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高一数学培优卷二



高一数学培优卷二 2
1..0<b<a+1,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个,则 A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6

答案:C
?b a ?1 b a ?1 ? x ? b a ?1

>由题得不等式(x-b)2>(ax)2 即(a2-1)x2+2bx-b2<0,它的解应在两根之间,故有
? ? 4b ? 4b (a
2 2 2

? 1) ? 4 a b
2

2

? 0 ,不等式的解集为
?b a ?1 b a ?1 ? x ?



0 ? 0?

b a ?1 b a ?1

? x ?

?b a ?1

。若不等式的解集为
?b a ?1 ? ? 2 ,即 2 ?

,又由 0 ? b ? 1 ? a 得

? 1 ,故 ? 3 ?

? 3 .

答案:C
[ ]

2.已知集合A={xㄧ3x-2-x2<0},B={xㄧx-a<0},若BA,则a的取值范围是

A .a≤1 B .1<a≤2 C .a>2 D .a≤2 答案:A 3.设集合 P={m|-1<m<0}, Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},则下列关系中立 的是 (A) ?≠ p ? (B) Q ? ≠ P (C)P=Q (D)P∩Q= ? 答案:A

4.集合 A={x|x+1≥0} ,B={x|x2-2≥0},全集 I=R,则 A∩ B 为 ( )
A. {x|x> 2 或 x≤- 2 } C. {x|-1≤x< 2 = B. {x|x≤- 2 或 x≥-1} D. {x|- 2 <x≤-1=

答案:C 5..已知集合 P={ 0, m},Q={x│ 2 x 2
A.1 B.2
? 5 x ? 0 , x ? Z },若 P∩Q≠ ? ,则 m 等于(
5 2



C.1 或

D. 1 或 2 答案:D [ ]

6.已知集合A={x│x2-2x-8<0},B={x│x-a<0},若A∩B=φ,则a的值所成的集合是:
A.{a│a≤-2或a≥4} B.{a│a≥4} C.{a│a≤-2} D.{a│a>-2}

答案:C 7 已知 A
? ? x | 2 x ? 1 | ? 3 ? , B ? x x ? x ? 6 ? 0 ,则 A ? B ? [
2

?

?

]

(A) [ ? 3, ? 2 ) ? (1, 2 ] (C) ( ? 3, ? 2 ] ? [1, 2 )

(B) ( ? 3, ? 2 ] ? (1, ? ? ) (D) ( ? ? , ? 3] ? (1, 2 ]
2

答案:C
( )

8. A

? {x | 6 ? x ? x

? 0 }, B ? { x || x ? 1 |? 2 }, 则 A ? B 等于

A. { x | ? 3 ? x ? ? 1} B. { x | x ? ? 3 或 x ? 3} C. { x | ? 1 ? x ? 2 } D. { x | ? 2 ? x ? ? 1}

答案:A

1

9.设集合 M={x|x2-x<0,x∈R=,N={x||x|<2,x∈R=,则 A.N ? M B.M∩N=M
2

C.M∪N=M
2

D.M∪N=R 答案:B

10.已知集合 M ? ? x x ? 3 x ? 2 8 ? 0 ? , N ? ? x x ? x ? 6 ? 0 ? ,则 M ? N 为 (A) ? x ? 4 ? x ? ? 2 或 3 ? x ? 7 ? (B) ? x ? 4 ? x ? ? 2 或 3 ? x ? 7 ? (C) ? x x ? ? 2 或 x ? 3? (D) ? x x ? ? 2 或 x ? 3? 答案:A

2 11.若集合 A ? { x ? R | x ? 4 x ? 3 ? 0 }, B ? { x ? R | ( x ? 2 )( x ? 5 ) ? 0 } ,则 A ? B ?

.答案: { x | 2 ? x ? 3}

12.(文科)设 x , y 为正数,则 ( x ?

y )(

1 x

?

4 y

) 的最小值为___________答案:9

13.使不等式 x2+(a-6)x+9>0 当|a|≤1 时恒成立的 x 的取值范围是_________.答案:
x>
7 ? 2 13

或 x<

7 ? 2

13



14.设A={x|x2-3x≤0},B={x|x2-5x+4<0} 那么,A∪B=____,A∩B=____________.

