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福建省仙游第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试题



仙游一中 2015-2016 学年度上学期期中考

高二年数学(理科)试卷
命题人:张金标,满分 150 分,答卷时间 2 小时. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列语句中,是命题的个数是( A.1 B.2 C.3 )?

D.4?? ①|x+2| ; ②-5∈Z ; ③π ? R ; ④{0}∈N。? 2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, 得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、 众数、极差分别是( ) A. 46,45,56 B. 46,45,53 C. 47,45,56 D. 45,47,53 3.若 k ? R, 则“k ? 3”是“方程 A.充公不必要条件 C.充分必要条件
x2 y2 ? ? 1表示双曲线 ”的 ( k ?3 k ?3



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知样本点 ( xi , yi )(i ? 1, 2, ???, n) 的散点图呈线性正相关,且回归直线的斜率估计值 的绝对值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为( A.^ y=1.23x+4 B.^ y=1.23x+5 C.^ y=1.23x+0.08 ) D.^ y=0.08x+1.23 )

5.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为(

1 1 C. 2 4 6.命题 p: ? x>1,log2x>0,则 ? p 是(
A.2 B. A. ? x>1,log2x≤0 C. ? x≤1,log2x>0

D.4 )

B. ? x≤1,log2x>0 D. ? x>1,log2x≤0

7.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合 为 A,从集合 A 中任取一个元素 α,则函数 y=xα x∈[0,+∞)是增函数的概率为( ) 3 A.7 4 B.5 3 C.5 3 D.4

8.从装有 2 个红球和 2 个黑球的袋内任取 2 球,那么互斥不对立的两个事件是 A.至少有一个黑球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有一个红球 B.至多有一个黑球与都是黑球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球

9.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是( A.
1 2



B.

1 5

C. 3
3

D. 3
4

10.若“ a ? b ? c ? d ”和“ a ? b ? e ? f ”都是真命题,其逆命题都是假命题, 则“ c ? d ”是“ e ? f ”的( A.必要非充分条件 C.充要条件
2 2

) B.充分非必要条件 D.既非充分也非必要条件

x y 11. 已知双曲线 9 -16=1 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 若双曲线上一点 P 使∠F1PF2 =90° ,则△ F1PF2 的面积是( A.12 B.16 ) C.24 D.32

12.若抛物线 y2=2x 上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,且 y1y2=-1,则实数 b 的值为( 5 A.-2 5 B.2 ) 1 C.2 共 90 分) 1 D.-2

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分. 13.二进制数 10111 转化为十进制数是_______.
2 2 14.在区间[0,4]上任取一实数 a,使双曲线 x 2 - y ? 1 的离心率 e>2 的概率是

a

3



15. p: 函数 f(x)=lgx+1 无零点; q: 存在 α、 β, 使 sin(α-β)=sinα-sinβ, 在? p∨q, ? p∧q,③ ? p,④ ? q 中真命题为 (填上序号即可)。 16.f(x)=|x|· (x-b)在[0,2]上是减函数的充要条件是____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明;证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 10 分)仙游一中团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识 竞赛,从参加考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50), [50,60),…,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形给出的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分。

18.(本小题满分 12 分)已知命题 p :关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立;命题 q :函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数.若 p ? q 为真, p ? q 为假, 求:实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)设双曲线中心在原点,右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦 点重合,双曲线的渐进线方程是 y= ? 2 x,求: (1)双曲线的标准方程; (2) 过点 P(1,1)能否作一条直线 l ,与双曲线交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?请说明原因。

20.(本小题满分 12 分)某企业生产的某产品经市场调查得到如下信息:在不作 广告宣传且每件获利 a 元的前提下,销售量为 b 件; 开始 若作广告宣传,销售量为 S 与广告费 n 千元 (n ? N * ) 的 关系可用程序框图(如图)表示。 (1)试写出销售量 S 与广告费 n 千元的函数关系式; (2)当 a=40,b=4000 时,该企业应生产多少件产品, 作多少千元广告,才能获利最多?
输入 b

i=0 S=b

21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? a ( a , b ? R ) (1)若 a 从集合 {0,1, 2,3} 中任取一个元素, b 从 集合{0,1,2,3}中任取一个元素,

i=i+1

S=S+

b 2i



b 2i i ? n


求:方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等实根的概率; (2)若 b 从区间 [0, 2] 中任取一个数, a 从区间 [0,3] 中 任取一个数,求:方程 f ( x) ? 0 没有实根的概率.

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 和短轴长之比为 3 : 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,其长轴长 a 2 b2

(2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任 意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

仙游一中 2015-2016 学年度上学期期中考 高二年数学(理科)参考答案
一、选择题:CAACCD 二、填空题:13. 23; 三、解答题: 17 解(1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:f4=1-(0.025+0.015× 2+0.01+ 0.005)× 10=0.03.其频率分布直方图如图所示(略). (2)依题意, 60 分及以上的分数所在的第三、 四、 五、 六组, 频率和为(0.015+0.030+0.025 +0.005)× 10=0.75.所以,估计这次考试的合格率是 75%. 利用组中值估算这次考试的平均分,可得: 45· f1+55· f2+65· f3+75· f4+85· f5+95· f6 =45× 0.1+55× 0.15+65× 0.15+75× 0.3+85× 0.25+95× 0.05=71. 所以估计这次考试的平均分是 71 分. 18 解:p:由 x2-2ax+4>0 对? x∈R 恒成立,得 14. CDABBA

1 ; 15. ?③; 16. b≥4 。 4

△ =(2a)2-4× 4<0,解得-2<a<2.所以 p 真:-2<a<2. q:∵函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数 ∴0<2a-5<1,解得:

5 <a<3 2

所以 q 真:

5 <a<3 2

由“p∨q”为真,“p∧q”为假知,p 与 q 中必有一真一假,即 p 真 q 假或 p 假 q 真.

