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2-3-3 直线与平面垂直的性质(共40张PPT)



2.3.3

直线与平面垂直的性质

一、填空 1.线面垂直的性质定理: 垂直于同一平面的两条直线互相平行 , 用数 学 符号表 示为 a⊥α,b⊥α?a∥b 2.a⊥α,a⊥β,则α 3.a⊥α,α∥β则a . β∥ . ⊥ β .

4.a∥b,b⊥α,则a ⊥ α.

二、判断正误 (1)

如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与

这个平面内的任何直线都不垂直.
(2)已知平面α和直线a、b,若a∥α,b⊥a,则b⊥α. [解析 ] (1) 错.平面内与这条直线的射影垂直的直线 与此直线垂直. (2)错.正四棱台如图.

b为上底面一边或斜高时都有b⊥a,
但b与下底面α不垂直.

本节学习重点:直线与平面垂直的性质. 本节学习难点:线线垂直与面面垂直的转化.

直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表: 类别 方法 判定 用推论

用判定定理

用定义

图形

条件

c?α,b?α c∩b=P a⊥c,a⊥b

a∥b b⊥α

b是α内任一条 直线 a⊥b

结论

a⊥α

类别 方法

性质 性质定理 定义

图形

条件 结论

a⊥α b⊥α a∥b

a⊥α b?α a⊥b

类别 方法

其它结论

图形

条件

a⊥α a⊥β

a⊥α α∥β

结论

α∥β

a⊥β

a⊥α P∈α PA⊥a PA?α

[ 例 1]

如 图 , 设 平 面 α 与 β 相 交 于 直 线 l , AC⊥α ,

BD⊥β,垂足分别为C、D,直线AB⊥AC,AB⊥BD, 求证:AB∥l.

[解析]

∵AC⊥α,BD⊥β,α∩β=l,∴AC⊥l,BD⊥l;

过A作AE⊥β垂足为E,则AE∥BD,

∵AB⊥BD,∴AB⊥AE,∴AB⊥平面ACE;
∵AE⊥β,α∩β=l,∴AE⊥l, 又AC⊥l,∴l⊥平面ACE,∴AB∥l. [点评] 要证线线平行,不具备公理4的条件,没有线 面平行、面面平行关系好用,给出的条件多为垂直关系,

于是想到应用线面垂直的性质定理,只须找到这样一个平
面γ、l⊥γ、AB⊥γ,于是作辅助线围绕找γ展开.

如图所示,ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在平面,

过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:
(1)AE⊥SB;(2)AG⊥SD.

[分析]

要证AE⊥SB,可先假定AE⊥SB已经成立,结

合条件SC⊥平面AEFG可知AE⊥平面SBC,从而AE⊥BC,

又BC⊥AB,故BC⊥平面SAB,这样实际证明时,应先从已
知条件 SA⊥平面 ABCD 入手证得 BC⊥平面 SAB ,后证 AE⊥ 平面SBC.

[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BC. 又AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.

又AE?平面SAB,∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AEFG,∴SC⊥AE. 又∵SC∩BC=C,∴AE⊥平面SBC. ∵SB?平面SBC,∴AE⊥SB.

(2)∵SA⊥平面ABCD,∴CD⊥SA, 又CD⊥AD,AD∩SA=A,∴CD⊥平面SAD,

∵AG?平面SAD,∴CD⊥AG
∵SC⊥平面AEFG,∴SC⊥AG. 又∵SC∩CD=C,∴AG⊥平面SDC. 又SD?平面SDC,∴AG⊥SD.

[例2]
MN∥AC1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N分别在

直 线 BD 、 B1C 上 , 且 MN⊥BD , MN⊥B1C , 求 证 :

[ 分析 ]

已知 MN⊥BD , MN⊥B1C ,而 B1C 与 BD 是异

面直线,可考虑先平移其中一条 (B1C∥A1D) 得到线面垂

直.结合正方体中存在众多垂直关系,问题实质是已知线
面垂直关系证线线平行可考虑用性质,如果能推得AC1⊥平 面A1BD,问题获解.由BD⊥AC,BD⊥C1C可得,BD⊥平 面ACC1,∴BD⊥AC1.同理A1D⊥AC1.

[解析] 连接A1D、A1B ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C∥A1D,

∵MN⊥B1C,∴MN⊥A1D,
又 MN⊥BD , ∴ MN⊥ 平 面 A1BD , ∵ BD⊥AC 且 BD⊥C1C ∴BD⊥平面ACC1 ∴BD⊥AC1 又A1D⊥AD1且A1D⊥C1D1

∴A1D⊥平面AC1D1

∴A1D⊥AC1

∴AC1⊥平面A1DB ∴AC1∥MN.

[例3]
角的正切. [ 分析 ]

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F

分别为 AB 、C1D1 的中点,求直线 A1B1 和平面 A1ECF所成的 求线面角的关键是找出直线在平面上的射影,

为此由直线 A1B1 上一点向平面 A1ECF 作垂线,但垂足在什

么位置呢?故欲作垂线,可先作垂面.