答案:{x|0≤x<4},{x|1<x≤3}
15 设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 解集分别 为 M 和 N,那么“
a1 a2 ? b1 b2 a1 a2 ? c1 c2 b1 b2 c1 c2 ?? 0 ,则 M ? N= ? ,则未必有 a1 a2 b1 b2

”是“M=N”的_________条件。

答案:非充分非必要。若

?

?

?

.

16.当|x-2|<a 时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________.

答 案 : 0<a ≤

5 ? 2 .|x -4|<1 解 为

2

3 ? x ?

5 或?

5 ? x ? ? 3 , |x-2|<a 解 为

2-a<x<2+ a ,所以只有 2+a≤ 5 且 2-a≥ 3 . 又 2- 3 > 5 ? 2 ,所以 0<a≤ 5 ? 2 . 17.方程x2-2(m-1)x+m2-4=0的两根异号,则m的取值范围是___________.答案:-2<m<2

18.已知 p: |1-

x ?1 3

|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不充分条件,则实数

m 的取值范围是_________.

答案:m≥9。非

p:x<-2 或 x>10,非 q: x2-2x+1-m2>0,非 p 是非 q 的必要不充分条件

?1 ? m ? 10 ? ? 且等号不同时成立。解得 m≥9。 ?1 ? m ? ? 2
2

19.关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 2 b ? 0 的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内.则 范围是 .
4

b ? 2 a ?1

的取值

答案: ( 1 ,1)
20. 若 关 于 x 的 不 等 式 x 2 ? ax ? a ? ? 3 的 解 集 不 是 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 __________。

答案: ? ? 4 , 0 ?, ? ? ? , ? 6 ? ? ?2 , ?? ?
21.不等式
2

4x ? x

2

? x 的解集是____________________.答案: ( 2 , 4 ]

22.不等式 x -(a+1)|x|+a>0 的解集为{x|x<-1 或 x>1,∈R } , a 的取值范围为 x 则

.

答案:a≤0
23 已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? ,B ? ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 ? .若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取值
2

范围是___________.

答案:集合 A ? ? x | x ? a

≤ 1? ={x| a-1≤x≤a+1}, B ?

?x

x ? 5 x ? 4 ≥ 0 ={x| x≥4
2

?

或 x≤1 }.又 A ? B ? ? ,∴ ?

?a ? 1 ? 4 ?a ?1 ? 1

,解得 2<a<3,实数 a 的取值范围是(2,3)。

24 求使不等式 ax2+4x-1≥-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

答案:由不等式得(a+2)x2+4x+a-1≥0.
①对任意 x∈R 成立。 ⅰ)当 a=-2 时,①化为 4x≥3,当 x<
3 4



时不成立。

ⅱ)当 a<-2 时,由二次函数性质①不恒成立。 ⅲ)当 a>-2 时,△=4×[4-(a+2)(a-1)]≤0,即 a2+a+2≥4,得 a≥2,或 a≤-3,综上所 述,a≥2。

25.中档已知不等式组 ?

?x2 ? x ? a ? a 2 ? 0 ? x ? 2a ? 1

①②的整数解恰好有两个, a 的取值范围。 求

答案:因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,
若 a≤0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a≥1-a,所以 a≤0,所以不等式组无解。 若 a>0,ⅰ)当 0<a<
1 2 1 2

时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。 ⅱ)当 a= 时,a=1-a,①无解。

3

ⅲ)当 a>

1 2

时,a>1-a,由②得 x>1-2a,

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)≤3, 所以 1<a≤2,并且当 1<a≤2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a≤2.

26.已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。
?f ? 答案:因为 ? f ? ? ?f ?
? ? a ? 2 f (1 ) (0) ? c ? ? a 1 ?1 ?1? ? b ? c ,所以 ? b ? 4 f ? ? ? ? 4 2 ?2 ?2? ? ?c ? f (0) (1) ? a ? b ? c ? ? ?1? ? 2 f (0) ? 4 f ? ? ?2? ? ? ? f (1 ) ? 3 f ( 0 ) ?



