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求二次函数解析式的四种方法详解


求二次函数解析式的四种基本方法
二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的 解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式: 1、一般式:y=ax +bx+c (a≠0)。 2、顶点式:y=a(x-h) +k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为 x=h。 3、交点式:y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (a≠0),其中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式: y=a(x-x 1 )(x-x 2 )+m (a≠0)
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求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式: 1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离,通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1 、m)(x 2 、m),则设成: y=a(x-x 1 )(x-x 2 )+m ≠0),再将另一个坐标代入式子中,求出 a 的值,再化成一般形式即可。 探究问题,典例指津: 例 1、已知二次函数的图象经过点 (?1,?5), (0,?4) 和 (1,1) .求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式 y=ax +bx+c (a≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为 y=ax +bx+c (a≠0)
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(a

? a ? b ? c ? ?5 ? 依题意得: ?c ? ?4 ?a ? b ? c ? 1 ?
2

?a ? 2 ? 解这个方程组得: ?b ? 3 ?c ? ?4 ?

∴这个二次函数的解析式为 y=2x +3x-4。 例 2、已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点坐标为 (4,?1) ,与 y 轴交于点 (0,3) ,求这条抛物线 的解析式。
2 分 析 : 此 题 给 出 抛 物 线 y ? ax ? bx ? c 的 顶 点 坐 标 为 (4,?1) , 最 好 抛 开 题 目 给 出 的

y ? ax2 ? bx ? c ,重新设顶点式 y=a(x-h) 2 +k (a≠0),其中点(h,k)为顶点。
解:依题意,设这个二次函数的解析式为 y=a(x-4) -1 (a≠0) 又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。
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1 4 1 1 2 2 ∴这个二次函数的解析式为 y= (x-4) -1,即 y= x -2x+3。 4 4
∴a(0-4) -1=3
2

∴a=

例 3、如图,已知两点 A(-8,0) , (2,0) ,以 AB 为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点 C(0、4) 。 求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式。 分析:A、B 两点实际上是抛物线与 x 轴的交点,所以可设交点式 y=a(x-x 1 )(x-x) (a≠0), 其中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。 2 解:依题意,设这个二次函数的解析式为 y=a(x+8)(x-2)

例 4、 已知函数 y=x2+kx-3(k>0),图象的顶点为 C 并与 x 轴相交于两点 A、B 且 AB=4 (1)求实数 k 的值; (2)若 P 为上述抛物线上的一个动点(除点 C 外) ,求使 S△ABC=S△ABP 成立的 点 P 的坐标。

变式练习,创新发现 1、已知抛物线过 A(-2,0) 、B(1,0) 、C(0,2)三点。求这条抛物线的解析式。 ) 2、已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ,与 y 轴交于点 (0,5) ,求这条抛物线的解析式。
2、已知二次函数 y

? ax 2 ? bx ? c 的图象的顶点为(1, ? 2 ),且经过点(-2,0),求该二次函数的函数关系式。

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3、已知二次函数图象的对称轴是 x=-3,且函数有最大值为 2,图象与 x 轴的一个交点是(-1,0),求这个二次函数 的解析式。
2 4、已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则这个二次函数的关系式是________。

5、已知:抛物线在 x 轴上所截线段为 4,顶点坐标为(2,4),求这个函数的关系式
2 6、已知二次函数 y ? (m ? 1) x ? 2mx ? (3m ? 2) (m≠1) 的最大值是零,求此函数的解析式。

7. 已知某抛物线是由抛物线 y=x -x-2 经过平移而得到的, 且该抛物线经过点 A (1, 1) , B (2, 4) , 求其函数关系式。 9、已知四点 A(1,2),B(0,6),C(-2,20),D(-1,12),试问是否存在一个二次函数,使它的图象同时 经过这四个点?如果存在,请求出它的关系式;如果不存在,说明理由。 5、

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