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高考数学一轮复习-两角和与差、二倍角公式



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姓名 学科 课题名称 数学

学生姓名 年级 高三 课时计划

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两角和与差公式、二倍角公式复习 同步教学知识内容

教学目标 个性化学

习问题解决 教学重点 教学难点 教师活动

第5讲
【2016 年高考会这样考】

两角和与差的正弦、余弦和正切

1.考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求 值. 2.利用三角公式考查角的变换、角的范围. 【复习指导】 本讲复习应牢记和、 差角公式及二倍角公式, 准确把握公式的特征, 活用公式(正用、 逆用、 变形用、创造条件用);同时要掌握好三角恒等变换的技巧,如变换角的技巧、变换函数名 称的技巧等.
教学过程

基础梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; (5)T(α+β):tan(α+β)= (6)T(α-β):tan(α-β)= tan α+tan β ; 1-tan αtan β tan α-tan β . 1+tan αtan β

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2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)T2α:tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β); (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = ; 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 4. 函数 f(α)=acos α+bsin α(a, b 为常数), 可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2 cos(α-φ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定.

两个技巧 α+β α-β α-β ? β? (1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β= 2 - 2 ; 2 =?α+2?- ? ? ?α ? ?2+β?. ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂 与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法 通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与 平方”等.

双基自测
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1 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为4的是( π A.2cos2 12-1 2tan 22.5° C. 1-tan222.5° 解析 B.1-2sin275°

).

D.sin 15° cos 15°

π π 3 3 2tan 22.5° 2cos212-1=cos6= 2 ;1-2sin275° =cos 150° =- 2 ; = 1-tan222.5°

1 1 tan 45° =1;sin 15° cos 15° =2sin 30° =4. 答案 D sin 2α 2.(2011· 福建)若 tan α=3,则 cos2α 的值等于( A.2 B.3 C.4 D.6 ).

sin 2α 2sin αcos α 解析 cos2 α= cos2 α =2tan a=2×3=6,故选 D. 答案 D 2 3.已知 sin α=3,则 cos(π-2α)等于( 5 A.- 3 1 B.-9 1 C.9 ). 5 D. 3

4 1 解析 cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×9-1=-9. 答案 B ?π ? 1 4.(2011· 辽宁)设 sin?4+θ?=3,则 sin 2θ=( ? ? 7 A.-9 1 B.-9 1 C.9 7 D.9 ).

7 ?π ? ?π ? ?1? 解析 sin 2θ=-cos?2+2θ?=2sin2?4+θ?-1=2×?3?2-1=- . 9 ? ? ? ? ? ? 答案 A

5.tan 20° +tan 40° + 3tan 20°tan 40° =________. 解析 ∵tan 60° =tan(20° +40° )= tan 20° +tan 40° , 1-tan 20° tan 40°

∴tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° tan 40° )= 3- 3tan 20° · tan 40° ,∴原式= 3- 3 tan 20° tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3.
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答案

3

考向一 1 2cos4x-2cos2x+2

三角函数式的化简

【例 1】?化简

. ?π ? 2?π ? 2tan?4-x?sin ?4+x? ? ? ? ?

[审题视点] 切化弦,合理使用倍角公式. 1 -2sin2xcos2x+2 ?π ? ?π ? 2sin?4-x?cos2?4-x? ? ? ? ? π ? ? cos?4-x? ? ?

解 原式=

1 1 2 2 2?1-sin 2x? 2cos 2x 1 = = = cos 2x. ?π ? ?π ? ?π ? 2 2sin?4-x?cos?4-x? sin?2-2x? ? ? ? ? ? ? 三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特 征”,分析结构特征,找到变形的方向.

