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(四川 重庆版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题10 立体几何 理



四川,重庆版(第 03 期)-2014 届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题 10 立体几何
一.基础题组 1. 【四川省绵阳南山中学 2014 高三 12 月月考数学(理) 】已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图,则四棱 锥 P ? ABCD 的全面积为( A. 3 ? 5 ) C. 5 D. 4

B. 2 ? 5

/>2. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】某几何体的三视图如图所示,则其体积为 _______。

1

3. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】设 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同 的平面,下列命题中正确的是( ) B.若 m ? ? , m ? n, n ? ? ,则 ? ?

A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , 则 m ? n

?, m ? ?,

C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? , 则 ? ? ? , m ? ? D, .若 ? // ? , m ? , n ? ? , 则 m // n m? ?

对 C、D,从下面两图可以看出,不成立.
2

β

m α

n m α

n β

考点:空间直线与平面的位置关系. 4. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(二) (理) 】 下图是某几何体的三视图,则该几 何体的体积为( A. 1 ) B.

1 3

C.

1 2

D.

3 2

5. 【四川省绵阳市高 2014 届第二次诊断性考试数学(理) 】一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视 图是一个半圆内切于边长为 2 的正方形,则该机器零件的体积为( A.8+ ) D.8+

π 3

B.8+

2π 3

C.8+

8π 3

16π 3

3

6. 【四川省绵阳南山中学 2014 高三 12 月月考数学(理) 】已知 a、b、c 为三条不重合的直线,下面结论: ①若 a⊥b,a⊥c, 则 b∥c;②若 a⊥b,a⊥c 则 b⊥c;③若 a∥b,b⊥c, 则 a⊥c.其中正确的个数为( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 )

7. 【四川省绵阳南山中学 2014 高三 12 月月考数学(理) 】如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=

AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在
三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( A. 平面 ABD⊥平面 ABC C. 平面 ABC⊥平面 BDC ) B. 平面 ADC⊥平面 BDC D. 平面 ADC⊥平面 ABC

4

8.【四川省成都七中高 2014 届高三 “一诊” 模拟考试数学 (理) 】 平面四边形 ABCD 中, AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 , 且 AD ? AB ,现将 ?ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ?A BD ,则在 ?A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程
/ /

中,直线 A/ C 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为( A 1 【答案】C 【解析】 B

) D

1 2

C

3 3

3

试题分析:如下图, OA ? 1 , OC ? 2 .当 A?C 与圆相切时,直线 A/ C 与平面 BCD 所成角最大,最大角 为 30? ,其正切值为

3 .选 C. 3

考点:1、空间直线与平面所成的角;2、三角函数值. 9. 【四川省成都七中高 2014 届高三“一诊”模拟考试数学(理) 】已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为___________ cm
3

5

10. 【四川省成都七中高 2014 届高三“一诊”模拟考试数学(理) 】已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP) 的最小值为_____________;
2

考点:1、空间几何体;2、余弦定理.

11. 【四川省成都七中高 2014 届高三“一诊”模拟考试数学(理) 】已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,

AC1 与平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。给出以下命题,其中真命题有________(写出所有正确命题
的序号)

6

①点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点; ② ED1 ? ?

???? ?

? 1 ???? ? 2 ???? 1 ??? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3

③设 A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则直线 MN 与面 A1 DB 有一个交点; ④ E 为 ?A1 BD 的内心; ⑤设 K 为 ?B1CD1 的外心,则 【答案】①⑤ 【解析】 试题分析:对①,在对角面 ACC1 A1 中可看出点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点;正确.

VK ? BED 为定值. V A1 ? BFD

② ED1 ? EC1 ? C1D1 ?

???? ?

???? ? ?????

? ???? ???? ??? ? ? 2 ???? 2 ???? 2 ??? 1 ??? ( AB ? AD ? AA1 ) ? AB ? ? AB ? AD ? AA1 ;故错; 3 3 3 3

对③,取 DD1 中点为 R,则易证面 MNR ? 面 A1 BD .故错; ④ A1 E 为 ?A1 BD 的 BD 边的中线,故 E 为不一定为 ?A1 BD 的内心(实际上是重心).故错; ⑤设 K 为 ?B1CD1 的外心,则 考点:空间几何体.

