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浦东新区2017学年第一学期高三数学期中质量检测试卷


浦东新区 2017 学年第一学期高三数学期中质量检测试卷
(满分:150 分 答题时间:120 分钟)
一、 填空题 (本大题共有 12 道小题, 请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方, 其中 1--6 每小题 4 分,7—12 每小题 5 分,共 54 分).

? 2? ,则此幂函数的解析式为__________. ? 2 ? ? ? ? 2.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? __________. x 3. 设 f ?1 ? x ? 为函数 f ? x ? ? 的反函数,则 f ?1 ? 2 ? ? __________. 2x ?1 1? x 4.不等式 ? 0 的解集是__________. x?2
1.幂函数经过点 ? 2, 5.在一个圆周上有 10 个点,任取 3 个点作为顶点作三角形,一共可以作__________个三角 形(用数字作答) . 6.已知球半径为 2,球面上 A、B 两点的球面距离为

2? ,则线段 AB 的长度为________. 3

7.若 x,y ? R + ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是__________. 8.在五个数字 1,,,, 2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结 果用数值表示)__________.

4? , 9.若函数 f ( x) ? ( x ? a )(bx ? 2a ) (常数 a,b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ??,
则该函数的解析式 f ( x) ? __________. 10.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别__________. 11.已知命题 ?:m 2 ? 4m ? 3 ? 0 ,命题 ?:m ? 6m ? 8 ? 0 .若 ?、? 中有且只有一个是 真命题,则实数 m 的取值范围是__________. 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 棱 AB、 CC1 的中点, △MB1P 的顶点 P 在棱 CC1 与棱 C1D1 上运 动.有以下四个命题: ①平面 MB1P⊥ND1; ②平面 MB1P⊥平面 ND1A1; ③△MB1P 在底面 ABCD 上的射影图形的面积为定值; ④△MB1P 在侧面 D1C1CD 上的射影图形是三角形. 其中正确命题的序号是__________.
2

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有 两 个 实 数 根 , 分 别 是 x1 、 x2 , 则 “?

? x1 ? x2 ? 2 ”是“两根均大于 1”的( ? x1 x2 ? 1



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要. 14.在下列命题中,不是公理 的是( ) .. A.两条相交直线确定一个平面;

B.不在同一条直线上的三点确定一个平面; C.如果直线上有两个点在平面 ? 上,那么直线在平面 ? 上; D.如果不同的两个平面 ? 、 ? 有一个公共点 A,那么 ? 、 ? 的交集是过点 A 的直线. 15. ( x ?

1
3

x

)12 展开式中的常数项为(
C.-220 )

) D.220

A.-1320 B.1320 16.下列四个命题中正确是(
3 x

A. 函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? log a a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域相同; B. 函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;

(1 ? 2 x ) 2 1 1 与y? 都是奇函数; ? x x ? 2x 2 2 ?1 2 x ?1 D. 函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2 在区间 [0, ??) 上都是增函数.
C. 函数 y ? 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 如图所示, 圆锥 SO 的底面圆半径 | OA |? 1 , 其侧面展开图是一个圆心角为 (1)求此圆锥的表面积; (2)求此圆锥的体积.

2? 的扇形. 3
B

S

O

A

18. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1)解方程: 25 x+1 - 9 ?5 x+2 500 = 0 ; ( 2 ) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的 解 集 为 (?

2 1 , ) ,求关于 x 的不等式 3 4

ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的解集.

19.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中 点. PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M , MN ? BD 于点 N . (1)求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小; (结果用反三角函数值表示) (2)求三棱锥 P ? BMN 的体积. A1 B1 P A B M N C C1 D1

D

20. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) x ?1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)证明: f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (3)证明:方程 f ( x) =0 没有负数根。

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a ? R ). x (1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)求函数 y ? f ( x ) 在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.
函数 f ( x ) ? 2 x ?

