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3.3直线的交点坐标与距离公式



3.3.1
两条直线的交点坐标

一般地,若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交点坐标?

用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写 出这两条直线的方程,然后联立求解.

几何概念与代数表示
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数

表示

A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

对于两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

若方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有唯一解,有无数组解,无解,则两直线的 位置关系如何?
两直线有一个交点, 重合、平行

例1. 求下列两条直线的交点坐标

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0

l2 : 2x ? y ? 2 ? 0
?3x ? 4 y ? 2 ? 0 解:解方程组 ? ? 2x ? y ? 2 ? 0 得 ? x ? ?2 ? ? y?2 所以,l1与l2的交点M(-2,2)

y
M
O

l1 l2

x

练习1:求下列直线的交点坐标
(1) l1 : 2 x ? 3 y ? 12 (2) l1 : x ? 2
? 36 4 ? (1) ? , ? ? 7 7?

l2 : x ? 2 y ? 4 l2 : 3x ? 2 y ?12 ? 0
(2) (2,3)

当?变化时,方程

3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0
表示什么图形?图形有何特点? 表示的直线包括过交点M(-2,2)的一族直线

例2 判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出其交点的坐标.

(1)l1:x ? y ? 0,

l2: 3x ? 3y ? 10 ? 0 ;

6x ? 2y ? 1 ? 0; 3x ? y ? 4 ? 0, l2: (2) l1:
6x ? 8y ? 10 ? 0. 3x ? 4y ? 5 ? 0, l2: (3)l1:

例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点,且斜率为3的直线方程.

例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交,且交点 P在第一象限,求k的取值范围.

y B o M A x

3.3.2

两点间的距离

已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何
点P1和P2的距离|P1P2|? y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O

x

两点间距离公式推导
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1, y1 )和P2(x2,y2), 利用上述方法求点P1和P2的距离为

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距离为

| OP |?

x ?y
2

2

例1 已知点

A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上

求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设所求点P ( x, 0) PA ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ?
2 2

x2 ? 2 x ? 5 x ? 4 x ? 11
2

PB ? ( x ? 2) ? (0 ? 7 ) ? 由 PA ? PB 得 x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 11
2 2

解得

x ?1

? P (1, 0)且 PA ? (1 ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 =2 2

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和. 证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系. 则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

y
D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)

B(a,0)

例2题解
y | CD | ? a 2 2 2 | BC |2 ? b2 ? c 2 | AD | ? b ? c
2 2 2 2

| AB | ? a

D (b,c)

C (a+b,c)

| AC |2 ? (a ? b)2 ? c2 | BD |2 ? (b ? a)2 ? c2
2 2 2 2

A (0,0)
2 2

B (a,0)
2

x

| AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a ? b ? c ) | AC |2 ? | BD |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
2 2 2 2 2 2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和.

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤: 第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量

第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

练习2:已知点A(a,-5),B(0,10)间的距离是17, 求a的值

3.3.3

点到直线的距离

已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax +By +C=0,如 何求点P到直线 l 的距离?
点P到直线 l 的距离,是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足. y

Q
P0 o

l

x

分析思路一:直接法

y
Q

直线 l 的方程 直线 l 的斜率

O

P0

l
x

l ? P0Q
点P 的坐标 0 直线P 的斜率 0Q

直线 l 的方程 点P 的坐标 0
0

直线P 的方程 0Q

点Q 的坐标

点P 、Q之间的距离

P0Q

(点

P0



l 的距离)

分析思路二:用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0Q ? P0 S ? P0 R SR

y
求出P0R 求出P0S

S

利用勾股定理求出SR

d

Q
R

P0
面积法求出P0Q

l
x

O

y

Ax0 ? C ? ? S ? x0, ? B ? ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d

y0
O

P0 (x0,y0)

? By0 ? C ? ? , y R? 0? A ? ?

x0

x

1 | P0 S || P0 R | 2

?

1 d | SR | 2

点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线 l :Ax +By +C=0的距离为: | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

特别地,当A=0,B?0时, 直线By+C=0
| By0 ? C | C d? ?| y0 ? | |B| B

特别地,当B=0,A?0时, 直线Ax+C=0
d? | Ax0 ? C | C ?| x0 ? | | A| A

y

|y1-y0|
y ? y1

y1 y0 O

|x1-x0|
x ? x1

P0 (x0,y0)
x0 x1 x

点到坐标轴的距离
y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

, 2?到直线 l : 3 x ? 2 的距离. 例1.求点P 0 ?? 1
解: d ?
3 ? ?? 1? ? 2 32 ? 0 2 5 ? 3

思考:还有其他解法吗?

例2 已知点 A?1 , 3?,B?3, 1?,C?- 1, 0?,求 ?ABC 的面积. 分析:如图,设 AB 边上的高为 h ,则 y 1 S ?ABC ? AB ? h . 4 A 2
AB ?
的距离.

?3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2.

3 2 1

h
1 2 3

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB

C

B
x

-1 O

y ? 3 x ?1 ? , 解:AB 边所在直线的方程为: 1? 3 3 ?1
即:x ? y ? 4 ? 0 . 点 C ?? 1 , 0? 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?
因此

?1 ? 0 ? 4

12 ? 12 C 1 5 -1 O S ?ABC ? ? 2 2 ? ? 5. 2 2

5 ? . 2

1 2

x

3.3.4 两条平行直线间的 距离

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

1. 怎样判断两条直线是否平行?

2.设l1//l2,如何求l1和l2间的距离? 1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线 的距离? 2) 如何取点,可使计算简单?

例1 已知直线 l : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 l : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 2 1 l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.

两平行线间的 距离处处相等

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例2. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为

d?

| c1 ? c2 | A ?B
2

2

例3 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。 解:设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等,列式为
x ? 3 ?0 ? 7 1 ? (? 3 )
2 2

?

12 x ? 5 ? 0 ? 40 12 2 ? (?5) 2

171 x ?1 或 x ? ? 37 171 ,0) 所以P点坐标为:(1,0) 或 ( ? 37

练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4,
求a的值. 2、求过点A(-1,2),且与原点的距离等于
2 2

的直线方程 .

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d ? Ax0 ? By0 ? C 2 2
A ?B

当A=0或B=0时,公式仍然成立. 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0

的距离是
d ?

C1 - C 2 A ?B
2 2



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