VK ? BED VK ? EBD 1 ? ? ,为定值.正确. V A1 ? BFD VF ? A1BD 3

二.能力题组 1. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(二) (理) 】 (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC-
7

A1B1C1 中, AB=BC=CA=AA1=2, 侧棱 AA1⊥面 ABC, D、 E 分别是棱 A1B1、 AA1 的中点, 点 F 在棱 AB 上, 且 AF ? AB .
(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

1 4

试题解析: (I)证明:取 AB 的中点 M,

? AF ?

1 AB ,所以 F 为 AM 的中点,又因为 E 为 AA1 的中点,所以 EF ? A1M . 4

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,

? A1D ? BM ,且 A1 D ? BM ,
所以四边形 A1 DBM 为平行四边形, A1M ? BD ,

? EF ? BD ,又 BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ,
所以 EF ? 平面 BC1 D .

8

???? ???? ? ? ???? (II)以 AB 的中点 M 为原点,分别以 MB 、 MC 、 MD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角

坐标系如图所示,

则 B(1,0,0) , E (?1,0,1) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3, 2) , ??? ? ??? ? ???? ? ∴ BD ? (?1,0, 2) , BE ? (?2,0,1) , BC1 ? (?1, 3, 2) . 设面 BC1D 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BC1E 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ? ? ? m ? BD ? 0, ?? x1 ? 2 z1 ? 0, 则由 ? ???? 得? 取 m ? (2,0,1) , ? ? ?? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? m ? BC1 ? 0, ?
??? ? ? ? ? n ? BE ? 0, ??2 x2 ? z2 ? 0, 又由 ? ???? 得? 取 n ? (1, ? 3, 2) , ? ? ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0, ? n ? BC1 ? 0, ?

则 cos ? m, n ??

m?n 4 10 , ? ? | m || n | 5 5? 8

故二面角 E-BC1-D 的余弦值为
10 ..........................................................12 分 5 考点:1、空间直线与平面的位置关系;2、空间向量的应用;3、二面角.

2. 【成都石室中学 2014 届高三上期“一诊”模拟考试(一) (理) 】(本小题满分 12 分)已知直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 的三视图如图所示,且 D 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 ADC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (Ⅲ)试问线段 A1 B1 上是否存在点 E ,使 AE 与 DC1 成 60 明理由.
?

角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说

9

(Ⅱ)解:由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 ,故 BA, BC, BB1 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 B ? xyz .

?

10

考点:1、空间直线与平面平行;2、二面角;3、空间异面直线所成的角. 3. 【四川省眉山市高 2014 届第一次诊断性考试数学(理) 】(12 分)如图,正三棱柱 ABC-A'B'C'中,D 是

BC 的中点,AA'=AB=2.
(1)求证:A'C//平面 AB'D; (2)求二面角 D 一 AB'一 B 的余弦值。

11

试题解析: (1) A?B 交 AB? 于 O ,连接 OD ,在 A?BC 中, OD / / A?C , OD ? AB?D ,

A?C ? AB?D ,所以 A?C / / AB?D .

??? ??? ??? ??? ??? 5 分

(2)因为平面 AA?B?B ? 平面 ABC ,过 D 作 FD ? AB 于 F ,作 FE ? AB? 于 E ,连结 DE ,则 ?DEF 为二面角 D ? AB? ? B 的平面角.

??? 6 分

12

? EF ?

3 2 AD ? DB ' 3? 5 30 , DE ? ? ? 4 AB' 4 2 2
EF 15 ? ED 5 . 5

cos ?DEF ?

??? 11 分
??? ??? 12 分

故二面角 D ? AB? ? B 的余弦值为 15 . 考点:1、直线与平面平行的判定;2、二面角.

4. 【四川省绵阳市高 2014 届第二次诊断性考试数学(理) 】已知 l,m,n 是三条不同的直线,α ,β 是 不同的平面,则 α ⊥β 的一个充分条件是( A.l ? α ,m ? β ,且 l⊥m C.m ? α ,n ? β ,m//n,且 l⊥m 【答案】D 【解析】 试题分析:对 A.l ? α ,m ? β ,且 l⊥m 且 l⊥m, ,如下图,α 、β 不垂直;对 B.l ? α ,m ? β ,n ? β , ) B.l ? α ,m ? β ,n ? β ,且 l⊥m,l⊥n D.l ? α ,l//m,且 m⊥β

l⊥n,如下图,α 、β 不垂直;

