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2014福建高考文科数学第二轮专题复习专题13 圆锥曲线的定义、性质、方程(教师版)



专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程 ★★★高考在考什么【考题回放】 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 点在 BC 边上,则△ABC 的周长是(C ) (A)2 3 (B)6
2 2

x2 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦 3
(C)4 3 (D)12

2.已知双曲线 5 (A

) 3

x y 4 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y=3x,则双曲线的离心率为(A) 2 a b
4 (B) 3 5 (C) 4 3 (D) 2

3.如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为 y ? 准线间的距离是( C ) A. 6 3 B. 4 C. 2 D. 1 2 4.抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B) (A)

2 x ,那么它的两条

17 16

(B)

15 16

(C)

7 8

(D)0

5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准 方程是
2 x 2 ? y ?1 16 4



x2 y 2 6.如图,F 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x a b 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形,|PF|=?|OF|。
(Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与?的关系式; (Ⅱ)当?=1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若|AB|=12,求此时的双曲线 方程。 y 【专家解答】 ∵四边形 OFPM 是? ,∴ | OF |?| PM |? c ,

a2 作双曲线的右准线交 PM 于 H,则 | PM |?| PH | ?2 , c 2 2 | PF | ? | OF | ?c ?e 又e ? , ? ? 2 ? 2 2 2 a | PH | c ? 2a e ?2 c?2 c e2 ? ? e ? 2 ? 0 。
(Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b 2 ? 3a 2 ,双曲线为

M O

H

P x F

x2 y2 ? 2 ? 1 四边形 OFPM 是菱形,所 4a 2 3a 以 直 线 OP 的 斜 率 为 3 , 则 直 线 AB 的 方 程 为 y ? 3( x ? 2a) , 代 入 到 双 曲 线 方 程 得 : 9 x2 ? 48ax ? 60a 2 ? 0 ,
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:12 ? 2 (

48a 2 60a 2 9 ) ?4 ,解得 a 2 ? ,则 9 9 4

b2 ?

x2 y2 27 ? ? 1 为所求。 ,所以 9 27 4 4

★★★高考要考什么【考点透视】椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程,简单的几何性质,椭圆

《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 1 页(共 8 页)

的参数方程。 【热点透析】主要题型:(1)定义及简单几何性质的灵活运用; (2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)。 题型一般为二小一大,小题基础灵活,解答题一般在中等难度以上,一般具有较高的区分度。 ★★★突破重难点 【范例 1】过椭圆左焦点 F,倾斜角为 60?的直线交椭圆于 A、B 两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率 为( B )(A)

2 3

(B)

2 3

(C)

1 2

(D)

2 2

解:设点 A、B 到椭圆左准线的距离分别为 d1,d2,|FA|=r1,|FB|=r2,

r1 2r2 2r r r =e,即 d1= 2 ,同理 d2= 2 ,两式相减得 2 ? d1 ? d 2 . ? d1 d1 e e e 2 因为直线 AB 的倾斜角为 60?, ? 2|d1-d2|=|AB|=3r2,e= 3
则 【点晴】 本题关键在于利用椭圆的第二定义将 60?倾斜角、 |FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系。 【文】若 F1、F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线的左支上,点 M a 2 b2
OF1 OF 1 ? OM OM ) (? ? 0) ,则该双曲线的离心率为
D.3
OF1 OF 1

在双曲线的右准线上,且满足: F1O ? PM , OP ? ? ( ( )A. 2 B. 3

C. 2
? OM OM

解:由 F1O ? PM 知四边形 F1OMP 是平行四边形,又 OP ? ? (

)

知 OP 平分∠F1OM,即 F1OMP 是菱形,设|OF1|=c,则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a,