【训练 1】 化简:

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? . sin 2α

α α α?? α α α? ? ?2sin2cos2-2sin22??2sin2cos2+2sin22? ? ?? ? 解 原式= α α 4sin 2cos 2cos α α?? α α? α ? α ?cos2-sin 2??cos2+sin2?sin ? ?? ? 2 = α cos2cos α

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α? α α ? 2α ?cos 2-sin22?sin cos α sin 2 ? ? 2 α = = = tan α α 2. cos2cos α cos 2cos α 考向二 三角函数式的求值

β? π 1 ? ?α ? 2 【例 2】?已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? α+β ? β? ?α ? [审题视点] 拆分角: 2 =?α-2?-?2-β?,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦. ? ? ? ? π 解 ∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, ?α ? ∴cos?2-β?= ? ? β? ? sin?α-2?= ? ? 5 ?α ? 1-sin2?2-β?= 3 , ? ? β? 4 5 ? 1-cos2?α-2?= 9 , ? ?

α+β β? ?α ?? ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? β? ? α ? β? ?α ? ? ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2× 729 -1=-729. 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系. π? 4 1 ? 【训练 2】 已知 α,β∈?0,2?,sin α=5,tan(α-β)=-3,求 cos β 的值. ? ? π? π π ? 解 ∵α,β∈?0,2?,∴-2<α-β<2, ? ? 1 π 又∵tan(α-β)=-3<0,∴-2<α-β<0. 1 10 ∴ 2 =1+tan2(α-β)= 9 . cos ?α-β? 3 10 10 cos(α-β)= 10 ,sin(α-β)=- 10 .

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4 3 又∵sin α=5,∴cos α=5. ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 3 10 4 ? 10 10? ?= =5× 10 +5×?- . 10 10 ? ?

考向三

三角函数的求角问题

1 13 π 【例 3】?已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 [审题视点] 由 cos β=cos[α-(α-β)]解决. π π 13 解 ∵0<β<α<2,∴0<α-β<2.又∵cos(α-β)=14, 1 π ∵cos α=7,β<α<2, 4 3 ∴sin α= 1-cos2α= 7 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π ∵0<β< .∴β= . 2 3 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切 π? ? 函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?, ? ? ? π π? 选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为 ?-2,2?,选正弦较 ? ? 好. ? π π? 【训练 3】 已知 α,β∈?-2,2?,且 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两个根,求 α ? ?
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+β 的值. 解 由根与系数的关系得:tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4, ∴tan α<0,tan β<0,-π<α+β<0. 又 tan(α+β)= tan α+tan β -3 3 = = 3. 1-tan αtan β 1-4

2π ∴α+β=- 3 . 考向四 三角函数的综合应用

【例 4】?(2010· 北京)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2x. ?π? (1)求 f?3?的值; ? ? (2)求 f(x)的最大值和最小值. [审题视点] 先化简函数 y=f(x),再利用三角函数的性质求解. 2π π ?π? 解 (1)f?3?=2cos 3 +sin23 ? ? 3 1 =-1+4=-4. (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x) =3cos2x-1,x∈R. ∵cos x∈[-1,1], ∴当 cos x=± 1 时,f(x)取最大值 2; 当 cos x=0 时,f(x)取最小值-1. 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研 究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再 进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. 【训练 4】 已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ? 解:f(x)=2sin xcos x=sin 2x 2π (1)f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π (2)∵-6≤x≤2,

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π ∴-3≤2x≤π. 3 ∴- 2 ≤sin 2x≤1. 3 ∴f(x)的最大值为 1,最小值为- 2 .

难点突破 10——三角函数求值、求角问题策略 面对有关三角函数的求值、化简和证明,许多考生一筹莫展,而三角恒等变换更是三角函 数的求值、求角问题中的难点和重点,其难点在于:其一,如何牢固记忆众多公式,其二, 如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法. 一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变 角”,如 α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时 要注意角的范围的讨论. tan x ? π? 【示例】? (2011· 江苏)已知 tan ?x+4?=2,则tan 2x的值为________. ? ?

二、给值求角 “给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式 子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 1 1 【示例】? (2011· 南昌月考)已知 tan(α-β)=2,tan β=-7,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的 值.

