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数列经典综合题116例


数列经典综合题 116 大题
本专题中所有试题均来源于近几年高考试题、高考模拟试题、大学自主招生试题及竞 赛试题(含 2009—2010 学年最新试题),按内容分为以下几部分:⑴等差数列与等比数列 综合题;⑵点列综合题;⑶数列与向量交汇的综合题;⑷数列与函数交汇的综合题;⑸数 列与不等式交汇的综合题;⑹数列与概率统计的综合题;⑺分段数列综合题;⑻信息迁移 题.(所有试题均有详细答案)题型比较全面,可作为学生复习数列时的参考用题,也可供 数学教师备课时参考.

等差数列与等比数列综合题
例 1 等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn 解:(Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故 2q ? q ? 0
2

又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1 2
2

(Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3 (

故 a1 ? 4

1 n ( ? ? )) 41( 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( ? ? )) 1( 1 3 2 1? ? ) ( 2
例 2 在正项数列 ?an ? 中,令 S n ?

?
i ?1

n

1 . ai ? ai ?1

(Ⅰ)若 ?an ? 是首项为 25,公差为 2 的等差数列,求 S100 ; (Ⅱ)若 S n ?

np ( p 为正常数)对正整数 n 恒成立,求证 ?an ? 为等差数列; a1 ? an ?1
1 ? ai ? ai ?1 ai ?1 ? ai 2
,所以 S100 =

(Ⅰ)解:由题意得, (Ⅱ)证:令 n ? 1 , 所以 S n ?

a201 ? a1 2

?5

p 1 ? ,则 p =1 a1 ? a2 a1 ? a2

?
i ?1

n

np 1 = (1), a1 ? an ?1 ai ? ai ?1

S n ?1 ? ?
i ?1

n ?1

( n ? 1) p 1 = (2), a1 ? an ? 2 ai ? ai ?1 ( n ? 1) n 1 — = , a1 ? an ? 2 a1 ? an ?1 an ?1 ? an ? 2

(2)—(1),得

化简得 (n ? 1)an ?1 ? nan ? 2 ? a1 (n ? 1) (3) 在(3)中令 n ? 1 ,得 a1 ? a3 ? 2a2 ,从而 ?an ? 为等差数列

(n ? 2)an ? 2 ? (n ? 1)an ?3 ? a1 (n ? 1) (4),(4)—(3)得 an?1 ? an?3 ? 2an? 2 (n ? 1)

例 3 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a m , a m ? 2 , a m ?1 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,试判断 S m , S m ? 2 , S m ?1 是否成等差数列?说明理由. 解:(1)依题意,得 2am+2 = am+1 + am ∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比数列{an}中,a1≠0,q≠0, ∴2q2 = q +1,解得 q = 1 或 ?
1 . 2

(2)若 q = 1, Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1,Sm + 2 = (m+2) a1 ∵a1≠0,∴2Sm+2≠S m + Sm+1
1 若 q = ? ,Sm + 1 = 2
1 1 ? (? ) m ? 2 2 1 1 2 ? ? ? (? ) m 1 3 6 2 1 ? (? ) 2 1 1 1 ? (? ) m 1 ? ( ? ) m ?1 4 2 1 1 4 1 1 2 ? 2 Sm + Sm+1 = ? ? [(? ) m ? (? ) m ?1 ] = ? (? ) m 1 1 3 3 2 2 3 3 2 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 2

∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当 q = 1 时,Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差数列; 当 q =?
1 时,Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差数列. 2

例 4 已 知 数 列 { an } 的 首 项 a1 ? a ( a 是 常 数 ) , a n ? 2a n ?1 ? n 2 ? 4n ? 2 可能,说明理由; 2 (Ⅱ)设 b1 ? b , bn ? a n ? n ( n ? N , n ? 2 ), S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且

( n ? N , n ? 2 ).(Ⅰ) ?a n ? 是否可能是等差数列.若可能,求出 ?a n ? 的通项公式;若不

?S n ? 是等比数列,求实数 a、b 满足的条件.

解:(Ⅰ)∵ a1 ? a, 依a n ? 2a n ?1 ? n 2 ? 4n ? 2(n ? 2,3, ?) ∴ a2 ? 2a ? 4 ? 8 ? 2 ? 2a ? 2

a3 ? 2a 2 ? 9 ? 12 ? 2 ? 4a ? 5
a2 ? a1 ? 2a ? 2 ? a ? a ? 2, a3 ? a2 ? 2a ? 3, a4 ? a3 ? 4a ? 3

a 4 ? 2a3 ? 2 ? 8a ? 8

若 {a n } 是等差数列, a 2 则 ∴ {a n } 不可能是等差数列 (Ⅱ)∵ bn ≥2) ∴ b2

? a1 ? a3 ? a2 , 得a ? 1

但由 a3

? a 2 ? a 4 ? a3 ,得 a=0,矛盾.

? an ? n 2

∴ bn?1 ? a n ?1 ? (n ? 1) 2 ? 2a n ? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) 2 ? 2a n ? 2n 2 ? 2bn (n

? a 2 ? 4 ? 2a ? 2

当 a≠-1 时,

bn ? 0{bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列

n ?1 ∴ S ? b ? (2a ? 2)( 2 ? 1) ? b ? (2a ? 2)( 2 n?1 ? 1) n 1 2 ?1 n b ? 2a ? 2 n≥2 时, S n ? (a ? 1)2 ? b ? 2a ? 2 ? 2 ? n ?1 S n ? 1 (a ? 1)2 ? b ? 2a ? 2 (a ? 1)2 n ?1 ? b ? 2a ? 2 ∴ {S n } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数 ∵a≠-1 时, ∴b-2a-2=0 当 a=-1 时, S n ?1

b2 ? 0,由bn ? 2bn ?1 (n≥3),得 bn ? 0 (n≥2)
∵ {S n } 是等比数列 综上, ∴b≠0

∴ Sn

? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? b

{S n } 是等比数列,实数 a、b 所满足的条件为 ?a ? ?1 ?

? a ? ?1 或? b ? 2a ? 2 ?b ? 0 ?

例 5 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2-an,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)设 cn=n(3-bn),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(Ⅰ)∵n=1 时,a1+S1=a1+a1=2 ∴a1=1 ∵Sn=2-an 即 an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0 即 an+1-an+an+1=0 故有 2an+1=an ∵an≠0 ∴

a n ?1 1 ? (n∈N*) an 2
1 1 n ?1 的等比数列.an= ( ) (n∈N*) 2 2

所以,数列{an}为首项 a1=1,公比为 (Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1,2,3,…) ∴bn+1-bn=( 得 b2-b1=1

1 n-1 ) 2

1 2 1 b4-b3=( )2 2
b3-b2= ?? bn-bn-1=(

1 n-2 ) (n=2,3,?) 2

将这 n-1 个等式相加,得

1 1 2 1 3 1 n?2 bn-b1=1+ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? 2 2 2 2
又∵b1=1,∴bn=3-2(

1 1 ? ( ) n?1 1 2 ? 2 ? 2( ) n?1 1 2 1? 2

1 n-1 ) (n=1,2,3,…) 2

1 n-1 ) 2 1 1 1 1 1 ∴Tn=2[( )0+2( )+3( )2+?+(n-1)( )n-2+n( )n-1] ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 而 Tn=2[( )+2( )2+3( )3+?+(n-1) ( ) n ?1 ? n( ) n ] ② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? 2[( ) 0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n?1 ] ? 2n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 1? ( )n 2 ? 4n ( 1 ) n ? 8 ? 8 ? 4n ( 1 ) n Tn= 4 1 2 2 2n 1? 2 1 =8-(8+4n) n (n=1,2,3,…) 2
(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n( 例 6 已知数列 {an } 中, a0 ? 2, a1 ? 3, a2 ? 6 ,且对 n≥ 3 时 有 an ? (n ? 4)an?1 ? 4nan?2 ? (4n ? 8)an?3 . (Ⅰ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? nan ?1 , n ? N? ,证明数列 {b n?1 ?2bn } 为等比数列,并求数 列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n!,求数列 {nan } 的前 n 项和 S n (Ⅰ) 证明:由条件,得 an ? nan?1 ? 4[an?1 ? (n ? 1)an?2 ] ? 4[an?2 ? (n ? 2)an?3 ] , 则 an?1 ? (n ? 1)an ? 4[an ? nan?1 ] ? 4[an?1 ? (n ? 1)an?2 ] . 即
bn?1 ? 4bn ? 4bn?1. 又b1 ? 1, b2 ? 0







bn?1 ? 2bn ? 2(bn ? 2bn ?1 )



b2 ? 2b1 ? ?2 ? 0 .

