与平面 ABCD 所成的角为 45°,知点 P 的轨迹是椭圆,而半长轴长 a=2,b=1,则 c=1,所以 e ? 解 2:利用向量“投影” 研究点到线距离, 点 P 到 OE 的距离= OP ? OF 2 ? OP ? (
2 2

2 . 2

OP ? OE 2 ) ? | OE |
,过 G 作 GH 垂直 OE,连接 PH,则 PH ?

如图建立坐标系,… 解 3:利用“三垂线定理” ,过 P 作 OF 垂线 PG,则 PG ? 平面 如图建立坐标系,…

10. 选 C.设 D 为 AC 中点,则 PA ? PC ? 2PD ? ? PB(? ? R) ,所以 AC 边上的中线与角平分线重合,知△ABC 是以 B 为顶点的等腰三角形,A 点是 4×4 的格点第一列中的点. ①当 i=1 时,B 点是第二列格点中的点,C 点是第三列格点中的点, 此时腰长为 、 、 的△ABC 分别有 6 个、4 个、2 个, ②当 i=2 时,B 点是第三列格点中的点,C 点是第四列格点中的点, 此时腰长为 的△ABC 分别有 6 个,满足条件的△ABC 共有 18 个.

11.解:设 z ? 1 ? bi(b ? R), 则 1+b2 ? 2 ? b ? ? 3

1 1 12. v ? ? 1? 1? 1 ? 3 3 a x 360 ? 0.18 ? a ? 216 ,则 b ? c ? 1200 ? (204 ? 198 ? 216 ? 222) ? 360 ,则 ? ? x ? 60 1200 200 1200 (在样本中的比例与总体中的比例 )
13.解: 14.由 z ? 2 x ? y 得, y ? ?2 x ? z 。作出不等式对应的区域, ,平移直线 y ? ?2 x ? z , 由图象可知,当直线 y ? ?2 x ? z 经过 A(-1,1)时, y ? ?2 x ? z 的截距最小, z ? ?1? 2 ?1 =-1,所以 z ? [?1, ??) 15.解:对 ex ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? 两边求导:
2 e x ? a1 ? 2a 2x ? 3 ax a x4 3? 3 ? 4

an xn ?

nan xn? 1 ?
n ? (n ? 1)an xn?2 ?

令 x=0 得: a1 ? 1 ? 令 x=0 得: a2 ? 令 x=0 得: a3 ?

1 ?1 a1

再两边求导: ex ? 2 ?1a2 ? 3 ? 2a3 x ? 4 ? 3a4 x2 ? 再两边求导: ex ? 3 ? 2 ?1a3 ? 4 ? 3 ? 2a4 x ? … 猜想: an ? 所以
1 1? 2 ? 3 ? n ? 1 ? 1? 2 ? 3 ? an n ? n!

1 1 ? ? 1 ? 2 ? 2! 1? 2 a2 1 1 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 3! 1? 2 ? 3 a2

n(n ? 1)(n ? 2)an xn?3 ?

n 1 2 3 ? n ? n ! ? [(n ? 1) ? 1]n ! ? (n ? 1)!? n! ,所以 ? ? an a1 a2 a3

n ? (2!? 1!) ? (3!? 2!) ? an

[(n ? 1)!? n!] ? ( n ? 1)!? 1

16.解: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AC=AD,F 为 CD 中点,∴AF⊥CD, 因 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ?????? 4 分

(Ⅱ)取 CE 的中点 Q,连接 FQ,因为 F 为 CD 的中点,则 FQ∥DE,故 DE⊥平面 ACD,∴FQ⊥平面 ACD,又由(Ⅰ) 可知 FD,FQ,FA 两两垂直,以 O 为坐标原点,建立如图坐标系, 则 F(0,0,0) ,C( ?1 ,0,0) ,A(0,0, 3 ) ,B(0,1, 3 ) ,E(1,2,0) .C B ? ,1 ,1 3 ) ( 0 ), 2 , 2 (C E ??????6 分

?

? ? x ? y ? 3z ? 0, ?n ? CB ? 0, ? 设面 BCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? 即? 取 n ? (1, ?1,0) . 2 x ? 2 y ? 0, ? n ? CE ? 0, ? ? ?
又平面 ACD 的一个法向量为 FQ ? (0,1,0) , ∴ cos ? FQ, n ? ?
FQ ? n 0 ?1 ? 0 2 .∴面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45°.-----13 分 ? ? 2 | FQ || n | 2

2 17. (Ⅰ)解 由题意,设|AC|=x,则|BC|=x- ×340=x-40,----------------2 分 17 在△ABC 内,由余弦定理:|BC| =|BA| +|CA| -2|BA|·|CA|·cos∠BAC,------4 分 即(x-40) =x +10 000-100x,解得 x=420.-------------------------------6 分 答:AC 两地相距 420 米.
2 2 2 2 2

(Ⅱ)在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,---8 分 |CH| |AC| 由正弦定理: = ,-----------------------------------------10 分 sin∠CAH sin ∠AHC sin∠CAH 可得|CH|=|AC|· =140 6.-----------------------------------------12 分 sin∠AHC 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6米.----------------------------------------13 分

19.解: (Ⅰ)准线: y ? ?

p p ,依抛物线定义可知, 1 ? ? 2 ? p ? 2 ,所以抛物线为 x 2 ? 4 y ----3 分 2 2

?y ? x ? b (Ⅱ) 由 ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 , ? ? 16 ? 16b ? 0, x1 ? x2 ? 4 x ? 4 y ?

