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3-3三角函数与平面向量



第 6 讲 三角函数的图象与性质

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及 余弦函数的图象;掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现.因此 在本讲复习中要注重三角知识的基础性, 特别是要熟练掌握三角函数的定义、 三角函数图象的 识别及其

简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考中 加强了对三角函数定义、 图象和性质的考查. 在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊 方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.

π? 1. 函数 y=2sin2? ?x-4?-1 是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数. 2.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内的零点个数为________. 3.函数 f(x)=2cos2x+sin2x 的最小值是________. π ? 4.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数, 若 f(x)的最小正周期是 π, 且当 x∈? ?-2,0? 7π? 时,f(x)=sinx,则 f? ? 6 ?的值为________. π ? 5 已知函数 f(x)=2sin2? ?4+x?- 3cos2x-1,x∈R. (1) 求 f(x)的最小正周期; π ? (2) 若 h(x)=f(x+t)的图象关于点? ?-6,0?对称,且 t∈(0,π),求 t 的值;

6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示. π? (1) 求 f(0)的值;(2) 若 0<φ<π,求函数 f(x)在区间? ?0,3?上的取值范围.

πx π? 2πx (2009· 重庆)(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=sin? ? 4 -6?-2cos 8 +1. (1) 求 f(x)的最小正周期; 4? (2) 若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈? ?0,3?时,y=g(x)的最 大值. π π π π π 解:(1) f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x 4 6 4 6 4 = 3 π 3 π sin x- cos x(3 分) 2 4 2 4

π π? = 3sin? ?4x-3?,(5 分) 故 f(x)的最小正周期为 T = 2π =8.(7 分) π 4

(2) (解法 1)在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点为(2-x,g(x)). 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上,从而 π π π π π π π ?2-x?- ?= 3sin? - x- ?= 3cos? x+ ?.(10 分) g(x)=f(2-x)= 3sin? 3? ?4 ?2 4 3? ?4 3? 4? 4 π π π 2π π 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ , 因此 y=g(x)在区间? ?0,3?上的最大值为 g(x)max= 3cos3= 3 3 4 3 3 3 .(13 分) 2 4? ?2 ? (解法 2)因区间? ?0,3?关于 x=1 的对称区间为?3,2?,且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于 x 4? ?2 ? =1 对称,故 y=g(x)在? ?0,3?上的最大值为 y=f(x)在?3,2?上的最大值, π π? 由(1)知 f(x)= 3sin? ?4x-3?, 2 π π π π 当 ≤x≤2 时,- ≤ x- ≤ , 3 6 4 3 6 4? π 3 因此 y=g(x)在? ?0,3?上的最大值为 g(x)max= 3sin6= 2 .(13 分) 提高训练 1.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ 2 5 =- ,则 y=________. 5 π 2x- ?-2 2sin2x 的最小正周期是________. 2.函数 f(x)=sin? 4? ?

π ? ?π ? 3.函数 y=sin? ?2+x?cos?6-x?的最大值为________. 4.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等 于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. π 5.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3 (1) 若 cos cosφ-sin πsinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2) 在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的解析 3 式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数.

6.已知函数 f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). π 0, ?上的最大值和最小值; (1) 求函数 f(x)的最小正周期及在区间? ? 2? π π? 6 (2) 若 f(x0)= ,x0∈? ?4,2?,求 cos2x0 的值. 5

x x 7.设函数 f(x)=-cos2x-4tsin cos +4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将 f(x)的最小值记为 2 2 g(t). (1) 求 g(t)的表达式;(2) 讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

第 7 讲 三角变换与解三角形

1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用; 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、 求值和条件等式及恒等式的证明; 掌握正弦 定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 2. 在复习过程中,要熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点及 常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等); 掌握化简、求值和解三角形的常规题型;要注意掌握公式之间的内在联系. 3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加,三角函数知识在几何及实际 问题中的应用也是考查重点,应给予充分的重视.新教材降低了对三角函数恒等变形的要求, 但对两角和的正切考查一直是重点.

sin2α 1. 若 tanα=3,则 2 的值等于________. cos α π? 4 ? 7π? 2.已知 cos? ?α-6?+sinα=5 3,则 sin?α+ 6 ?的值是________. 1 1 3.在△ABC 中,tanA= ,tanC= ,则角 B 的值为________. 2 3 4.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 AC 的值等于________. cosA

1 13 π 5.已知 cosα= ,cos(α-β)= 且 0<β<α< . 7 14 2 (1) 求 tan2α 的值; (2) 求 β.