所以 {b n?1 ?2bn } 是首项为 ? 2,公比为 2 的等比数列.
b2 ? 2b1 ? ?2 ,所以 bn ?1 ? 2bn ? 2n ?1 (b2 ? 2b1 ) ? ?2n .

两边同除以 2n?1 ,可得

bn ?1 bn 1 ? n ?? . n ?1 2 2 2

1 1 ?b ? 于是 ? n ? 为以 首项,- 为公差的等差数列. 2n ? 2 2 ?

所以

bn b1 1 ? ? (n ? 1), 得bn ? 2n (1 ? n ) . 2 2n 2 2

(Ⅱ) an ? 2n ? nan ?1 ? n2n?1 ? n(an ?1 ? 2n ?1 ) ,令 cn ? an ? 2n ,则 cn ? ncn ?1 .

而 c1 ? 1 ?cn ? n(n ? 1) ? ?? 2 ? 1 ? c1 ? n(n ? 1) ? ?? 2 ?1 . , ∴ an ? n(n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? 2n .
nan ? n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n2n ? (n ? 1)!? n!? n ? 2n ,

∴ Sn ? (2!? 1!) ? (3!? 2!) ? ? ? (n ? 1)!? n!? (1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ) . 令 T n= 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n , 则 2Tn= 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 . ② ①-②,得 ? Tn= 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,Tn= (n ? 1)2n ?1 ? 2 . ∴ S n ? (n ? 1)!? (n ? 1)2n ?1 ? 1 . 例 7 设数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 1, b1 ? 0 且 ①

?an ?1 ? 2an ? 3bn , ? ?bn ?1 ? an ? 2bn ,

n ? 1, 2,3,??

(Ⅰ)求 ? 的值,使得数列 ?an ? ? bn ? 为等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

? (Ⅲ)令数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n 和 S n ,求极限 lim

n ??

Sn 的值. ? Sn

(Ⅰ)令 cn ? an ? ?bn ,其中 ? 为常数,若 ?cn ? 为等比数列,则存在 q ? 0 使得

cn?1 ? an?1 ? ?bn?1 ? q(an ? ?bn ) .
又 an ?1 ? ?bn ?1 ? 2an ? 3bn ? ? (an ? 2bn ) ? (2 ? ? )an ? (3 ? 2? )bn . 所以 q(an ? ?bn ) ? (2 ? ? )an ? (3 ? 2? )bn . 由此得 (2 ? ? ? q)an ? (3 ? 2? ? ? q)bn ? 0,

n ? 1, 2,3,?

由 a1 ? 1, b1 ? 0 及已知递推式可求得 a2 ? 2, b2 ? 1 ,把它们代入上式后得方程组

? 2 ? ? ? q ? 0, ? ?3 ? 2 ? ? ? q ? 0
下面验证当 ? ?

消去 q 解得 ? ? ? 3 .

3 时,数列 an ? 3bn 为等比数列.

?

?

an ?1 ? 3bn ?1 ? (2 ? 3)an ? (3 ? 2 3)bn ? (2 ? 3)(an ? 3bn )

(n ? 1 , 2 ,?, , ) 3

a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 ,从而 an ? 3bn 是公比为 2 ? 3 的等比数列.
同理可知 an ? 3bn 是公比为 2 ? 3 的等比数列,于是 ? ? ? 3 为所求. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果得 an ? 3bn ? (2 ? 3)
n ?1

?

?

?

?

, an ? 3bn ? (2 ? 3)

n ?1

,解得

an ?

1? 2? 3 ? 2?

?

?

n ?1

? 2? 3

?

?

n ?1

?,b ? 3 ? 2? 3 n ? ? 6 ? ?
n ?1

?

?

n ?1

? 2? 3

?

?

n ?1

?. ? ?

(Ⅲ)令数列 ?d n ? 的通项公式为 d n ? (2 ? 3) 其前 n 项和为 Pn ; 令数列 ?en ? 的通项公式为 en ? (2 ? 3) 其前 n 项和为 Pn? . 由第(Ⅱ)问得 Sn ?

,它是公比为 p ? 2 ? 3 的等比数列,令

n ?1

,它是公比为 p? ? 2 ? 3 的等比数列,令

3 1 ? ( Pn ? Pn?) . ( Pn ? Pn?) , S n ? 6 2

Pn? Sn P ? Pn? Pn ? 3? n ? 3? . Pn? ? Sn Pn ? Pn? 1? Pn 1?
由于数列 ?en ? 的公比 0 ? 2 ? 3 ? 1 ,则 lim Pn? ?
n ??

1 . 1 ? (2 ? 3)

1 1 ( ) n ? ( ) n ?1 1 1 1 1 1? p p p ? 2 ? 3 ,则 lim ? 0 , ,由于 ? ? ? n n ?? P 1 p 2? 3 Pn 1 ? p n ( )n ? 1 p
于是 lim

S Pn? ? 0 ,所以 lim n ? 3 n ?? S ? n ?? P n n
2

例 8 数列 ?a n ? 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , S n , an 成 等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是常数,

e =2.71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2;
(Ⅲ) 正数数列 ?c n ? 中, a n ?1 ? ?c n ?
n ?1

, (n ? N * ) .求数列 ?c n ? 中的最大项.
2

* (Ⅰ)解:由已知:对于 n ? N ,总有 2 S n ? an ? an

①成立

∴ 2 S n ?1 ? an ?1 ? an ?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①--②得 2a n ? a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ∴ a n ? a n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ??a n ? a n ?1 ?

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ a n ? a n ?1 ? 1 ∴数列 ?a n ? 是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a1 , 解得 a1 =1
2

(n ≥ 2)

* ∴ a n ? n .( n ? N )

(Ⅱ)证明:∵对任意实数 x ? ?1, e? 和任意正整数 n,总有 bn ?

ln n x an
2



1 . n2

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 ?n ? 1?n 1? 2 2 ? 3 1 2 n

? 1?1?
(Ⅲ)解:由已知

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
2

a 2 ? c1 ? 2 ? c1 ? 2 ,
3 4

a 3 ? c 2 ? 3 ? c 2 ? 3 3 , a 4 ? c3 ? 4 ? c3 ? 4 4 ? 2 , a5 ? c 4 ? 5 ? c 4 ? 5 5
5

易得

c1 ? c2 , c2 ? c3 ? c4 ? ...

猜想 n≥2 时, ?c n ? 是递减数列.

1 ? x ? ln x ln x 1 ? ln x 令 f ?x ? ? , 则f ??x ? ? x ? 2 x x x2
ln ∵当 x ? 3时, x ? 1, 则1 ? ln x ? 0,即f ??x ? ? 0.
∴在 ?3,?? ? 内 f ? x ? 为单调递减函数.

由 a n ?1 ? c n ∴n≥2 时,

n ?1

知 ln cn ?

ln ?n ? 1? . n ?1

?ln c n ?是递减数列.即 ?c n ? 是递减数列.