2017 学年度第一学期高三数学期中考试试题 答案及评分细则
(满分: 150 分 完卷时间:120 分钟) 一、 填空题 (本大题共有 12 道小题, 请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方, 其中 1--6 每小题 4 分,7—12 每小题 5 分,共 54 分) 注:填写等价即对 1.幂函数经过点 ? 2,

? ? ?

1 ? 2? 2 ,则此幂函数的解析式为 . y ? x ? ? 2 ?

2.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? (? 3. 设 f ?1 ? x ? 为函数 f ? x ? ?

1 ,3) 2

x 2 的反函数,则 f ?1 ? 2 ? ? ? 2x ?1 3

4.不等式

1? x ? 0 的解集是 (?2,1) x?2

5.在一个圆周上有 10 个点,任取 3 个点作为顶点作三角形,一共可以作个三角形(用数字 作答) .120

2? ,则线段 AB 的长度为 2 3 1 7.若 x,y ? R + ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是. 16
6.已知球半径为 2,球面上 A、B 两点的球面距离为 8.在五个数字 1,,,, 2 3 4 5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结 果用数值表示) . 0.3

4? , 9.若函数 f ( x) ? ( x ? a )(bx ? 2a ) (常数 a,b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ??,
则该函数的解析式 f ( x) ? . 【答案】 ?2 x 2 ? 4 10.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别 . 【答案】 a ? 10.5, b ? 10.5 11.已知命题 ?:m 2 ? 4m ? 3 ? 0 ,命题 ?:m ? 6m ? 8 ? 0 .若 ?、? 中有且只有一个是 真命题,则实数 m 的取值范围是________. [1, 2] ? (3, 4) 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AB、CC1 的中点,△MB1P 的顶点 P 在棱 CC1 与棱 C1D1 上运动.有以下四个命题: ①平面 MB1P⊥ND1; ②平面 MB1P⊥平面 ND1A1; ③△MB1P 在底面 ABCD 上的射影图形的面积为定值; ④△MB1P 在侧面 D1C1CD 上的射影图形是三角形. 其中正确命题的序号是 答案:②③
2

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案。考生必须 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。 13. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有 两 个 实 数 根 , 分 别 是 x1 、 x2 , 则

“?

? x1 ? x2 ? 2 ”是“两根均大于 1”的(B) ? x1 x2 ? 1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要. 14.在下列命题中,不是公理 的是( A ) .. A.两条相交直线确定一个平面; B.不在同一条直线上的三点确定一个平面; C.如果直线上有两个点在平面 ? 上,那么直线在平面 ? 上; D.如果不同的两个平面 ? 、 ? 有一个公共点 A,那么 ? 、 ? 的交集是过点 A 的直线. 15. ( x ?

1
3

x

)12 展开式中的常数项为(C)
D.220

A.-1320 B.1320 C.-220 16.下列四个命题中正确是( C )
x

A. 函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? log a a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域相同; B. 函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;
3 x

(1 ? 2 x ) 2 1 1 与y? 都是奇函数; ? x x ? 2x 2 2 ?1 2 x ?1 D. 函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2 在区间 [0, ??) 上都是增函数.
C. 函数 y ? 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 注:其它解法相应得分 17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 如图所示, 圆锥 SO 的底面圆半径 | OA |? 1 , 其侧面展开图是一个圆心角为 (1)求此圆锥的表面积; (2)求此圆锥的体积. 【解答】 (1)因为 | OA |? 1 ,所以底面圆周长为 2? ,?????1 分 所以底面圆的面积为 ? ,????2 分 所以弧 AB 长为 2? ,???????3 分 又因为 ?BSA ?

2? 的扇形. 3

2? 2? ,则有 SA ? ? 2? ,所以 SA ? 3 .????4 分 3 3 1 扇形 ASB 的面积为 S = ? 2? ? 3=3? 2 所以圆锥的表面积= ? +3? =4? ????????????????7 分
(2)在 Rt?SOA 中, | OA |? 1 . h ? SO ? 所以圆锥的体积 V ?