C 6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1) 求 sinC 的值; (2) 若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值.

x x x 3cos -sin ?. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2cos ? 2 2? 2? π π? (1) 设 θ∈? ?-2,2?,且 f(θ)= 3+1,求 θ 的值; (2) 在△ABC 中,AB=1,f(C)= 3+1,且△ABC 的面积为 3 ,求 sinA+sinB 的值. 2

π x x x x+ ?+ 3.(3 分) 解:(1) f(x)=2 3cos2 -2sin cos = 3(1+cosx)-sinx=2cos? ? 6? 2 2 2 π? ? π? 1 由 2cos? ?x+6?+ 3= 3+1, 得 cos?x+6?=2.(5 分) π π? π π π π 于是 x+ =2kπ± (k∈Z),因为 x∈? ?-2,2?,所以 x=-2或6.(7 分) 6 3 π (2) 因为 C∈(0,π),由(1)知 C= .(9 分) 6 因为△ABC 的面积为 3 3 1 π ,所以 = absin ,于是 ab=2 3, 2 2 2 6 ①

在△ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a、b, π 由余弦定理得 1=a2+b2-2abcos =a2+b2-6,所以 a2+b2=7,② 6

?a=2, ?a= 3, 由①②可得? 或? 于是 a+b=2+ 3. ?b= 3 ?b=2.
sinA sinB sinC 1 由正弦定理得, = = = , a b 1 2 1 3 所以 sinA+sinB= (a+b)=1+ . (14 分) 2 2 提高训练 3π π, ?,tanα=2,则 cosα=________. 1.已知 α∈? 2? ? π? tanx 2.已知 tan? ?x+4?=2,则tan2x的值为________.

(12 分)

π? 1 cos2α 3.已知 sinα= +cosα,且 α∈? ?0,2?,则 ? π?的值为________. 2 sin?α-4? 4.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3, A+C=2B, 则 sinC=________.

1 π? 5.已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? π? 10 6 ? π? ? (1) 求 f? ? 4 ?的值; (2) 设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值.

6.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c;已知 asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1) 求 B;(2) 若 A=75° ,b=2,求 a,c.

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. π (1) 若 c=2,C= ,且△ABC 的面积 S= 3,求 a,b 的值; 3 (2) 若 sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.

8.已知△ABC 中,a、b、c 是三个内角 A、B、C 的对边,关于 x 的不等式 x2cosC+4xsinC+6 <0 的解集是空集. (1) 求角 C 的最大值; 7 3 (2) 若 c= ,△ABC 的面积 S= 3,求当角 C 取最大值时 a+b 的值. 2 2

第 8 讲 平面向量及其应用

1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算 及其简单应用.复习时应强化向量的数量积运算,向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题 要引起足够重视. 2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透,如数形结合思想、转化与化归思想等.会用向 量解决某些简单的几何问题.

1. 在

→ → → → → 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=________.(用 a、b

表示) 2.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-2a)共线,则 λ=________. π 3.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为 ,则|a-b|=________. 3 a b 4.已知向量 P= + ,其中 a、b 均为非零向量,则|P|的取值范围是________. |a| |b| 5.设向量 a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ). (1) 若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2) 求|b+c|的最大值; (3) 若 tanαtanβ=16,求证:a∥b.

6.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sinB,sinA), p=(b-2,a-2) . (1) 若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2) 若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积 . 3

(2010· 江苏泰州一模)(本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. (1) 设向量 x=(sinB,sinC),向量 y=(cosB,cosC),向量 z=(cosB,-cosC),若 z∥(x +y),求 tanB+tanC 的值; (2) 已知 a2-c2=8b,且 sinAcosC+3cosAsinC=0,求 b. 解:(1) 由题意:x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),(1 分) ∵ z∥(x+y), ∴ cosB(sinC+cosC)=-cosC(sinB+cosB), ∴ cosBsinC+cosCsinB=-2cosBcosC,(3 分) ∴ cosBsinC+cosCsinB =-2,即:tanB+tanC=-2. cosBcosC (6 分)

(2) ∵ sinAcosC+3cosAsinC=0, ∴ sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC,(8 分) ∴ sin(A+C)=-2cosAsinC,即:sinB=-2cosAsinC.(10 分) b2+c2-a2 ∴ b=-2c· ,(12 分) 2bc ∴ -b2=b2+c2-a2,即:a2-c2=2b2,又 a2-c2=8b, ∴ 2b2=8b, ∴ b=0(舍去)或 4.(14 分) 提高训练 → → → 1.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD____. → → 2.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则AB· AD=________. 2π 3.已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若 a· b=0,则实数 k 的值 3 为________. 1 4.若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的面积为 ,则 α 2 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1) 求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → (2) 设实数 t 满足(AB-tOC)· OC=0,求 t 的值.

6.

tanA 2c 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1+ = . tanB b

2C? ? (1) 求角 A;(2) 若 m=(0,-1),n=?cosB,2cos ?,试求|m+n|的最小值. 2? ?



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