又 c1 ? c2 , ∴数列 ?c n ? 中的最大项为 c 2 ? 3 3 . 例 9 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,满足

a2 2 ? a32 ? a4 2 ? a52 , S7 ? 7 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有的正整数 m ,使得 解: (1)设公差为 d ,则 a2 因为 d 解得 a1
2

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2
,由性质得 ?3d ( a4

2 2 2 ? a5 ? a4 ?a3

? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5 d ? 0 ,又由 S 7 ? 7 得 7 a1 ?
? ?5 ,

7?6 d ? 7, 2

d ? 2,
(2) (方法一) 则

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , am ? 2 2m ? 3
所以 t 为 8 的约数

am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) 8 ? t ? ?6, = am ? 2 t t

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 ? ? am? 2 ? 6 ? 为数列 ?an ? 中的项, am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am ? 2 为奇数,所以 am? 2 ? 2m ? 3 ? ?1, 即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。 例 10 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。

(1)

若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由; 找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N * ,

(2)

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3)

若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的

和是数列 ?bn ? 中的一项,请证明。 解:(1)由 am ? am ?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 , 整理后,可得 k ? 2m ?

4 ? ,? m 、 k ? N ,? k ? 2m 为整数, 3

? 不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)若

an ?1 a1 ? nd ? bn ,即 ? b1q n ?1 , a a1 ? (n ? 1)d
n ?1

(*)

(ⅰ)若 d ? 0, 则 1 ? b1q

? bn 。

当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 (ⅱ)若 d ? 0 ,(*)式等号左边取极限得 lim

n ??

a1 ? nd ? 1 ,(*)式等号右边的极限 a1 ? (n ? 1)d

只有当 q ? 1 时,才能等于 1。此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3 , n ? N *
n

设 am?1 ? am?2 ? ?? ? a m? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? N .
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2
? 4m ? 2 p ? 3 ? 3k ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N . p
2 s ?2

取 k ? 3s ? 2,4m ? 3

? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1) 2 s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0,
2s+2

由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)

=4M1+1,

2 ? (4 ? 1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2,

? 4m ? 4( M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,? 存在整数m满足要求.
故当且仅当 p=3 ,s ? N 时,命题成立.
s

?

?

二、点列综合题
例 11 设曲线 c : y ? x ( x ? 0) 上的点为 P0 ( x0 , y 0 ), 过 P0 作曲线 c 的切线与 x 轴交于 Q1,
2

过 Q1 作平行于 y 轴的直线与曲线 c 交于 P ( x1 , y1 ) ,然后再过 P1 作曲线 c 的切线交 x 轴于 1 Q2,过 Q2 作平行于 y 轴的直线与曲线 c 交于 P2 ( x 2 , y 2 ) ,依此类推,作出以下各点:P0, Q1,P1,Q2,P2,Q3,?Pn,Qn+1?,已知 x0 ? 2 ,设 Pn ( x n , y n )( n ? N ) (1)求出过点 P0 的切线方程; (2)设 x n ? f (n), 求 f (n) 的表达式; (3)设 S n ? x0 ? x1 ? ? ? x n , 求 解:(1) ? k0 ? 2 x0 ? 4 ∴过点 P0 的切线段为 y ? 4 ? 4( x ? 2) 即 4 x ? y ? 4 ? 0 (2)? k n ? 2 x n
2 ∴过点 Pn 的切线方程为 y ? x n ? 2 x n ( x ? x n )

2 将 Qn?1 ( xn?1 ,0) 的坐标代入方程得: ? xn ? 2 xn ( xn ?1 ? xn )

? x n ?1 ?

xn x 1 ? n ?1 ? 2 xn 2

故数列 { x n } 是首项为 x0 ? 2, 公比为 1 的等比数列
2

1 1 ? xn ? f (n) ? 2 ? ( ) n 即f (n) ? ( ) n?1 2 2

(3)

? Sn ?

2(1 ?

1 ) 2 n?1 ? S ? 4(1 ? 1 ) n 1 2 n ?1 1? 2

? lim S n ? lim 4(1 ?
n ?? n ??

1 )?4 2 n?1

例 12 已 知 点 P a, 满 足 : a ? · b ? n ? a b, 1 n n ? 1 n ? 1 n n b n

?

?

b n , ,且已知 nN ? 2 1a ? n

? 1 2? P0 ? , ? ? 3 3?
(1)求过点 P ,P 的直线 l 的方程; 0 1

(2)判断点 Pn ?n ? 2? 与直线 l 的位置关系,并证明你的结论; (3)求点 Pn 的极限位置。 解:(1)由 a ? ,0 ? ,得: b 0

1 3

2 3

2 3 1 3 1 b ? 3 2 ? ,1 ? ? ? a 1 4 3 4 4 ?1 ? 1?? ? ?3 ?
显然直线 l 的方程为 x?y? 1 (2)由 a ? ,1 ? ,得: b 1

1 4

3 4

3 4 1 4 1 b ? 4 2 ? ,2 ? ? ? a 2 5 4 5 5 ?1 ? 1 ? ? ? ?4 ?
∴点 P ? ,猜想点 Pn ?n ? 2? 在直线 l 上,以下用数学归纳法证明: l 2 当 n=2 时,点 P ? l 2 假设当 n k k 2时,点 P ? ,即 a ?k ? ? ( ?) l k k b 1 当n k 1 ? ?时,

a b ab b ·k k? ? ? k 1 ? 1 k k? ? 1 ? 1
? ?1? ak ?bk?1 ? ?1? ak ? ?1
∴点 P 1 ? l k?

bk b ? k 2 1? ak 1? ak

? ?? 综上,点 P l n 2 ? n
·n , ?? (3)由 a? b b? n2 ab 1 ,得: n ? a n, 1 n ? 1 ? 1 n n b 1n ? a

b 1a ? a a 1? n a · n 2?n a · n ? n ? n? ? a 0 n ? 2 ?n 1a ?n 1a 1a ?n 1 1 ? ? ? 1 a1 a n ? n
∴数列 ?

? 1 ? 1 ? 是以 ? 3 为首项,公差为 1 的等差数列 a0 ?an ?

?

1 1 ? 3 ? n, an ? an n? 3

1 n? 2 ? n? 3 n? 3 1 ? lim a n ? lim ? 0 n? ? n? ? n ? 3 2 1? n? 2 n ? 1 lim bn ? lim ? lim n? ? n? ? n ? 3 n? ? 3 1? n bn ? 1 ? a n ? 1 ?
? ??, P ? 1 ? 0 ? P n
即点 Pn 的极限位置为点 P(0,1) 例 13 如图, P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, Pn ( xn , yn ), (0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ) 是曲线 1

C : y 2 ? 3x ( y ? 0) 上的 n 个点, Ai (ai , 0) (i ? 1, 2,3,?, n) 在 x 轴的正半轴上, Ai ?1 Ai Pi ? 点
是正三角形( A0 是坐标原点) .(Ⅰ) 写出 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求出点 An (an , 0)( n ? N *) 的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn ? 式 t ? 2mt ?
2

1 1 1 1 ,1 ? ? ??? ,若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1 ? 时,不等 an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

. 解:(Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12 . (Ⅱ)依题意 An (an , 0), An ?1 (an ?1 , 0) ,则

xn ?

an ?1 ? an ? a ? an , yn ? 3 ? n ?1 2 2 ?

? ?? 3分 ?

y P3 P2 P1 A0 O A1 A2 A3 x

在正三角形 Pn An ?1 An 中,有

yn ?