y ? (2 ? b) ? ?1 ? y ? ? x ? 4 ? b x?2 依题意可知 (0, 4) 在垂线上,所以 4 ? 0 ? 4 ? b ? b ? 0 ----------------------------------7 分
所以 AB 的中点为 (2, 2 ? b) ,所以 AB 的中垂线为 (2) 由(Ⅱ) A(0,0), B(4, 4) ,假设抛物线 L 上存在异于点 A 、 B 的点 C (t ,

t2 )(t ? 0, t ? 4) ,满足题意 4

?a 2 ? b2 ? (a ? 4)2 ? (b ? 4)2 ? NA ? NB ? 令圆的圆心为 N (a, b) ,则由 ? 得? t2 2 2 2 2 ? NA ? NC ?a ? b ? (a ? t ) ? (b ? ) ? 4
? t 2 ? 4t a ? ? ?a ? b ? 4 ? ? ? 8 得? , (或者用中垂线交点求出圆心坐标)------10 分 1 2 ?? 2 4a ? tb ? 2t ? t t ? 4t ? 32 ? ? b? 8 ? ? 8 ?
因为抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y ' |x ?t ?

t (t ? 0) ,--------------------------11 分 2

t2 4 . t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 又该切线与 NC 垂直,所以 a ?t 2 4 b?
所以 2(?

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 1 )?t ? 2t ? t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 8 8 4

因为 t ? 0, t ? 4 ,所以 t ? ?2 .故存在点 C 且坐标为 (?2,1) .--------------------------------------13 分

21.(1)解:(Ⅰ) | A |? ?1, 所以 A?1 ? ?

? ?1 2 ? ? --------------------------3 分 ? 2 ?3?

? ?1 2 ??1 0 ? ? 1 2 ? (Ⅱ) AX ? B ? A?1 AX ? A?1 B ? X ? A?1 B ? ? ?? ??? ? -----7 分 ? 2 ?3 ??1 1 ? ? ?1 3 ?

判断对错 矩阵的乘法不满足交换律; ( ) 矩阵的乘法满足结合律( )

2014 双十中学热身卷理科数学

1 x 1 x 1 x 20.(Ⅰ)解 1: f / ( x ) ? 1 ? e a ,令 f / ( x) ? 0 ,则 f / ( x) ? 1 ? e a ? 0 ? 1 ? e a a a a

① a ? 0 时, f / ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增,不符合题意;
x ? x ? a ln a a 所以 f ( x) 在 (??, a ln a) 单调递增,在 (a ln a, ??) 单调递减,符合题意.

② a ? 0 时, f / ( x) ? 0 ? a ? e a ? ln a ?

x

1 x 1 x 解 2: f / ( x ) ? 1 ? e a ,依题意可知, f / ( x) ? 1 ? e a ? 0 在 (??, ??) 有解 a a

① a ? 0 时, f / ( x) ? 0 在 (??, ??) 无解,不符合题意; ② a ? 0 时, f / ( x) ? 0 ? a ? e a ? ln a ? (Ⅱ)
x

x ? x ? a ln a a

,f(0)=﹣1;∴曲线 y=f(x)在 x=0 的切线 l 的方程为



假设 l 与曲线 y=e 相切,设切点为(x0,y0) ,则

x

①.

处理 1:由 a>0,得:0< 由①得

,∴x0<0,

处理 2:消去 a 得 e x0 ? e x0 x0 ? 1 ,设 h( x) ? e x x ? e x ? 1
h(0) ? 0 h/ ( x) ? e x x ,令 h/ ( x) ? 0 ,则 x ? 0

.与 x0<0 矛盾.

∴曲线 y=f(x)在 x=0 的切线不能与曲线 y=e 相切.

x

所以 h( x) 在 (??,0)

,(0, ??)



x ? ??, h( x) ? ?1 , x ? ??, h( x) ? ??

所以 h( x) 在 (0, ??) 又唯一解,

1 ex ? 1, 而a>0时, 1- ? 1 矛盾,所以不存在. a
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知 f(x)max=f(alna)=alna﹣a. ∵f(x1)=f(x2)=0,∴f(x)max=f(alna)=alna﹣a>0. ∴lna>1,得:a>e,∴f(a)=a﹣e>0,且 f(alna)>0. 得 x2﹣x1>alna﹣a,又 x1 ? e a , x2 ? e a
?
1 1 ( x1 ? x2 ) ( a ? a ln a ) x1 e ? ea ? ea ? x2 a

x1

x2

21.(1)解:(Ⅰ) | A |? ?1, 所以 A

?1

? ?1 2 ? ?? ? --------------------------3 分 ? 2 ?3?
?1

? ?1 2 ??1 0 ? ? 1 2 ? (Ⅱ) AX ? B ? A AX ? A B ? X ? A B ? ? ?? ??? ? -----7 分 ? 2 ?3 ??1 1 ? ? ?1 3 ?
?1 ?1

判断对错 矩阵的乘法不满足交换律; ( ) 矩阵的乘法满足结合律( )

(2) 解: (1)对于 C:由 ρ =4cosθ ,得 ρ =4ρ cosθ ,进而 x +y =4x;----------2 分

2

2

2

对于 l:由

(t 为参数) ,得

,即

.----4 分

(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为(2,0) ,半径为 2, 则弦心距 ,

弦长

,-----------------------------------------6 分 .----------------------7 分

因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积



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