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人教A版数学选修2-3配套课件:1.3.1二项式定理



1.3 二项式定理

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二项式定理

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br />学习目 标 重点难 点

1.能用计数原理证明二项式定理. 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式. 3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 重点:掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,能求特定项和系 数. 难点:解决与二项式定理有关的简单问题.

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1.二项式定理
n-k k * 0 n 1 n-1 n (a+b)n=C a +C a b+…+C a b +…+C b (n∈N )

(1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n 的二项式的展开式,展开 式中一共有 n+1 项. (3)二项式系数:各项的系数C (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数. 2.二项展开式的通项
n-k k (a+b)n 展开式中第 k+1 项 Tk+1=C a b (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项展

开式的通项.

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预习交流
(1)二项展开式的特点有哪些? 提示:①项数:n+1 项;②指数:字母 a,b 的指数和为 n,字母 a 的指数
n-r r 由 n 递减到 0,同时 b 的指数由 0 递增到 n;③通项公式 Tr+1=C a b 指

的是第 r+1 项,不是第 r 项;④某项的二项式系数与该项的系数不是一个
概念,C 叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分 , 2 如(1+2x)3 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为C3 =3,而该项的系数 2 为C3 ·22=12.

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(2)(x+1)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于( A.9 提示:B (3)
1 7 2的展开式中第

). D.12

B.10

C.11

3 项的二项式系数为 .

,第 6 项

的系数为 提示:21 -84

,x 的次数为 5 的项为 -448x5

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一、二项式定理的直接应用
活动与探究 问题 1:如何利用计数原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4 的展开式? 提示:(a+b)2 是 2 个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相 乘时有两种选择:选 a 或选 b,而且每个(a+b)中的 a 或 b 都选定后,才能 得到展开式的一项.由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2 展 开式共有 2×2=22 项,而且 a2-kbk 相当于从 2 个(a+b)中取 k 个 b 的组合数
2-k k C 2 ,即 a b 的系数是C2 .

0 2 1 2 2 (a+b)2=C2 a +C2 ab+C2 b ,同理 0 3 1 2 2 3 3 (a+b)3=C3 a +C3 a b+C3 ab2+C3 b, 0 4 1 3 2 2 2 3 4 4 (a+b)4=C4 a +C4 a b+C4 a b +C4 ab3+C4 b.

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问题 2:根据问题 1 猜想(a+b)n 的展开式,并简要说明每一项的形成 过程.
n-k k * 0 n n 提示:(a+b)n=C a +C1 an-1b+…+C a b +…+ C b ( n ∈ N ).

因为(a+b)n 由 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)中的 a 或 b 都选定后,才能 得到展开式的一项,所以展开式共有 2n 项,并且每一项都是 an-kbk(k=0,1,…,n)的形式. an-kbk 出现的次数相当于从 n 个(a+b)中取 k 个 b 的组合数C ,即 an-kbk 的系数为C . 问题 3:(a+b)n 与(b+a)n 展开式相同吗? 提示:就等式而言,(a+b)n=(b+a)n,但具体到展开式的某一项时却并 不一定相同,(a+b)n 的展开式中 a 是按降幂排列的,b 是按升幂排列的,而 在(b+a)n 的展开式中恰好相反.

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例 1 求 3 +

1 4 的展开式.

思路分析:直接利用二项式定理处理是基本的方法.但考虑到处理 起来比较复杂,因此可以考虑将原式变形后再展开. 解法一: 3 +
2 C4 (3

)

2

1 . 2 1

1 2

1 4

+

3 C4 (3

)

0 = C4 (3 1 3

)

4

1 0



+

4 C4 (3

)

0

1 + C4 (3 1 4

) ·
2

3

1

+



=81x

12 +108x+54+ +

解法二: 3 +

1 4

=

(3+1) 2

4

= 2(81x4+108x3+54x2+12x+1) =81x2+108x+54+
12 1 + 2.