3 3 | An ?1 An |? (an ? an ?1 ) . 2 2

3 ? a ? an ? ? 3 ? n ?1 ? ? 2 (an ? an ?1 ) . 2 ? ?
? an ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ) ,

? an 2 ? 2an?1an ? an?12 ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2, n ? N *) ,
同理可得 an ?1 ? 2an ?1 an ? an ? 2(an ?1 ? an )
2 2

① ②

(n ? N *) .

①-②并变形得

(an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 2an ? 2) ? 0 (n ? 2, n ? N *)
? an ?1 ? an ?1 ,

? an?1 ? an?1 ? 2an ? 2 ? 0 , ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? 2 (n ? 2, n ? N *) .
∴数列 ?an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,公差为 2 的等差数列.

? an?1 ? an ? 2(n ? 1), (n ? N *) , ?????????????? 7 分
? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ,

? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? n2 ? n .

? an ? n(n ? 1) (n ? N *) .
(Ⅲ)解法 1 :∵ bn ?

1 1 1 1 ? ? ? ?? (n ? N *) , an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n 1 ? 1 an ? 4
?

∴ bn ?1 ?

1 an ? 2

?
1

an ?3
?

???
1 an ?1

1 a2 n ? 2

(n ? N *) .

? bn ?1 ? bn ?

1 a2 n ? 2

a2 n ?1

?

1 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 2)(2n ? 3) (n ? 1)(n ? 2)
?2(2n 2 ? 2n ? 1) . (2n ? 1)(2n ? 2)(2n ? 3)(n ? 2)

?

∴当 n ? N * 时,上式恒为负值, ∴当 n ? N * 时, bn ?1 ? bn , ∴数列 ?bn ? 是递减数列.

? bn 的最大值为 b1 ?

1 1 ? . a2 6
2

若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1,1 时,不等式 t ? 2mt ? ?

1 ? bn 恒成立,则不等 式 6

t 2 ? 2mt ?

1 1 ? 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立,即不等式 t 2 ? 2mt ? 0 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立. 6 6
2

设 f (m) ? t ? 2mt ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0 ,

?t 2 ? 2t ? 0 ? ∴? 2 ?t ? 2t ? 0 ?
解之,得

t ? ?2 或 t ? 2 ,

即 t 的取值范围是 (??, ?2) ? (2, ??) .

B A ? ,P1 为 AB 边上的一点, BP≠ AB , 例 14 △ABC 中,|AB|=|AC|=1, A · C 1
从 P1 向 BC 作垂线,垂足是 Q1;从 Q1 向 CA 作垂线,垂足是 R1;从 R1 向 AB 作垂线,垂 足是 P2,再由 P2 开始重复上述作法,依次得 Q2,R2,P3;Q3,R3,P4?? (1)令 BPn 为 xn,寻求 BPn 与 BP (即 x 与n?1)之间的关系。 x n n?1

? ? 1 2

2 3

,3 4 P , ?是否一定趋向于某一个定点 , n (2)点列 PPPP? 1 2
P0?说明理由;

B 1 |B1| (3)若 |A |? , P? ,则是否存在正整数 m,使点 P0 与
Pm 之间的距离小于 0.001?若存在,求 m 的最小值。

1 3

BC ∴? · ? ∠6 B 0 A 解:(1)由|AB|=|AC|=1, A A , C ° 2
从而△ABC 为边长为 1 的正三角形

? 1 ?

则 B x则 n,于是 B ?P c 6 ? x Q B o0 · ° n s Pn B ? ? ,? Px n n n n ? 1 1 ∴ C n ?1? x Q n

1 2

1 2

1 1 C Qo ° ?n RC c6 ?1 x ?n s · 0 ( ) n 2 2 1 1 11 A ? (?x ??x R1 1 n ? ) n n 2 2 24 1 1 1 又 A ? n c 0? ? n P A o R s ·° 6 ( x ) n ? 1 2 4 2 1 1 1 31 B ? ( ?x ?? n P 1 ? ) x n ? 1 n 2 4 2 48 3 1 即 x ?1 ? ? x n n 4 8 2 1 2 (2)由(1)可得: x? ? ? ( n? ) ? x n1 3 8 3 2 2 2 1 ∴ { }x 时 x , ,为 为 ?当 是 首 ? ≠ x 以项 ? , 的等比数列 公 比 n 1 1 3 3 3 8 2 2 1? ∴ x ? ?x? )?) (1 ( n1 n 3 3 8 2 当 n ? 时x ? ?? , n 3 2 ∴点 Pn 趋向点 P0,其中 P0 在 AB 上,且 BP0 ? 3 2 2 1 1 ? 1 1 1 (3) P?? x | ) ? ) P m ||1 ( m ( m | ? ? ? 0 mx 3 3 8 3 8 1 0 0 ? 1 ? 1 1 0 由 |0 | 0得 0, P . 1 ) ? 3 8? P 0 (m . ? 0 0∴ 0 m m 8 3 00 m 1 10 当m 4 , ? ? 时8? 3
同样 ∴ m?4 m , 的最小值为 4

例 15 已知曲线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0(n ? 1, 2,?) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为
2 2

kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

2 2 解 : ( 1) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x ? 2nx ? y ? 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 kn n2 n 2n ? 1 n x ? ? , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ? 2 2 1 ? k n ( n ? 1) n ?1 n ?1 2 n

1 ? xn ( 2) 证 明 : ∵ ? 1 ? xn

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 ? ????? ? ? ? ???? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1
1 ? xn 1 ? xn

1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ' ? ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ( x) ? 1 ? 2 cos x , 2n ? 1 1 ? xn
2 ? ? ' , 给定区间 (0, ) , 则有 f ( x ) ? 0 , 则函数 f (x) 在 (0, ) 上 2 4 4

' 令 f ( x ) ? 0 , cos x ? 得

单调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ?

? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 4

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ? 2 sin ,即 ? 2 sin n . 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn

例 16 数轴上有一列点 P1,P2,P3,…,Pn,…,已知当 n ? 2 时,点 Pn 是把线段 Pn – 1 Pn+1 作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点,设线段 P1P2,P2P3,…,Pn Pn + 1 的长度分别为 a1,a2, a3,…,an,其中 a1 = 1. (1)写出 a2,a3 和 an( n ? 2 , n ? N * )的表达式; (2)证明 a1 + a2 + a3 +…+an < 3( n ? N * ); (3)设点 Mn( n,an)(n > 2, n ? N * ),在这些点中是否存在两个点同时在函数 k y? (k ? 0) 的图像上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由. ( x ? 1)2 .解:(1) 由已知 Pn?1 Pn ? (n ? 1) Pn Pn ?1 ,

令 n = 2,P1P2 = P2P3,所以 a2 = 1, 令 n = 3,P2P3 = 2P3P4,所以 a3 ? 同理,
an 1 . ? an ?1 n ? 1

1 , 2

所以 an ? (2) 因为

1 1 1 1 1 1 1 an ?1 ? ? an ? 2 ? ? ? ? ? ?? 1 (n ? 2) n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 2 (n ? 1)!

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) (n ? 1)! 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? 1) 2?2?2?? 2 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?2 1! 2! (n ? 1)! 2 2 2

所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 ?

1 1 ? ( ) n ?1 1 2 ?1? ? 3 ? ( ) n ? 2 ? 3 ( n ? 2) . 1 2 1? 2

而 n = 1 时,易知 a1 = 1 < 3 成立,所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3 (n ? N * ) (3) 假设有两个点 A(p,ap),B(q,aq) ( p ? q,p、q ? N *,且p ? 2,q ? 2) ,都 在函数 y ? 即 ap ?
k ( x ? 1)2

( p ? 1) 2 (q ? 1) 2 k k ? k, ?k. .所以 ,aq ? ( p ? 1)! (q ? 1)! ( p ? 1)2 (q ? 1)2 ( p ? 1)2 (q ? 1) 2 ? ,……① ( p ? 1)! (q ? 1)!