对 C.m ? α ,n ? β ,m//n,且 l⊥m,直线 l 没有确定,则 α 、β 的关系也不能确定;对 D.l ? α ,

l//m,且 m⊥β ,则必有 l⊥β ,根据面面垂直的判定定理知,α ⊥β .
13

考点:空间直线与平面的位置关系. 5. 【四川省绵阳市高 2014 届第二次诊断性考试数学(理) 】 (本题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,

1 AD//BC,∠ADC=90?,AE⊥平面 ABCD,EF//CD, BC=CD=AE=EF= AD =1. 2
(Ⅰ)求证:CE//平面 ABF; (Ⅱ)求证:BE⊥AF; (Ⅲ)在直线 BC 上是否存在点 M,使二面角 E-MD-A 的大小为 请说明理由.

π ?若存在,求出 CM 的长;若不存在, 6

试题解析: (I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥EF,连结 EG 交 AF 于 H,连结 BH,BG,

14

∵ EF∥CD 且 EF=CD, ∴ AG∥CD, 即点 G 在平面 ABCD 内. 由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥AG, ∴ 四边形 AEFG 为正方形,

CDAG 为平行四边形, ???????????????????? 2 分
∴ H 为 EG 的中点,B 为 CG 中点, ∴ BH∥CE, ∴ CE∥面 ABF.???????????????????????? 4 分

??? ? ???? ? 2, ? 1) , DM ? (1,y0 ? 2,0) , ∴ ED ? (0 ,
设面 EMD 的一个法向量 n ? ( x,y, z) ,

15

考点:1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角. 6. 【四川省绵阳南山中学 2014 高三 12 月月考数学(理) 】(本题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB =BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (I)求证:EF∥平面 BDC1; (II)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

1 AB . 4

【答案】 (I)详见解析; (II)二面角 E-BC1-D 的余弦值为 【解析】

10 . 5

试题分析: (I)由于 EF 与 BD 在同一个平面内,显然考虑在 ABB1A1 这个平面内证明这两条直线平行,这完 全就是平面几何的问题了.取 AB 的中点 M,? AF ?

1 AB ,所以 F 为 AM 的中点,又因为 E 为 AA1 的中 4
16

点,所以 EF ? A1M .又 D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,? A1 D ? BM ,且 A1 D ? BM ,所以四边形

A1 DBM 为平行四边形, A1M ? BD ,? EF ? BD ,由此可得 EF ? 平面 BC1 D .
(II)取 AB 的中点 M,则 MB、MC、MD 两两垂直,所以可以以 M 为原点建立空间直角坐标系,利用空 间向量求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

???? ???? ? ? ???? (II)以 AB 的中点 M 为原点,分别以 MB 、 MC 、 MD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角

坐标系如图所示,

则 B(1,0,0) , E (?1,0,1) , D(0,0, 2) , C1 (0, 3, 2) , ??? ? ??? ? ???? ? ∴ BD ? (?1,0, 2) , BE ? (?2,0,1) , BC1 ? (?1, 3, 2) . 设面 BC1D 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BC1E 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ? m ? BD ? 0, ? ? ?? x1 ? 2 z1 ? 0, 则由 ? ???? 得? 取 m ? (2,0,1) , ? ? ?? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0, ? m ? BC1 ? 0, ?
17

??? ? ? ? ? n ? BE ? 0, ??2 x2 ? z2 ? 0, 又由 ? ???? 得? 取 n ? (1, ? 3, 2) , ? ? ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0, ? n ? BC1 ? 0, ?

则 cos ? m, n ??

m?n 4 10 , ? ? | m || n | 5 5? 8

故二面角 E-BC1-D 的余弦值为
10 ..........................................................12 分 5

考点:1、空间直线与平面的位置关系;2、空间向量的应用;3、二面角. 7. 【四川省成都七中高 2014 届高三“一诊”模拟考试数学(理) 】如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD

1 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为 G , G 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC , GB ? GC ? 2 , 3
E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 的体积为

8 . 3

(1)求二面角 P ? BC ? D 的正切值; (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 600 ,若存在,确定点 F 的位置, 若不存在,说明理由.

? GB, GC , GP 两两垂直,故可分别以 GB, GC , GP 为 x, y, z 轴建立坐标系.
假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2) ? D( ?

3 3 , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2

然后用向量的夹角公式求 y,如果能求出满足条件的 y 则存在,若不能求出满足条件的 y,则不存在.

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