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2013-2014高一数学期末试题及答案



2013-2014 学年第一学期第二学段 高一数学模块检测
时间 120 分钟 分数 150 分

第 1 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是
A 三点确定一个平面 C 过一条直线的平面有无数多个 B 两条直线确定一个平面 D 两个相交平面的交线是一条线段

2.若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? 3 ,则在直线 l 上的点是
A

(1, 3)

B

( 3,1)

C

(? 3,1)

D

(1,? 3)

3.某建筑物的三视图如图所示,则此建筑物结构的形状是 A 圆锥 B 四棱柱 C 从上往下分别是圆锥和四棱柱 D 从上往下分别是圆锥和圆柱 4.直线 x ? y ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标是 A. (1,1) B. (?1,?1) C. (1,?1) D. (?1,1)

5. 已知两个球的表面积之比为 1 : 9 ,则这两个球的半径之比为 A. 1 : 3 B. 1: 3 C. 1 : 9 D. 1: 81

6.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 A. -8 B. 0 C. 2 D. 10

7.圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 的圆心坐标和半径分别是
A. (3,0),9 B. (3,0),3 C. (?3,0),9 D. (?3,0),3

8.直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l 2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k 的值是 A -3 或 1 B 0
2 2

C 0 或-3

D 0或1

9. 圆 x ? y ? 1上的动点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 A. 2 B.1 C.3
第 1 页 共 4页

D.4

10.直线 x ? y ? 4 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 截得的弦长等于 A. 12 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2

11.设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题:



? // ? ? ? ? ?? ??m? ? ? ? ? // ? ② m // ? ? ? // ? ?
其中,真命题是 B.②③



m ??? ??? ? ? m // ? ?
D.②④

④ (

m // n ? ? ? m // ? n ???


A.①④

C. ①③

12.若直线 ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交,则点 P( a, b) 与圆的位置关系是 A 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 以上都不可能

第 2 页 共 4页

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题.本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.
13.一个圆锥的母线长是 20cm,母线与轴的夹角为 30 ,则圆锥的底面半径是
0

cm. .

14.圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是

15.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为 45? ,腰和上底
均为 1. 如图,则平面图形的实际面积为 .

16.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC= a ,那么
这个球的半径是 .

三、解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演 步骤. 17、 (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 正 四 棱 锥
AC 与 B 交于点 D , M
V

V - ABCD 中 ,

,若 AC ? 6cm , V 是棱锥的高 M
D A M B
y

VC ? 5cm ,求正四棱锥 V - ABCD 的体积.

C

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.

C

B D

19、 (本小题满分 12 分)
求过点 A(2, 4) 向圆 x ? y ? 4 所引的切线方程。
2 2

O

1

A

x

第 3 页 共 4页

20. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P—ABC 中, PC⊥底面 ABC, AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 PAC; (2)求证:AB⊥PB;
A D B
(第 20 题)

P

E C

21.(本小题满分 12 分)

如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中, AB=2,AC=BC= 2 ,等边△ADB 所 在的平面以 AB 为轴可转动. (Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D - ABC 的体积; (Ⅱ)当△ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD? 请证明你的结论.
A C B D

22. (本小题满分 14 分) 已知圆 O: x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),由圆 O 外一 点 P(a, b) 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q ,且满足
PQ ? PA .
2

y

A
0 2

(1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试 求半径取最小值时圆 P 的方程.

x P

Q

第 4 页 共 4页

2013-2014 学年第一学期第二学段 高一数学模块检测
参考答案
一、CDDAA 二、13 10 ABABB CB 14

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

15

2? 2

16

3 a 2

三、解答题 17.解 ? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,

1 1 1 …4 分 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 且 S ABCD ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). ……6 分 2 2 ? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, ? MC ?

V

VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm). ………8 分
? 正 四 棱 锥
V -

ABCD







为 A

D M B

C

1 1 3 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ). ………………12 分 3 3
18 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0
(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,

………………4 分

? CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
3

………………8 分

1 3 19 解 显然 x ? 2 为所求切线之一;………………2 分
另设 y ? 4 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 4 ? 2k ? 0

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即x ? 3 y ?10 ? 0 .………………12 分



4 ? 2k
2

3 ? 2, k ? ,3x ? 4 y ? 10 ? 0 4 k ?1

第 5 页 共 4页

? x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求。…………12 分

20.(1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点, 所以 DE∥PA. 因为 PA ? 平面 PAC,且 DE ? 平面 PAC, 所以 DE∥平面 PAC.…………6 分 (2)因为 PC⊥平面 ABC,且 AB ? 平面 ABC, 所以 AB⊥PC.又因为 AB⊥BC,且 PC∩BC=C. 所以 AB⊥平面 PBC. 又因为 PB ? 平面 PBC, 所以 AB⊥PB.…………12 分 21.解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 O,连接 OD,OC, 由于△ADB 是等边为 2 的三角形, OD ? AB 且 OD = A D B
(第 20 题)

P

E C

3 ,………………2 分

? 平面 ADB⊥平面 ABC,? OD ⊥平面 ABC…………………………4 分
1 3 三棱锥 D - ABC 的体积 V ? S ABC ? OD ? .…………6 分 3 3
(Ⅱ)当△ADB 以 AB 为轴转动过程中,总有 OD ? AB, OC ? AB ,……………8 分 即有 AB ? 面 DOC , DC ? DOC

? 总有 AB⊥CD……………………………10 分

当平面 ABD 与平面 ABC 重合时,由平面几何知;AB⊥CD……………………11 分 于是,当△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD。………………………………12 分 22. 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定 理有
2
2 2 2

y

PQ ? OP ? OQ .
又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA . 即: (a ? b ) ?1 ? (a ? 2) ? (b ?1) .
2 2 2 2 2
2 2

A
O 2

x P

Q

第 6 页 共 4页

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

…………4 分

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

…………8 分

(3)设圆 P 的半径为 R ,

? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,
? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

6 时, OP ? 3 5. …………12 分 min 5 5

3 , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5
此时, b ? ?2a ? 3 ?

…………14 分

第 7 页 共 4页



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