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迁移与应用 1.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)= 答案:x5-1 解析:原式
0 1 2 3 4 5 = C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.

.

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1 4 2.求 的展开式. 2 1 4 0 1 解法一: = C4 ( )4-C4 ( 2 1 3 1 4 3 4 C4 + C4 2 2 3 1 1 =x2-2x+ ? + . 2 2 162 4 1 4 2-1 解法二: = 2 2 1 = 2(2x-1)4 16 1 = 2(16x4-32x3+24x2-8x+1) 16 3 1 1 =x2-2x+ ? + . 2 2 162

)

3

1 2 · + C4 ( 2

) ·

2

1 2 2

?

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熟记二项式(a+b)n 的展开式,是解决此类问题的关键,我们在解较 复杂的二项式问题时,可根据二项式的结构特征进行适当变形,简化展 开二项式的过程,使问题的解决更加简便.

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二、二项展开式中特定项、项的系数
活动与探究 问题:如何求展开式的特定项. 提示:所谓二项展开式的特定项是指展开式中的某一项 ,如第 r 项、 常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项等.求展开式的特定项的 关键是抓住其通项.求解时,先准确写出通项,再把系数和字母分离开来 (注意符号),根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或 不等式求解即可. 其中对于求展开式的有理项的问题,所谓有理项就是字母的指数 必须为整数(注意有时可能为负整数或零).

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例2若 为 答案:4 .

- 2

6

展开式的常数项为 60,则常数 a 的值

思路分析:利用二项式定理的通项公式求出不含 x 的项即可.
- 2


解析:由二项式定理可知

6-r Tr+1=C6 x

=C 6 (- ) x6-3r,

2 令 6-3r=0,得 r=2,则 T3=C6 (- )2=60,

故 15a=60,即 a=4.

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例3在 A.15 4

2 2 15 4

6

的二项展开式中,x2 的系数为( C.3 8

).

B.

D.

3 8

思路分析:利用二项展开式的通项公式求. 答案:C 解析:设含 x2 的项是二项展开式中第 r+1 项, 则
Tr+1=C6

2

6 -

· -

2

=C 6

1 6- (-2)rx3-r. 2

令 3-r=2,得 r=1, 故x
2

1 的系数为C6

1 5 3 (-2)=- . 2 8

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迁移与应用 (2013 课标全国Ⅱ高考)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( A.-4 答案:D
r 解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为C5 x (0≤r≤5,r∈Z),则含 x2

). B.-3 C.-2 D.-1

2 2 1 的项为C5 x +ax·C5 x=(10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.

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n-k k 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项 Tk+1=C a b 的特点,

一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k 的取值范围 (k=0,1,2,…,n). (1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0 建 立方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求 解.

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三、二项式定理的应用(整除问题)
活动与探究 问题:整除问题或求余数有什么处理方法.

提示:解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式,如求
1 99510 除以 8 的余数.首先,将 1 995 分解为 8×249+3,即 1 99510=(8×249+3)10,它的展开式中除末项为 310 外,其余各项均含有 8 这 个因数,故 1 99510 被 8 除的余数与 310 被 8 除的余数相同.而 310=95=(8+1)5,(8+1)5 的展开式中除最末一项为 1 外,其余均含有 8 这个 因数.故 310 被 8 除的余数为 1,从而 1 99510 被 8 除的余数为 1. 用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切 关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或 者是前面)一、二项就可以了. 要注意余数的范围:a=c· r+b,其中 b 为余数,b∈[0,r),r 是除数,利用 二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负数要注意转换.

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例 4 试判断 7777-1 能否被 19 整除. 思路分析:由于 76 是 19 的倍数,可将 7777 转化为(76+1)77 用二项式 定理展开. 解:7777-1=(76+1)77-1
76 1 2 77 =7677+C77 ·7676+C77 ·7675+…+C77 ·76+C77 -1 76 1 2 =76(7676+C77 7675+C77 7674+…+C77 ).