2a ? c 2 由双曲线的第二定义知 e ? ? ? 1 ,且 e>1,∴e=2,故选 C. c e

∴|PF2|=2a+c,

【范例 2】定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,x22),又设 AB 中点为 M(x0,y0)用弦长公式 及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0) 2 ?( x1 ? x2 ) 2 ? ( x12 ? x2 ) 2 ? 9 ① 则 ?x ? x ? 2x ② ? 1 2 0 ? 2 2 ③ ? x1 ? x2 ? 2 y 0 2 2 由①得(x1-x2) [1+(x1+x2) ]=9, 即[(x1+x2)2-4x1x2]· [1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]· [1+(2x0)2]=9 ∴ 4 y 0 ? 4 x0 ?
2

9 9 9 5 2 2 ? (4 x0 ? 1) ? 2 ? 1 ≥ 2 9 ? 1 ? 5, y 0 ? , 4 y0 ? 4 x0 ? 2 2 4 x0 ? 1 4 x0 ? 1 4 1 ? 4 x0
y M A A1 A2 0 M1 M2 B1 B2 x B

2 2 5 5 , ) 时, ( y 0 ) min ? 此时 M (? 2 2 4 4 法 2:如图 2 MM 2 ? AA2 ? BB2 ? AF ? BF ? AB ? 3
当 4x02+1=3 即 x 0 ? ?

3 1 3 ∴ MM 2 ? , 即 MM 1 ? ? , 2 4 2 5 ∴ MM 1 ? , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 4

《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 2 页(共 8 页)

∴M 到 x 轴的最短距离为

5 4

【点晴】解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而 不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离, 再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角 形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F, 而且点 M 的坐标也不能直接得出。 请思考: 当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二?

x2 y 2 4 【文】北京卷) ( 椭圆 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点 F1、 2, P 在椭圆 C 上, PF1⊥PF2,PF1|= , F 点 且 | a b 3 14 | PF2|= .(I)求椭圆 C 的方程;(II)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、 3
B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ?

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

从而 b2=a2-c2=4, 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4
从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). 2 由圆的方程为 (x+2)+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为 (-2, . 1) 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以直线 l 的方程为 y ?

x1 ? x2 18k 2 ? 9k 所以 ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
即 8x-9y+25=0.

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

(经检验,符合题意)

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ① ? 1 ? 1, 9 4 2 2 x2 y ② ? 2 ? 1, 9 4 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 由①-②得 ③ 9 4
因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

2

2

y1 ? y 2 8 8 8 = , 即直线 l 的斜率为 , 所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2) 即 8x-9y+25=0. , x1 ? x 2 9 9 9
??? ? ????

(经检验,所求直线方程符合题意.) 【范例 3】如图 1,已知 A、B、C 是长轴为 4 的椭圆上三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆中 心 O,且 AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC 。 (1)建立适当的坐标系,求椭圆方程; (2)如果椭圆上两点 P、Q 使直线 CP、CQ 与 x 轴围 成底边在 x 轴上的等腰三角形, 是否总存在实数? 使 PQ ? ? AB ?请给出证明。 解:(1)以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建立如 图直角坐标系,则 A(2,0),椭圆方程可设为

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

图1

《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 3 页(共 8 页)

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2) 。而 O 为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB| 4 b2 ??? ? ???? ??? ??? ? ? 又 AC ? BC ? 0 ,所以 AC⊥BC 又 BC ? 2 AC ,所以|OC|=|AC|,
所以△AOC 为等腰直角三角形,所以点 C 坐标为(1,1)。将(1,1)代入椭圆方程得 b2 ? 椭圆方程为

4 ,则 3

x2 3 y 2 ? ?1。 4 4

(2)由直线 CP、CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形,设直线 CP 的斜率为 k,则直线 CQ 的 斜率为-k,直线 CP 的方程为 y=k(x-1),直线 CQ 的方程为 y=-k(x-1)。由椭圆方程与直线 CP 的方程联立, 消去 y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0① 因为 C(1,1)在椭圆上,所以 x=1 是方程①的一个根,于是