消去 k 得

以下考查数列{bn}, bn ?

n2 的增减情况, n! n2 (n ? 1)2 n ? (n ? 1)2 n2 ? 3n ? 1 , bn ? bn ?1 ? ? ? ?? n! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)!

当 n > 2 时,n2 – 3n + 1 > 0,所以对于函数{bn}有 b2 > b3 > b4 > ? > bn > ? 所以①式不能成立, k 所以,不可能有两个点同时在函数 y ? 图像上. ( x ? 1) 2 例 17 在直角坐标系中,有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn),?对每一个 正整数 n,点 Pn 在给定的函数 y=log3(2x)的图像上.而在递增数列{an}中,an 与 an+1 是 关于 x 的方程 4x2-8nx+4n2-1=0(n∈N*)的两个根. (Ⅰ)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; c1 c2 cn b (Ⅱ)记 cn=3 n,n∈N*.证明 + 2+?+ n<3; 2 2 2 1 1 解:(Ⅰ)解方程 4x2-8nx+4n2-1=0,得 x1=n- ,x2=n- , 2 2 1 1 1 ∵{an}是递增数列,∴an=n- ,an+1=n- ,即 an=n- ( n∈N*), 2 2 2 又因为 Pn(an,bn)在函数 y=log3(2x)的图像上,所以 bn=log3(2n-1).

b (Ⅱ)因为 cn=3 n,n∈N*,所以 cn=2n-1 2n-1 c1 c2 cn 1 3 设 Dn= + 2+?+ n,即 Dn= + 2+?+ n , 2 2 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 所以 Dn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 ② ①

2n-1 1 1 1 1 1 由①-②得 Dn= + + 2+?+ n?1- n+1 ,则 2 2 2 2 2 2 1 1-( )n?1 2 2n-1 2n-1 1 1 1 所以 Dn=1+1+ + 2+? n?2- n =1+ - n 2 2 2 1 2 2 1- 2 2n-1 1 =3- n?2- n <3, 2 2 例 18 已知点列 B1(1,y1)、B2(2,y2)、?、Bn(n,yn)(n∈N)顺次为一次函数 y ?
1 4 1 x ? 12 图像

上的点,点列 A1(x1,0)、A2(x2,0)、?、An(xn,0)(n∈N)顺次为 x 轴正半轴上的点,其中 x1=a(0<a<1),对于任意 n∈N,点 An、Bn、An+1 构成一个顶角的顶点为 Bn 的等腰三角形。 ⑴求数列{yn}的通项公式,并证明{yn}是等差数列; ⑵证明 xn+2-xn 为常数,并求出数列{xn}的通项公式; ⑶在上述等腰三角形 AnBnAn+1 中,是否存在直角三角形?若有,求出此时 a 值;若不存在, 请说明理由。
1 1 解: (1) yn ? 4 n ? 12 (n?N),∵yn+1-yn= 4 ,∴{yn}为等差数列

1

(2)因为 ?An Bn An ?1 与 ?An ?1 Bn ?1 An ? 2 为等腰三角形.

? xn ? xn ?1 ?n ? ? 2 所以 ? ,两式相减得 x n ? 2 ? x n ? 2 。 ? xn ?1 ? xn ? 2 ? n ? 1 ? ? 2
注:判断 x n ? 2 ? x n ? 2 得 2 分,证明得 1 分 ∴x1,x3,x5,?,x2n-1 及 x2,x4,x6 ,?,x2n 都是公差为 2 的等差数列, ∴ xn ? ?n ? a ? 1 (当n为奇数) ?
? n-a (当n为偶数)
1 1 (3)要使 AnBnAn+1 为直角三形,则 |AnAn+1|=2 y B n =2( n ? 12 )?xn+1-xn=2( n ? 12 ) 4 4

当 n 为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).

1 11 ?2(1-a)=2( n ? 12 ) ?a= 12 ? n (n 为奇数,0<a<1) (*) 4 4

取 n=1,得 a= 3 ,取 n=3,得 a= 6 ,若 n≥5,则(*)无解; 当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
1 1 ∴2a=2( n ? 12 )?a= n ? 12 (n 为偶数,0<a<1) (*?), 4 4

2

1

取 n=2,得 a= 12 ,若 n≥4,则(*?)无解. 综上可知,存在直角三形,此时 a 的值为 3 、 6 、 12 .
2

7

1

7

三、数列与向量交汇的综合题
已知Sn 为数列?an ? 的前n项和, = ?S n ,1? , b = ? 1,2a n ? 2 n ?1 , a ? b a 例 19
(1)求证: ? (2) 若 bn ?
? ?

?

?

?

?

? an ? 为等差数列; n ? ?2 ?

n ? 2011 a n ,问是否存在 n0 , 对于任意 k ( k ? N ? ),不等式 bk ? bn0 成立. n ?1
?

解(1)? a ? b

?

? ? S n ? 2a n ? 2 n ?1 ? 0
? S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 n ? 2 ? 0

? a n ?1 ? 2a n ? 2 n ?1

?

a n ?1 a n ? ?1 2 n ?1 2 n

?a ? ? ? n ? 为等差数列 n ?2 ?

an ? ?2 ? (n ? 1) ? ?(n ? 1) 2n ? bn ? ?2011 ? n ?2 n
(2)

令bn ?1 ? bn n ? 2009

?2010 ? n ?2 n ?1 ? ?2011 ? n ?2 n

bn的最大值为b2010 ? b2009 ? n0 ? 2009 或2010
例 20 在直角坐标平面中,已知点 P (1,2), P2 (2,2 ), P3 (3,2 ), ? Pn (n,2 ) ,其中 n 是正整 1 数, 对平面上任一点 A0, A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, 2 为 A1 关于点 P2 的对称点, 记 A ??, An 为 An-1 关于点 Pn 的对称点. (1)求向量 A0 A2 的坐标; (2)对任意偶数 n,用 n 表示向量 A0 An 的坐标. (1)设 An ( x n , y n ), ? An 与An ?1 关于点Pn (n, 2 n ) 对称
2 3 n

? x n ? x n ?1 ? 2n ? x1 ? 2 ? x 0 ? x 2 ? 4 ? x1 ? 2 ? x 0 ?? ?? ,? y n ? y n ?1 ? 2 n ?1 ? y1 ? 4 ? y 0 ? y 2 ? 8 ? y1 ? 4 ? y 0 ?
故 A0 A2 ? ( x 2 ? x0 , y 2 ? y 0 ) ? (2,4) (2)? ?

? x n ? x n ?1 ? 2n ? x n ?1 ? 2(n ? 1) ? x n ? 2 ? x n ?1 ? x n ?1 ? x n ?1 ? 2 ? x n ?1 ? x n ? 2(n ? 1)

n ?1 ? An ?1 An ?1 ? ( x n ?1 ? x n ?1 , y n ?1 ? y n ?1 ) ? (2, 2 n ?1 ) 同理可得: y n ?1 ? y n ?1 ? 2

故 A0 An ? A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An ?2 An
n ? ? 2 ? n 2 (1 ? 4 2 ) ? ? 2 n ? 2 ? 4 ? 2 4 n ? ? (2,2 ) ? (2,2 ) ? ? ? (2,2 ) ? ? 2 ? , ? ? ? n, 2 1? 4 ? ? 3 ? ? ? ? ? ?

, 例 21 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 a2 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 、 S n 、 S n ?1 (n ≥2)

分 别 是 直 线 l 上 的 点 A 、 B 、 C 的 横 坐 标 , AB ?

??? ?