SA2 ? OA2 ? 2 2 ,?10 分

1 2 2 2 ?r h? ? .???????14 分 3 3

18. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1)解方程: 25 x+1 - 9 ?5 x+2 500 = 0 ; ( 2 ) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的 解 集 为 (?

2 1 , ) ,求关于 x 的不等式 3 4

ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的解集.

【解答】 (1)令 5 x+1 = t > 0 ,则 t 2 - 45t + 500 = 0 , 解得 t = 20 或 t = 25 ?????????????????????3 分 即 5 x+1 = 20 或 5 x+1 = 25 ,解得 x = log 5 4 或 x = 1 .????????6 分 (2)由题意可知,方程 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的两个根为 ?

且 a ? 0 则由韦达定理可得 a ? ?12,b ? 2 ???????????10 分 于是不等式 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 为 ?12 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 , 则其解集为 (??, ? ) ? ( , ??) .??????????????14 分

2 1 和 ,???8 分 3 4

1 4

2 3

19.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中 点. PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M , MN ? BD 于点 N . (1)求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小; (结果用反三角函数值表示) (2)求三棱锥 P ? BMN 的体积. 【解答】 (1)因为点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点. PM ? 平面 ABCD ,所以 PM 为 △ ADD1 的中位线,得 PM ? 1 , A1 2 2 D1 又 MN ? BD , 所以 MN ? ND ? ????? 2 MD ? 2 2 B1 分 C1 P 因 为 在 底 面 ABCD 中 , MN ? BD, AC ? BD , 所 以 又 A1C1 // AC , ? PNM 为异面直线 PN 与 A1C1 MN // AC , A M D 所成角的平面角,????????6 分 N 在△ PMN 中, ? PMN 为直角, tan ?PNM ? 2 ,所以 B C ?PNM ? arctan 2 。 即 异 面 直 线 PN 与 A1C1 所 成 角 的 大 小 为

arctan 2 。??????? 8 分 2 (2) BN ? 2 2 ? ,???????????????????9 分 2 1 1 V P ? BMN ? ? ? PM ? MN ? BN ,??????????????? 12 分 3 2 1 计算得三棱锥 P ? BMN 的体积为 。?????????????14 分 4
20. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) x ?1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)证明: f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (3)证明:方程 f ( x) =0 没有负数根。 【解答】 (1)因为函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? ( ?1, ??) ,??2 分 不关于原点对称,所以函数 f ( x) 没有奇偶性。???????4 分 (2)证明:设 ?1 ? x1 ? x2 , a ? 1, a 1 ? a
x x2

?0,

x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x1 ? 1) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数。????9 分
(3)设 x0 ? 0 ,则 0 ? a

? 1, x ?2 1 由 f ( x) =0,必须 0 ? ? 0 ? 1 ,则 ? x0 ? 2 ,?????14 分 2 x0 ? 1 与 x0 ? 0 矛盾。?????????????????????15 分 所以方程 f ( x) =0 没有负数根。??????????????16 分
x0

21. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a ? R ). x (1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (3)求函数 y ? f ( x ) 在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.
函数 f ( x ) ? 2 x ? 【解答】 (1)函数 y ? f ( x )=2 x ?

1 ?2 2 x

所以函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ?????????4 分 (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数, 则任取 x1 , x 2 即 ( x1

? ( 0.1] 且 x1 ? x 2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,
?????????????????6 分

x1 x2 ? x2 )( a +2 x1 x2 ) ? 0

只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, ???????????????????7 分 由 x1 , x 2

? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? (?2,0) ,???????????9 分

所以 a ? ?2 ,故 a 的取值范围是 ( ??,?2] ;?????????10 分 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值,??11 分 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ;????????????????12 分 由(2)得当 a ? ?2 时, y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值,?13 分 当 x ? 1 时取得最小值 2 ? a ; ??????????????15 分
?2 a 2

当 ?2 ? a ? 0 时 , 函 数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2 a 2

] 上单调减,在 [

?2 a 2

, 1] 上 单 调 增 , 无 最 大

值, ????????????????????????16 分 时取得最小值 2 ? 2a . ??????????????18 分



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