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▲三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常在选择题 中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中,并且 成为高考的一个新考查方向. 【示例】? (2011· 温州一模)已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈ π? ? ?0,2?. ? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ<2,求 cos φ 的值.

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.
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一、选择题 1.计算 sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( 1 A. 2 2.若 cos 3 2 1 B. 3 3 C. 2 2 ) D. 3 2 )

? =-2,sin ? =-
B.- D.0 3 2

3 π 3π ,? ∈( ,π ), ? ∈( ,2π ),则 sin( ? +β )的值是( 2 2 2

A.

C.-1

3.已知 a =(2sin 35°,2cos 35°),b =(cos 5°,-sin 5°),则 a·b=( 1 A. 2 B.1 C.2 D.2sin 40°

)

π 10 4. 在△ABC 中,A= ,cos B= ,则 sin C=( 4 10 A.- 5 5 B. 5 5 2 5 C.- 5 2 5 D. 5

)

cos 2 x f ( x) ? π cos x sin x ? sin 2 x 的最小值是( 5.x∈?0, ?,函数 ? 2?
课后作业
A.3



1 B. 2

C .2

1 D. 4
)

6.函数 f (x)=sin x-cos x,x∈?0,

?

π? 的最小值为( 2?

A.-2 C.- 2

B.- 3 D.-1

7. 已知向量 a =(2,-2) ,b =(cos ? ,sin ? ) ,a∥b ,则 ? 的大小为( A. π 4 B.- π 4




π C. ? = +kπ (k∈Z) D. ? = 4 +kπ (k∈Z) 4

1 8. 已知向量 a=(1,1-cos ? ), b =(1+cos ? , 2 ),且 a∥b,则锐角 ? 等于(
A.30° B.45° C.60° D.75°



二、填空题

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9.化简:cos(

π π + ? )+sin( + ? )=________. 3 6

2 10.等腰三角形顶角的余弦值为 ,那么这个三角形一底角的余弦值为________. 3 11.函数

y ? sin x ? 3 cos x 在区间?0,π ?上的最小值为 ? 2?



12 .给出下列命题:①存在实数 x ,使

sin x ? cos x ?

3 2 ;②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则

2 π y ? sin( x ? ) cos ? ? cos ? ;③函数 3 2 是偶函数;④函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移π 个单位,得到函
4

π y ? sin(2 x ? ) 4 的图象.其中正确命题的序号是____________. 数

三、解答题 3 4 13. (17 分)已知 ? 为锐角,sin ? = , ? 是第四象限角,cos(π + ? )=- .求 sin( ? + ? )的值. 5 5

3 5 π 3 π 3 14. (17 分)若 sin( π + ? )= ,cos( - ? )= ,且 0< ? < < ? < π ,求 cos( ? + ? )的值. 4 13 4 5 4 4

[来源:学科网]

15. (18 分)已知

5π 11π 4 <? < ,sin 2 ? =- ,求 tan 2 4 5

?.

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16.(17 分)已知函数 f(x)=sin(x+ ? )+cos(x- ? )的定义域为 R. (1)当 ? =0 时,求 f(x)的单调递增区间;

(2)若 ? ∈(0,π ),且 sin x≠0,当 ? 为何值时,f(x)是偶函数?

[来源:Zxxk.Com]

17.(17 分)已知 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x+a,a∈R. (1)若 f(x)有最大值为 2,求实数 a 的值;

[来源:学科网 ZXXK]

(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

18.(18 分)已知函数 f(x)=sin( ? +x)+sin( ? -x)-2sin ? , ? ∈(0 , 意 x∈R,都有 f(x)≥0 成立,求 cos ? 的值.

3π 3 ),且 tan2 ? = ? ,若对任 2 4

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本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 □ _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ ________________________________ 课后记

提 前 完 成 □

延 后 完 成 □ 不 能 接 受 □ 不 积 极 □

部 分 能 接 受 □ 一 般 □

比 较 积 极 □

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

注 备
提交时间 教研组长审批 家长签名

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