由于 76 能被 19 整除,因此 7777-1 能被 19 整除.

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迁移与应用 1.9192 除以 100 的余数是 答案:81 解析:∵ 9192=(90+1)92
0 90 91 1 =C92 ·9092+C92 ·9091+…+C92 ·902+C92 ·90+1,

.

该式前面各项均能被 100 整除,只有末尾两项不能被 100 整除.
91 又由于C92 ·90+1=8 281=8 200+81,

故 9192 被 100 除余 81.

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2.证明:32n+2-8n-9 是 64 的倍数. 证明:∵ 32n+2-8n-9 =9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
n 2 1 =8n+1+C · 8 +…+ C · 8 + C +1 +1 ·8+1-8n-9 +1

-1

n 2 1 =8n+1+C +1 ·8 +…+C +1 ·8 +8(n+1)+1-8n-9

-1

n 2 1 =8n+1+C · 8 +…+ C · 8 +1 +1

-1

n-2 1 =(8n-1+C · 8 +…+C +1 )·64, +1

-1

∴ 32n+2-8n-9 是 64 的倍数.

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用二项式定理解决 an+b 整除(或余数)问题时,一般需要将底数 a 写 成除数 m 的整数倍加上或减去 r(1≤r<m)的形式,利用二项展开式求解.

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2

3

4

5

1.(2014 湖南高考) A.-20 答案:A 解析:由已知,得
Tr+1=C5

5 1 x-2y 的展开式中 x2y3 的系数是( 2

).

B.-5

C.5

D.20

5 - 1 5- r 1 x ( - 2 y) =C 5 (-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z), 2 2

令 r=3,得 故选 A.

3 T4=C5

1 2 (-2)3x2y3=-20x2y3. 2

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1

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5

2.(2013 江西高考) A.80

2

2 5 - 3 展开式中的常数项为(

).

B.-80

C.40

D.-40

答案:C 2(5-r) 解析:展开式的通项为 Tr+1=C5 x (-2)rx-3r=C5 (-2)rx10-5r.令 10-5r=0,得
2 r=2,所以 T2+1=C5 (-2)2=40.故选 C.

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5

3.在(x+ 3y)20 的展开式中,系数为有理数的项共有 答案:6
20-r r 解析:∵ Tr+1=34 C20 x y (r=0,1,2,…,20)的系数为有理数,

4

项.

∴ r=0,4,8,12,16,20,共 6 项.

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2

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5

4.(1-x)4· (1- )3 的展开式中 x2 的系数是 答案:-6

.

0 1 2 2 解析:展开式中的 x2 项为C4 ·(-x)1·C3 ·(- )2+C4 (-x)2C3 =-6x2.

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5.求证:(1)5151-1 能被 7 整除; (2)32n+3-24n+37 能被 64 整除. 证明:(1)∵ 5151-1=(49+2)51-1
0 1 50 51 =C51 4951+C51 4950·2+…+C51 ·49·250+C51 ·251-1, 51 易知除(C51 ·251-1)以外各项都能被 7 整除,

又 251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
0 16 1 17 =C17 ·717+C17 ·716+…+C17 ·7+C17 -1 0 16 16 1 15 =7(C17 7 +C17 7 +…+C17 ), 显然上式能被 7 整除,∴ 5151-1 能被 7 整除.

(2)32n+3-24n+37=3·9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37
n+1 n 0 1 =3(C 8 + C 8 +1 +1 +…+C +1 8+1)-24n+37 n-1 n-2 0 1 =3×64(C 8 + C 8 +…+C +1 )+24C +1 +1 +1 -24n+40 n-1 n-2 0 1 =64×3(C 8 + C 8 +…+C +1 )+64, +1 +1

-1 -1

显然上式是 64 的倍数,故原式可被 64 整除.



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