?a ? ?2或a ? 2 ?? 2 ? a ? 2 5 ? ? ;所以-2<a<2 或 <a<3 ?? 或 ?5 5 2 a ? 或a ? 3 ? ? a ? 3 ? 2 ? ?2
x2 y2 , ? ?( 1 a ? 0, b ? 0) a b2 因抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点为 ( F ,依题意: 3, 0)
19 解:(1)设双曲线的标准方程

?a 2 ? b 2 ? 3 y2 ? ,解得: a ? 1, b ? 2 。所以双曲线的标准方程 x 2 ? ?1. ?b 2 ? 2 ? ?a
? 2 y12 ?1 , (1) ? x1 ? 2 (2)设 A ?x1 , y1 ? 、B ? x2 , y2 ? ,则 ? ,由(1)-(2)得: ? 2 y ?x 2 ? 2 ? 1 , (2) 2 ? 2 ? ?x1 - x2 ??x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ,因 AB 中点为点 P(1,1),直线 2

l 的斜率 k= y1 ? y 2
x1 ? x2

2k ,即y ? 2 x ?1 .联立: ? 0, 得: k ? 2 。直线 l 的方程为: y -1 ? 2?x -1? 2 ? y ? 2x ?1 ? ,消去 y 得: 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0,? ? 42 - 4 ? 2 ? 3 ? -8 ? 0 ,所以 x 无解。 ? 2 y2 ?1 ?x ? 2 ? 所以过点 P(1,1)不能作一条直线 l 满足条件。
所以 2 20.(1) S ? b( 2 ?

1 ) ;(2)该企业应生产 7875 件产品,作 5 千元广告,才能获利最多。 2n

21. 解:(1) ∵ a 取集合 {0,1, 2,3} 中任一个元素, b 取集合{0,1,2,3}中任一个元素

a , b 取值的情况是: (0,0),(0,1),(0, 2),(1,0), (1,1), (1, 2), (2, 0),

(2,1),(2, 2),(3,0),(3,1),(3, 2) ,(0,3),(1,3),(2,3),(3,3)其中第一个数
表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 即基本事件总数为 16 ,设“方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根”为事件 A 当 a ? 0, b ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等实根的充要条件为 b> a 且 a 不等于零 当 b> a 时, a , b 取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3)即 A 包含的基本事件数为 3,

3 16 (2)∵ b 从区间 [0, 2] 中任取一个数, a 从区间 [0,3] 中任取一个数,
∴方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等实根的概率 P ? A? ? 则试验的全部结果构成区域 { (a, b) 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2} , 这是一个矩形区域,其面积 S? ? 2 ? 3 ? 6 设“方程 f ( x) ? 0 没有实根”为事件 B,则事件 B 所构成的区域为 { (a, b) 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2, a ? b} 其面积 S M ? 6 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 2 由几何概型的概率计算公式可得:方程 f ( x) ? 0 没有实根的概率 P( B) ?
2 2 ? ?2c ? 2 a ? b ? 4 ? 22 解: (1)依题意得: ? ,解得: a 2 ? 6, b2 ? 2 。 ?a ? 3b x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 ? ?1 6 2 (2) (ⅰ)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0).

SM 4 2 ? ? S? 6 3

x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2, 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, 得?x y 消 ? 6 + 2 =1. ? 去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +3 m +3 12 6 ? 2m . 于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 .设 M 为 PQ 的中点,则点 M ( 2 , 2 ) m +3 m ?3 m ?3 因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ?m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ?m?t ? 2? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,?m?t ? 2?? , 此时直线 OT 的斜率为 ? m?t ? 2? ,其方程为 y ? m(2 ? t ) x . t t 6 6 ? 2m 代入,得 ? 2m m(2 ? t ) 将点 M ( 2 .解得 t ? 3 . ? ? 2 , 2 ) 2 m ?3 t m ?3 m ?3 m ?3 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x ? 3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为 (3,?m) . 于是 | TF |? m2 ? 1 , | PQ |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [m( y1 ? y2 )] 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
2 ? (m 2 ? 1)[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? (m2 ? 1)[( ?24m )2 ? 4 ? ] 2 m ?3 m ?3

? 4m 2 ?2 24(m ? 1) . ? (m2 ? 1)[( 2 ) ?4 2 ]? m2 ? 3 m ?3 m ?3
2

2 2 2 所以 | TF | ? m2 ? 1 ? m ? 3 ? 1 ? (m ? 3) 2 2 | PQ | m ?1 24(m ? 1) 24

?

1 (m2 ? 3)2 1 (m2 ? 1)2 ? 4(m2 ? 1) ? 4 ? ? ? 2 m ?1 m2 ? 1 24 24

1 4 1 3. ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? m ?1 3 24 24 4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值 3 . |PQ| m +1 3 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1). |PQ| ?



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