所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f ?

?1? ?1? ? |+|4f ? ? -f(1)-3f(0)|+|f(0)| ?2? ?2?

≤3+|f(1)|+8|f ?

?1? ? |+6|f(0)|≤17. ?2?

另一方面,对于二次函数 f(x)=8x2-8x+1,当 x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,且|a|+|b|+|c|=17,所以 |a|+|b|+|c|的最大值为 17。
? x 2 ? 2 kx ? k ? 4 ? 0 ? 27 对任意 x∈[0,1],有 ? 2 成立,求 k 的取值范围。 ? x ? kx ? k ? 3 ? 0 ?

答案:当 x∈[0,1]时,有 x2-2kx+k-4<0 成立。
记 f(x)=x2-2kx+k-4,当且仅当 ?
? f (0) ? 0 ? f (1 ) ? 0

时-3<k<4.

记 g(x)=x2-kx-k+3. 当 x∈[0,1]时,g(x)>0,由 g(1)>0 可得 k<2. ⅰ)当 0≤k<2 时, ≤k<2; ⅱ)当 k<0 时,
k 2 ? [ 0 ,1 ] ,g(x)>0 当且仅当 g(1)>0,即 k<2。

k 2

∈[0,1],g(x)>0 当且仅当

4 (3 ? k ) ? k 4

2

? 0 ,即-6<k<2,亦即 0

综上所述,对任意 x∈[0,1],不等式组成立。当且仅当-3<k<2. 28 设 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|≤50 的整数 x 最多有几个?

答案:f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。
ⅰ)若|f(x0)|≤50,因为满足|n-x0|<1 的整数至多有 2 个,所以满足|f(x)|≤50 的整数 x 至 多有 2 个。

4

ⅱ)若|f(x0)|>50,若 f(x0)>50,则|f(x)|≤50 无解;若 f(x0)<-50,设|f(n)|≤50,|f(n+k)|≤50, 若 k≥1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|≤100. 则 k|2n+k-2x0|<1, n≥x0, k 无解, 若 则 所以满足 n≥x0 且|f(x)|≤50 的整数 x 至多有 1 个。 同理可得若 n<n+k≤x0,则若 k≥1,|k(2n+k-2k0)|<1. ① 因为|k(2n+k-2k0)|=|k(2n+2k-2k0-k)|>|k|≥1, 所以满足①的 k 也不存在。 所以满足|f(x)|≤50 的整数最多有 2 个。
1? ? 例如,f(x)=101 ? x ? ? ,当 x=0,1 时有|f(x)|<50. 2? ?
2

29.解关于 x 的不等式:mx

2

-3(m+1)x+9>0(m∈R)
∴x<3
3 m ? x ? 3

答案:(1)m=0 时
(2)m≠3 时

-3x+9>0
3 m

m(x ? 3 m

)( x ? 3 ) ? 0 当 m<0 时

当 m>0 时
3 m

10 0<m<1 时, x ?
2

或x ? 3

20

m=1 时,x≠3

30 m>1 时,x>3 或 x ?

30 已知 f(x)=ax -c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以 1≤-f(1)=c-a≤4.

又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=

f(2)-

f(1),

所以

×(-1)+

≤f(3)≤

× 5+

× 4,

所以-1≤f(3)≤20. 31 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0),若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且 开口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。

32 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1;

,

(Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0< 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x.

5

其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

]<0,所以 f(x)<x1.

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以 x0=

,

所以



所以 33 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。

34 当 x 取何值时,函数 y=

取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u≤1。

y=5u2-u+1=5

,

且当

即 x=

3 时,ymin=

.

35 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件, 而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件) 【解】 充要条件为 A,B,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A 0,则因 为②恒成立,所以 A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0 恒成立,所以(B-A-C)2-4AC≤0,即 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有 B≥0,C≥0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A≥0,B≥0,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA),

6

1)若 A=0,则由 B2+C2≤2BC 得(B-C)2≤0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成 立。 2)若 A>0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 35 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件, 而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件)

7



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