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 同理 xQ ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 yP ? yQ 1 1 ? , 又 B(-1,-1),所以 k AB ? , 这样, k PQ ? xP ? xQ 3 3 ??? ? ??? ? 即 kAB=kPQ。所以 PQ∥AB,存在实数?使 PQ ? ? AB 。 xP ?
【点晴】利用斜率互为相反数关系,整体替换,可简化解题过程。 【文】(06 上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨 100 25 64 ? ? 迹 是 以 y 轴 为 对 称 轴 、 M ? 0, ? 为 顶 点 的 抛 物 线 的 实 线 部 分 , 降 落 点 为 D( 8, 0 ) . 观 测 点 7 ? ? A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发 出变轨指令? 64 64 1 解:(1)设曲线方程为 y ? ax 2 ? , 由题意可知, 0 ? a ? 64 ? . ? a?? . 7 7 7 1 2 64 ? 曲线方程为 y ? ? x ? . 7 7 (2)设变轨点为 C ( x, y ) ,根据题意可知
(按顺时针方向)的轨迹方程为

? x2 y2 ? ? ?100 25 ? 1, ? ? y ? ? 1 x 2 ? 64 , ? 7 7 ?
得 4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 ,

(1) (2)

9 y ? 4 或 y ? ? (不合题意,舍去). 4 ? y ? 4.
得 x ? 6 或 x ? ?6 (不合题意,舍去).

?

C 点的坐标为 ( 6, 4 ) , | AC |? 2 5 , | BC |? 4 .

答:当观测点 A、B 测得 AC、BC 距离分别为 2 5、 4 时,应向航天器发出指令. 【范例 4】过抛物线 x2=4y 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点,

PA ? PB ? 0. (1)求点 P 的轨迹方程;
(2)已知点 F(0,1),是否存在实数?使得 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0 ?若存在,求出?的值,若不存 在,请说明理由。
2

《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 4 页(共 8 页)

x12 x2 x ), B( x2 , 2 ), ( x1 ? x2 ) 由 x 2 ? 4 y, 得: y ' ? 4 4 2 ? PA ? PB ? 0,? PA ? PB,? x1 x2 ? ?4
解法 (一) (1) A( x1 , : 设 直线 PA 的方程是 y ?

? k PA ?

x1 x , k PB ? 2 2 2

x12 x1 x x x2 ① ? ( x ? x1 ) 即 y ? 1 ? 1 4 2 2 4 x x x2 同理,直线 PB 的方程是: y ? 2 ? 2 ② 2 4 x1 ? x2 ? ? x? 2 由①②得: ? ( x1 , x2 ? R) ∴点 P 的轨迹方程是 y ? ?1( x ? R). xx ? y ? 1 2 ? ?1, 4 ? x2 x2 x ? x2 (2)由(1)得: FA ? ( x1 , 1 ? 1), FB ? ( x2 , 2 ? 1), P( 1 ,?1) 4 4 2 2 x ? x2 x2 x2 x 2 ? x2 FP ? ( 1 ,?2), x1 x 2 ? ?4 , FA ? FB ? x1 x2 ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? 1 4 4 4 2 2 2 2 (x ? x ) x ? x2 ( FP) 2 ? 1 2 ? 4 ? 1 ? 2 ,所以 FA ? FB ? ( FP) 2 ? 0 4 4 2 故存在?=1 使得 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0
解法(二):(1)∵直线 PA、PB 与抛物线相切,且 PA ? PB ? 0, ∴直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0,且 PA ? PB, 设 PA 的直线方程是 y ? kx ? m(k , m ? R, k ? 0) 由?

? y ? k x? m 2 得: x ? 4kx ? 4m ? 0 x2 ? 4 y ?

? ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 即 m ? ?k 2 即直线 PA 的方程是: y ? kx ? k 2 1 1 同理可得直线 PB 的方程是: y ? ? x ? 2 k k 2 1 ? y ? kx ? k ? ? ?x ? k ? ? R 由? 1 1 得: ? k ?y ? ? k x ? k2 ? y ? ?1 ? ? 故点 P 的轨迹方程是 y ? ?1( x ? R). 2 1 1 2 (2)由(1)得: A(2k , k ), B(? , 2 ), P(k ? ,?1) k k k 2 1 1 FA ? (2k , k 2 ? 1), FB ? (? , 2 ? 1) , FP ? (k ? ,?2) k k k 1 1 1 1 FA ? FB ? ?4 ? (k 2 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? (k 2 ? 2 ) ( FP) 2 ? ( ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? (k 2 ? 2 ) k k k k 2 故存在?=1 使得 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0
【点晴】抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点。解法一、解法二是解决抛物线切 线问题的常用方法,应熟练掌握。 【文】已知△ABC 的两顶点 A、B 分别是双曲线 2x2-2y2=1 的左、右焦点, 且 sinC 是 sinA、sinB 的等 差中项. (Ⅰ)求顶点 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)设 P(-2,0), 过点 E ? , 作直线 l 交轨迹 T 于 M、N 两点,问∠MPN 的大小是否为定值?证 ( 0) 明你的结论.
《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 5 页(共 8 页)

2 7

解:(Ⅰ) 由条件知 A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 ),且 sinA + sinB = 2sinC∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4 ∴点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长 2a = 4 的椭圆(不包括 x 轴上两点). x2 y2 ∴点 C 的轨迹 T 的方程是 =1 (x≠±2) ? 4 3 2 12 x2 y2 2 (Ⅱ) 当 l⊥x 轴时,直线 l 的方程为 x = ? ,代入 =1 解得 M、N 的坐标为( ? , ? ),而 ? 4 3 7 7 7 |PE| =
12 ,∴∠MPN = 90° ,猜测∠MPN= 90° 为定值. 7 2 证明:设直线 l 的方程为 my = x + , 7 2 x = my ? 12 576 2 7 由 ,得 (3m + 4) y2 ? my ? =0 2 2 7 49 3x + 4y = 12 12m 576 ∴y1 + y2 = ,y1 y2 = ? 2 49(3m 2 ? 4) 7(3m ? 4)

∴ PM? PN = (x1 + 2 , y1)· 2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2 (x 12 12 12 144 = (my1 + ) (my2 + ) + y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 + m (y1 + y2) + 7 7 7 49 ?576 12m 12 144 =(m2 +1) ? + m? + = 0∴∠MPN = 90° ,为定值. 49(3m2 ? 4) 7 7(3m 2 ? 4) 49 ★★★自我提升 1. 若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为( C ) A.

3 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 4

2. 双曲线的虚轴长为4,离心率 e ?

6 ,F1、F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线与双曲线的左 2

支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A). A、 8 2 B、 4 2 C、 2 2 D、8 3. F1、F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线,垂足为P, 则P点轨迹为(A).A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

x2 y2 4.双曲线 2 ? 2 ? 1 的左支上一点P,⊙O'为ΔPF1F2的内切圆,则圆心O'的横坐标为(B). a b c?a a?c A、a B、-a C、 D、 2 2 | x| | y| 5. 已知点 F1(-4,0),F2(4,0), 又 P(x,y)是曲线 ? ? 1 上的点, 则 (C) 5 3
A. |PF1|+|PF2|=10 B. |PF1|+|PF2|<10 C. |PF1|+|PF2|?10 D. |PF1|+|PF2|?10 x 2 y2 6. F1、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的两焦点,过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三角形 ABF2,其 a b 中∠BAF2=900,则椭圆的离心率是________ 6 ? 3 7.已知椭圆 E 的离心率为 e,左、右焦点为 F1、F2,抛物线 C 以 F2 为焦点,F1 为其顶点,若 P 为两 曲线的公共点,且 e|PF2|=|PF1|,则 e=__________。

3 3

8.已知⊙O:x2+y2=4,一动抛物线过 A(-1,0)、B(1,0)两点,且以圆的切线为准线,则动抛 物线的焦点 F 的轨迹方程为____

x2 y2 ? ? 1,y≠ 0 4 3

9.如图,已知三点 A(-7, 0),B(7,0),C(2,-12).
《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 6 页(共 8 页)