? 2an ? 1 ??? BC , 设 b1 ? 1 , an

bn ?1 ? log 2 (an ? 1) ? bn .
⑴ 判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论;
n 4 ,证明: ? C k ? 1 . an an ?1 k ?1

⑵ 设 cn ?

bn?1 ?1 n ?1

解:⑴由题意得

Sn ?1 ? Sn 2an ? 1 ? ? an ?1 ? 2an ? 1 Sn ? Sn ?1 an
? 1 ? 2(an ? 1) (n≥2),又∵ a1 ? 1 , a2 ? 3
n

?a

n ?1

? 数列 {a
[则 an ? 1 ? 2
n
n

? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比数列。
n

?a

? 2n ? 1 ( n ? N * )]

⑵由 an ? 2 ? 1 及 bn ?1 ? log 2 (an ? 1) ? bn 得 bn ?1 ? bn ? n

?b
?C
k ?1 n k

n

? 1?

n(n ? 1) , 2

则 cn ?

1 1 4 2n ? n ? n ?1 ? n n ?1 an an ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

bn?1 ?1 n ?1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? ? 2 ? 3 ? 4 ? n?1 ??? 2 ??? 3 ? ??? ? n ? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1?
1 2
n ?1

? 1?

?1

?1

四、数列与函数交汇的综合题
例 22 已知函数 f ( x) ?

( x ? 1)4 ? ( x ? 1) 4 ( x ? 0 )。 ( x ? 1)4 ? ( x ? 1)4

(Ⅰ)若 f ( x) ? x 且 x ?R ,则称 x 为 f ( x) 的实不动点,求 f ( x) 的实不动点; (错误! 未找到引用源。 在数列 {an } 中,a1 ? 2 ,an ?1 ? f (an )( n ? N ? ) 求数列 {an } ) , 的通项公式。 解:(Ⅰ)由 f ( x) ?

x4 ? 6 x2 ? 1 及 f ( x) ? x 得 4 x3 ? 4 x

1 x4 ? 6 x2 ? 1 ? x ? 3x 4 ? 2 x 2 ? 1 ? 0 ? x 2 ? 1 或 x 2 ? ? (舍去), 3 3 4x ? 4x
所以 x ? 1 或 ?1 ,即 f ( x) 的实不动点为 x ? 1 或 x ? ?1 ; ( 错 误 ! 未 找 到 引 用 源
4













(a ? 1) 4 ? (an ? 1) 4 a ? 1 (an ? 1) 4 ? an ? 1 ? an ?1 ? n ? n ?1 ? ?? ? ,从而有 (an ? 1) 4 ? (an ? 1) 4 an ?1 ? 1 (an ? 1) 4 ? an ? 1 ?
ln an ?1 ? 1 a ?1 , ? 4ln n an ?1 ? 1 an ? 1

由此及 ln

? a ? 1? a1 ? 1 ? ln 3 ? 0 知:数列 ?ln n ? 是首项为 ln 3 ,公比为 4 的等比数列,故有 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

a ?1 a ? 1 4n?1 34 ? 1 ln n ? 4n ?1 ln 3 ? n ? 3 ? an ? 4n?1 ( n ? N ? )。 an ? 1 an ? 1 3 ?1

n?1

例 23 二次函数 f ( x)符合f ( x) ? 0, 且f ( x) ? 2 x 2恒成立,f (1) ? 1 (1)求 f (0) 并求 f ( x) 的解析式; (2)若 an ?

f (1) f (2) f ( n) 1 ? ??? , bn ? , 求数列 ?bn ? 前n项和S n . 并求 lim Sn . n ?? 1 2 n an

(3)若 cn ?1 ? f (cn ), 且c1 ? 2, 记Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn , 求符合 Tn ? 2008 最小自然数 n.

f ? .解:(1) f (0) ? 0 又: (0) ? 2 ? 0 ? 0    f (0) ? 0
2

f ( x) ? ax 2 ? bx  对称轴x ? 0即b ? 0  f ( x) ? ax 2 ? ? ? 又 f (1) ? 1   a ? 1   f ( x) ? x
( 2 ) an ?
2

12 22 n2 n(n ? 1) ? ?? ? ? 1? 2 ?? ? n ? 1 2 n 2
1 n ?1

bn ?

2 1 1 ? ( ? 2 ) n( n 1 ) ? n ? n 1
2 .

Sn ? 2 ( ? 1

S ) ; l i mn ?
n ??
2

1 ? l? i m 2 ( ? n ?? n ?1 ?
n ?1

? 1? ? ?

)

C (3) C1 ? 2.  n ?1 ? (Cn )

? Cn ? 2 2
n?1

?Tn ? 21 ? 22 ? 24 ? 28 ? 22

? 2(1? 2? 4??? 2

n?1

)

? 2(2

n

?1)

? 2008

? n ? 4 , nm i n? 4 ?
例 24 已知函数 f ?x ? ?
1 4 ?2
x

?x ? R ? ,点 P1 ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y 2 ? 是函数 f ?x ? 图像上的两个
1 . 2

点,且线段 P1 P2 的中点 P 的横坐标为 ⑴求证:点 P 的纵坐标是定值; ⑵若数列 ?a n ? 的通项公式为 an ? f ?

?n? ? ?m?

?m ? N , n ? 1,2,?, m? ,求数列 ?a n ? 的前

m 项的和

Sm ;
解:⑴由题可知: x1 ? x2 ? 2 ?
y1 ? y 2 ? f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ? 4 ?4
x1 x2

1 ? 1,所以, 2
? 1 4 x2 ? 2
x2 x2

1 4 x1 ? 2 ?
x1

?

?4

4 x1 ? 4 x2 ? 4
x1

? 2 4 x2 ? 2

??

?

4

x1 ? x 2

?2 4 ?4
x1

?

?4
x2

?? 4

4 ?4

2 4 ?4
x1

?

?4 ?4

?

?

1 2

点 P 的纵坐标 y P ?

y1 ? y 2 1 ? 是定值,问题得证. 2 4
?n? ?m?n? 1 ?? f ? ? ? 恒成立. ?m? ? m ? 2

⑵由⑴可知:对任意自然数 m, n , f ? 由于 S m ? f ?

?1? ?2? ? m?2? ? m ?1 ? ?m? ? ? f ? ? ??? f ? ?? f ? ? ? f ? ? ,故可考虑利用倒写求和的方 ?m? ?m? ? m ? ? m ? ?m?

?1? ?2? ?m?2? ? m ?1 ? ?m? Sm ? f ? ? ? f ? ? ??? f ? ?? f ? ?? f ? ? ?m? ?m? ? m ? ? m ? ?m? 法.即由于: ?m? ? m ?1 ? ?m?2? ?2? ?1? ? f ? ?? f ? ?? f ? ? ??? f ? ? ? f ? ? m? m ? m ? m? ? ? ? ? ?m?

? ?1? ? ? m ?1 ? ? m ? 1 ?? ? ? 2 ? ? m ? 2 ?? ? 1 ?? ?m? 2S m ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? 2 f ? ? ? m ?? ? ? m ? ? m ?? ? m ?? ?m? ? ?m? ? ? m ? 所以, 1 1 ? ?m ? 1? ? 2 f (1) ? ?3m ? 1? 2 6

所以, S m ?

1 ?3m ? 1? 12

例 25 设 f1(x)=

f (0) ? 1 2 ,定义 fn+1 (x)= f1[fn(x)],an = n (n∈N*). 1? x f n (0) ? 2

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n ,Qn= Qn 的大小,并说明理由.

4n 2 ? n (n∈N*),试比较 9T2n 与 2 4n ? 4n ? 1

解:(1)∵f1(0)=2,a1=

2 ?1 1 2 = ,fn+1(0)= f1[fn(0)]= , 2?2 4 1 ? f n (0)

2 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n ( 0) 1 f n (0) ? 1 1 ∴an+1= = = == - an. 2 2 f n (0) ? 2 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n ( 0) ?2 1 ? f n ( 0)
∴数列{an}是首项为

1 1 1 1 ,公比为- 的等比数列,∴an= ( ? )n?1. 4 2 4 2

(2)∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+?+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n, ∴?