[解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵FC1綊EB,∴EF∥C1B. ∴EF⊥平面A1B1C, ∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.交线为A1C. 作B1H⊥A1C,则B1H⊥平面A1CF. ∴A1C为A1B1在平面A1ECF上的射影.

又∵C1B⊥B1C.C1B⊥A1B1,∴C1B⊥平面A1B1C,

∴∠B1A1C即为直线A1B1
和平面A1ECF所成的角.

[ 例 4]

如图,有一个正三棱锥体的零件, P 是侧面

ABD 上一点.在面 ABD 内过点 P 画一条与棱 AC 垂直的线段,

应怎样画?说明你的理由.

[解析] 取BD中点E, ∵几何体为正三棱锥,

∴AE⊥BD,CE⊥BD,
∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥AC. 故在平面 ABD 内,欲过 P 点作与棱 AC 垂直的线段,只 须过P作MN∥BD分别交AB、AD于M、N,则线段MN⊥AC, MN即所求.

[ 例 5]

已知直线 a∥平面 α , b?α , c?α , a∥b∥c , a

到平面α的距离为4,a与b距离为5,b与c距离为6,则a与c

的距离为
( )

[错解]

如图,在直线a上取点A,过A作直线

AB⊥α,垂足为B,作直线BD⊥b于D,交c于E,由条件 知,AB=4,∵BD⊥b,由AB⊥α知AB⊥b,∴b⊥平面 ABD,∴b⊥AD,∴AD=5,∵b∥c,BD⊥b, ∴BD⊥c,∴DE=6,在Rt△ABD中得BD=3,∴BE= 9,∴AE= AB2+BE2= 97. ∵b⊥平面ABD,∴c⊥平面ABD,∵AE?平面 ABD, ∴c⊥AE,∴a⊥AE,∴a与c距离为 97,故选B.

[ 辨析 ]

考虑问题不周到,由题设的条件知,当在直

线a上取点A,作AB⊥α时,垂足B可能在b、c之间,也可能 在两侧,故应讨论.

[正解]

在直线a上取点A,过A作直线AB⊥α,垂足

为B,则平行线b、c可能在点B的同侧,也可能在两侧. 1° 当b、c在点B同侧时,若在靠近b的一侧,如原解 答,a与c距离为 97,易知不可能在靠近c的一侧. 2° 当b、c在点B的异侧时,如图,过B作直线DE⊥b交 b于D,交c于E,易证AD⊥b,AE⊥c,∴AD=5,DE= 6,又AB=4,∴DB=3,∴BE=3,∴AE=5. 综上可知a与c的距离为5或 97,故选D.

一、选择题 1.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内

(
A.不存在与l垂直的直线 B.存在一条与l垂直的直线 C.存在无数条与l垂直的直线 D.任意一条都与l垂直

)

[答案] C

[解析]

若l?α,显然在α内存在无数条直线与 l垂直;

若l∥α,过l作平面β∩α=l′,则l∥l′,

∵ 在 α 内存在无数条直线与 l′ 垂直,从而在 α 内存在无
数条直线与l垂直; 若l与α斜交,设交点为A,在l上任取一点P, 过P作PQ⊥α,垂足为Q,在α内存在无数条直线与 AQ 垂直,从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直.

2.过一点和已知平面垂直的直线条数为 ( )

A.1条
C.无数条 [答案]

B.2条
D.不能确定

[解析] 已知:平面α和一点P. 求证:过点P与α垂直的直线只有一条.

证明:不论点P在平面α外或平面α内,设PA⊥α,垂足

为 A( 或 P) .如果过点 P 还有一条直线 PB⊥α ,设 PA 、 PB 确
定的平面为 β ,且 α∩β =a ,于是在平面 β 内过点 P有两条直 线PA、PB垂直于交线 a,这是不可能的.所以过点P与α垂 直的直线只有一条.

二、解答题 3 . (09· 湖南文 ) 如图,在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中,

AB = 4 , AA1 =
DE⊥A1E.

,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AC 上,且

(1)证明:平面A1DE⊥平面ACC1A1; (2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.

[ 解析 ]

(1) 如图所示,由正三棱柱 ABC - A1B1C1 的性

质知,AA1⊥平面ABC.

又DE?平面ABC,所以DE⊥AA1.
而DE⊥A1E,AA1∩A1E=A1, 所以DE⊥平面ACC1A1. 又DE?平面A1DE,故平面A1DE⊥平面ACC1A1.

(2)过点A作AF垂直A1E于点F,连接DF. 由(1)知,平面A1DE⊥平面ACC1A1. 所以AF⊥平面A1DE,故∠ADF是直线AD和平面A1DE 所成的角. 因为DE⊥平面ACC1A1,所以DE⊥AC,而△ABC是边 1 长为4的正三角形,于是AD=2 3 ,AE=4-CE=4- 2 CD =3. 又因为AA1= 7,

2 2 2 所以A1E= AA2 + AE = ( 7) + 3 =4, 1

AE· AA1 3 7 AF 21 AF= = ,sin∠ADF= = . A1E 4 AD 8 21 即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为 8 .



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