① 若椭圆过 A、B 两点,且 C 为其一焦点, 求另一焦点 P 的轨迹方程; ② 若双曲线的两支分别过 A、B 两点,且 C 为其一 焦点,求另一焦点 Q 的轨迹方程。 解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|, 即 | PB|?| PA| ?| AC|?| BC| ? 2 ?| AB| ? 14 故 P 的轨迹为 A (-7, 、(7, 为焦点实轴长为 2 的双曲线的一支, 0) B 0) 其方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 0) ; 48

② 经讨论知,无论 A 在双曲线的哪一支上, 总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14

x2 y2 故点 Q 的轨迹为以 A(-7,0)、B(7,0)为焦点长轴长为 28 的椭圆,其方程为 ? ? 1。 196 147 x2 y2 10.已知椭圆 ? ? 1(2 ? m ? 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变 m m ?1
于 A、B、C、D,设 f(m)=||AB|-|CD||,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。

x2 y2 ? ? 1 中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 F1(-1,0) 解:(1)椭圆 m m ?1
则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

y C F1 0 F2

D

2m (2 ? m ? 5) 2m ? 1

A

B

x

f (m) ? AB ? CD ? 2 ( xB ? x A ) ? ( xD ? xC ) ? 2 ( x1 ? x2 ) ? ( x A ? xD ) ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? 2m 2m ? 1
( 2 )

f (m) ? 2

2m ? 1 ? 1 1 ? 2 (1 ? ) 2m ? 1 2m ? 1 10 2 4 2 ∴当 m=5 时, f ( m) min ? 当 m=2 时, f (m) max ? 9 3 2 2 x y 11.如图,A 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的一个动点,弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2.当 AC a b
y

垂直于 x 轴 时,恰好|AF1|:|AF2=3:1 (I)求该椭圆的离心率; (II)设 AF1 ? ?1 F1 B , AF2 ? ? 2 F2 C , 试判断?????是否为定值?若是,则求出该定 值;若不是,请说明理由. 解:(I)当 A C 垂直于 x 轴时,

A

AF1 : AF2 ? 3 :1 由 AF1 ? AF2 ? 2a ,


3a a 得 AF1 ? , AF2 ? 2 2 2 2 2 在 Rt△ AF1 F2 中, AF1 ? AF2 ? (2c)

F1 B

O

F2 C

x

《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 7 页(共 8 页)

解得 e =

2 . 2
b 2 ,则 ? a 2

a2 ? c2 2 ? 1 ? e2 ? ,b ? c . a 2 x2 y2 2 2 2 0) 0) 焦点坐标为 F1 (?b, ,F2 (b, ,则椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,化简有 x ? 2 y ? 2b . 2b b 设 A( x0,y0 ) , B( x1,y1 ),C ( x2,y2 ) ,
(II)由 e = ①若直线 AC 的斜率存在,则直线 AC 方程为 y ?
2 2

y0 ( x ? b) x0 ? b
2 2

代入椭圆方程有 (3b ? 2bx0 ) y ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b y 0 ? 0 . 由韦达定理得: y 0 y 2 ? ? 所以 ? 2 ? 故?????=

b 2 y0 b 2 y0 ,∴ y 2 ? ? 2 3b 2 ? 2bx0 3b ? 2bx0

2

AF2 F2 C

?

? 3b ? 2 x 0 3b ? 2 x 0 y0 3b ? 2 x 0 ? ,同理可得 ?1 ? ? ? y2 b ?b b

6b ? 6. b

②若直线 AC ? x 轴, x0 ? b , ?2 ? 1 , ?1 ? 综上所述:?????是定值 6.

3b ? 2b ? 5 ∴?????=6. b

《专题 13 圆锥曲线的定义、性质和方程》第 8 页(共 8 页)



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