1 1 1 1 1 1 T2 n= (- a1)+(- )2a 2+(- )3a 3+?+(- )(2n-1)a2 n-1+ (? ) 2na2 n 2 2 2 2 2 2
= a 2+2a 3+?+(2n-1)a2 n-na2 n.

3 T2 n= a1+a2+a 3+?+a2 n+na2 n. 2 1? 1 2n ? ?1 ? (? 2 ) ? 3 1 1 1 1 1 n 1 4? ? ∴ T2n = +n× (- )2n?1= - (- )2n+ (- )2n?1. 1 2 4 2 6 6 2 4 2 1? 2 1 1 1 n 1 1 3n ? 1 T2n = - (- )2n+ (- )2n?1= (1- 2 n ). 9 9 2 6 2 9 2 3n ? 1 ∴9T2n=1- 2 n . 2
两式相减,得 又 Qn=1-

3n ? 1 , (2n ? 1) 2

当 n=1 时,22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n<Q n; 当 n=2 时,22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n<Qn;
0 1 3 n 当 n≥3 时, 2 2 n ? [(1 ? 1) n ] 2 ? (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) 2 ? (2n ? 1) 2 ,

∴9T2 n>Q n. 例 26

(? x 已知函数 f)?

0 x ? ) ? ( 0 n( ) f ) [ n] n x? ?? ?? 1 ( 1

( 1?n * n?n? ? x, N )

,数列

?n (( nN * ) {a n } 满足 a f ) ? n
(I)求数列 {a n } 的通项公式;

?与 ) ( II) 设 x 轴 、 直 线 x a 函 数 y?f(x 的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为

S a 0 ()( ?) a ( nS 1 ?; ) ( ) N n( ) ,求 S? ?n *

(III)在集合 M | ? , ,且 1 0 k 1 0 是否存在正整数 N, ? NkkZ 0 ?? 0 中, { N 2 ? 0 5} 使得不等式 a 0SS ) ? ?? 1 n N 0 ( ( 对一切 ? 恒成立?若存在,则这样的正整数 N 5n n ) ? n1 共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数 N;若不存在,请说明理由。 (IV)请构造一个与 {a n } 有关的数列 {b n } ,使得 l (1 b?存在,并求出 i b 2 ?) m? ? b n
n? ?

这个极限值。 解:(I)? * f n? ? f1 nN ( [nf1 () ? ? () nn n ?? ? ? )n ] ? 1 ()? n

? ?n1 n f () f ?? n ( )

? f (1) ? f ( 0) ? 1 f ( 2 ) ? f (1) ? 2 f ( 3) ? f ( 2 ) ? 3
??

fn fn1 n () ( ? ? ? )
将这 n 个式子相加,得

n 1 (? n) f ) ( ? 2 ?n ( ?) ? 3 ? nf 01 ? ? ? 2
?f (0) ? 0 ?f (n) ? n(n ?1) 2

n? ( 1 n ) ?? a ( ?* nN ) n 2 (II) S ? n1 1 () S ? 为一直角梯形( n? 时为直角三角形)的面积,该梯形的两底 n ( )
边的长分别为 fn 1 fn,高为 1 ( ?) ( ) ,

? f?f ( 1( n? ) n a a ) 1 ?( 1 SS ) (? ? nn ) ? ?n n 1? ? 2 2

?

1 n( n ? 1) n( n ? 1) n2 [ ? ]? 2 2 2 2

(III)设满足条件的正整数 N 存在,则

n( n ? 1) n2 n ? 1005 ? ? ? 1005 ? n ? 2010 2 2 2
又 M ? {2000, 2002 ,? , 2008, 2010, 2012 ,? , 2998}

?1 0 ?8 N0 1 ? ?, , 2 2 0 2 ,9 2均满足条件 9

它们构成首项为 2010,公差为 2 的等差数列。 设共有 m 个满足条件的正整数 N,则 2 ? ? 9 ?9 5 0 2 12 ,解得 m4 1 ( ) 9 0m ?8

? 中满足条件的正整数 N 存在,共有 495 个, N ?00 M 1 m i n 2
(IV)设 b n ?

1 2 1 1 ,即 b ? ?( ? ) 2 n an n ? ( 1 n ) n n1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] ? 2(1 ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 1 显然,其极限存在,并且 l ( ? ? l [? ] 2 i bb ? ? 2 m 2 b i ? n m ) ? 1 n ? ? n ? n ? ? 1
则 b 1 ? b 2 ??? b n ? 2[(1 ? 例 27 函数 (Ⅰ)求证: ; 的定义域为 R,且

(Ⅱ)若 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下记

上的最小值为

,试求 f(x)的解析式; 试比较 与

的大小并证明你的结论. 解:(Ⅰ)∵f(x)定义域为 R,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)在[0,1]上为增函数,

(Ⅲ)

例 28 已知函数 f ( x) ? kx ? m,当x ? [a1 , b1 ] 时, f (x) 的值域为 [a 2 , b2 ] ,当 x ? [a 2 , b2 ] 时, f (x) 的值域为 [ a 3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ? [a n ?1 , bn ?1 ] 时, f (x) 的值域 为

[ a n , bn ] ,其中 k 、m 为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1.
(1)若 k=1,求数列 {a n }, {bn } 的通项公式; (2)项 m=2,问是否存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4 ? 若存在,求 k 的
n ??

值;若不存在,请说明理由; (3)若 k ? 0 ,设数列 {a n }, {bn } 的前 n 项和分别为 Sn,Tn,求
[来源:学&科&网]

(T1 ? T2 ? ? ? T2010 ) ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S 2010 ) 。
解:(1)因为 f ( x) ? x ? m,当x ? [a n?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数, 所以其值域为 [a n ?1 ? m, bn ?1 ? m] 于是 a n ? a n ?1 ? m, bn ? bn ?1 ? m(n ? N * , n ? 2) 又 a1 ? 0, b1 ? 1, 所以a n ? (n ? 1)m, bn ? 1 ? (n ? 1)m. (2)因为 f ( x) ? x ? mf ( x) ? kx ? m(k ? 0), 当x ? [a n?1 , bn ?1 ]时, f ( x)为单调增函数

[ 所以 f ( x)的值域为 kan ?1 ? m, kbn ?1 ? m],因m ? 2, 则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ??8 分
法一:假设存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn }满足 lim bn ? 4, 则 lim bn ? k lim bn ?1 ? 2 ,
n ?? n ?? n ??

得 4 ? 4k ? 2, 则k ?

1 符合。 2
n??

法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4. 当 k=1 不符 合。??9 分 当 k ? 1时, bn ? kbn ?1 ? 2(n ? 2) ? bn ? 则 bn ? (1 ?

2 2 ? k (bn?1 ? )( n ? 2) , k ?1 k ?1

[来源:Z+xx+k.Com]

2 2 )k n ?1 ? , k ?1 k ?1

当 0 ? k ? 1时, lim bn ?
n ??

2 1 ? 4, 得k ? 符合. 1? k 2

(3)因为 k ? 0,当x ? [a n ?1 , bn ?1 ]时, f ( x)为单调减函数, 所以 f (x) 的值域为 [kbn ?1 ? m, kan ?1 ? m] 于是 a n ? kbn ?1 ? m, bn ? kan ?1 ? m(n ? N * , n ? 2) 则 bn ? a n ? ?k (bn ?1 ? a n?1 ) 又 b1 ? a1 ? 1

?i, (k ? ?1) ? 则有 Ti ? S i ? ?1 ? ( ? k ) i , (k ? 0, k ? ?1) ? ? 1? k
进而有

[来 xxk.Com]

?2021055 , (k ? ?1) ? (T1 ? T2 ? ? ? T2010 ) ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S 2010 ) ? ? 2010 ? 2011 k ? k 2011 , (k ? 0, k ? ?1) ? (1 ? k ) 2 ?
????18 分

例 29

1 1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? , f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 2 4 (Ⅰ)若数列 {an } 满足:a1 ? 1 ,an ?1 ? f ?(an ) ? f ?(n)( n ? N ? ),求数列 {an }

的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: b1 ? b , bn ?1 ? 2 f (bn ) ( n ? N ? ). ⅰ.当 b ?
1 时,数列 {bn } 是否为等差数列?若是,请求出数列 {bn } 的通 2

项 bn ;若不是,请说明理由; ⅱ.当
n 1 2 1 ? b ? 1 时, 求证: ? ? . 2b ? 1 2 i ?1 bi

1 , 2 1 1 ? an ?1 ? (2an ? ) ? (2n ? ) ? 2an ? 2n ? 1 , 2 2
解:(Ⅰ)? f ?( x) ? 2 x ?

即 an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2(an ? 2n ? 1) .

? a1 ? 1 ,

? 数列 {an ? 2n ? 1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.

? an ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n ?1 ,即 an ? 2n ?1 ? 2n ? 1 .
(Ⅱ)(ⅰ)? bn ?1 ? 2 f (bn ) ? 2bn ? bn ?
2

1 , 2

1 ? bn ?1 ? bn ? 2(bn ? ) 2 . 2 1 1 ? 当 b1 ? 时, b2 ? . 2 2 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk . 2
由数学归纳法,得出数列 {bn } 为常数数列,是等差数列,其通项为 bn ?

1 . 2

1 1 2 , ? bn ?1 ? bn ? 2(bn ? ) . 2 2 1 1 ? 当 ? b1 ? 1 时, b2 ? b1 ? . 2 2 1 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk ? . 2 2 1 由数学归纳法,得出数列 bn ? (n ? 1, 2, 3, ? ) . 2 1 1 又? bn ?1 ? ? 2bn (bn ? ) , 2 2
(ⅱ)? bn ?1 ? 2bn ? bn ?
2

?

1 1 1 ? ? , bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn 2 2 1 1 1 ? ? . 1 bn bn ? 2 bn ?1 ? 1 2
n 1 1 1 1 1 ? ?( ? )? ? . 1 1 1 bi ?1 ? 2 b1 ? 2 bn ?1 ? 1 i ?1 bi ? 2 i ?1 bi 2



??

n

? bn ?1 ?
??
i ?1 n

1 , 2

1 1 2 ? ? . bi b1 ? 1 2b ? 1 2
f k'?1 ( x) ,其中 k ? n(n, k ? N ? ) , f k ?1 (1)
k 2 n 2

n 例 30 已知 f 0 ( x) ? x , f k ( x) ?

设 F ( x) ? Cn f 0 ( x ) ? Cn f1 ( x ) ? ... ? Cn f k ( x ) ? ... ? Cn f n ( x ) , x ? ? ?1,1? .
0 2 1 2

(I) 写出 f k (1) ; (II) 证明:对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 2 【解析】(I)由已知推得 f k ( x) ? (n ? k ? 1) x (II) 证法 1:当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n?2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ?k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1
n?k

n ?1

(n ? 2) ? n ? 1 .

,从而有 f k (1) ? n ? k ? 1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1 n n n 1 0 ? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn ? 2 ... ? (n ? k ? 1)Cn ? k ? ... ? 2Cn ? Cn n n n ? (n ? k ? 1)Cn ? k ? (n ? k )Cn ? k ? Cn ? k k k ? nCn ?1 ? Cn (k ? 1, 2,3? n ? 1) 1 2 k? 1 2 n 0 F (1) ? F (0) ? n(Cn ?1 ? Cn ?1... ? Cn ?11 ) ? (Cn ? Cn ... ? Cn ?1 ) ? Cn

? n(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 1 ? 2n ?1 (n ? 2) ? n ? 1
因此结论成立. 证法 2: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n?2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ?k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1

又因 F (1) ? F (0) ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? kCn
1 2 1 2

k ?1

n 0 ? ... ? nCn ?1 ? Cn k ?1 n 0 ? ... ? Cn ?1 ] ? 2Cn

所以 2[ F (1) ? F (0)] ? (n ? 2)[Cn ? Cn ? ... ? Cn

F (1) ? F (0) ? ?

n?2 1 2 k n 0 [Cn ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? ... ? Cn ?1 ] ? Cn 2

n?2 n (2 ? 2) ? 1 ? 2n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1 2

因此结论成立. 证法 3: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n?2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ?k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1
1 2 k n x[(1 ? x) n ? x n ] ? x[Cn x n ?1 ? Cn x n ? 2 ? ...Cn x n ? k ? .. ? Cn ?1 x ? 1] 1 2 k n ? Cn x n ? Cn x n ?1 ? ...Cn x n ? k ?1 ? .. ? Cn ?1 x 2 ? x



对上式两边求导得
1 2 k n (1 ? x)n ? x n ? nx(1 ? x)n ?1 ? nx n ? nCn x n ?1 ? (n ? 1)Cn x n ?2 ? ...(n ? k ? 1)Cn x n ?k ? .. ? 2Cn ?1 x ? 1

F ( x) ? (1 ? x 2 )n ? nx 2 (1 ? x 2 )n?1 ? nx 2 n ? F (1) ? F (0) ? 2n ? n2n?1 ? n ? 1 ? (n ? 2)2n?1 ? n ? 1
因此结论成立.

五、数列与不等式交汇的综合题
例 31 已知数列 {an } 满足. a n

? an?1 ?

1 2 an?1 (n ? N *) n2

(1)若数列 {an } 是以常数 a1 首项,公差也为 a1 的等差数列,求 a1 的值; (2)若 a0 ? (3)若 a0 ?

1 1 1 1 ? ? 2 对任意 n ? N ? 都成立; ,求证: an ?1 an n 2

1 n ?1 ,求证: ? an ? n 对任意 n ? N ? 都成立. 2 n?2 1 2 1 2 ? 解 (1)由 an ? an ?1 ? 2 a n ?1 (n ? N ) 得: a1 ? 2 ? a1 ? (n ? 2)a1 ? n n

即 a1 ? (

n ?1 2 2 ) a1 ,求得 a1 ? 0 n2 1 an an ?1 , n2

(2)由 an ? an ?1 ? 0 知 an ? an ?1 ? 两边同除以 an an ?1 ,得

1 1 1 ? ? 2 an ?1 an n

(3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) a0 an a0 a1 a1 a2 an ?1 an

? 1?

1 1 1 ? 2 ??? 2 2 2 3 n

? 1?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 3 3 4 4 5 (n ? 1) n

1 1 ,将 a0 ? 代入,得 an ? n ; ㈠ n 2 1 n ?1 ? an?1 ? n ? 1 ? an ? an?1 ? 2 a 2 n?1 ? an ?1 ? 2 an ?1 n n ? 2?
an ?1 ? n2 an n2 ? n ? 1

an ? an ?1 ?

1 n2 an ?1 ? 2 an n2 n ? n ?1

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? an ?1 an n ? n ? 1 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) a1 an a1 a2 a2 a3 an ?1 an

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 3 3 4 n n ?1
? 1 5 1 n?2 ? ? ? an 6 n ? 1 n ? 1

?

1 1 ? 2 n ?1


而 a1 ?

3 , 4

? an ?

n ?1 n?2

由㈠㈡知,命题成立. 例 32 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, a n ?

Sn ? 2( n ? 1) 。 n

(1)求证:数列 {an } 为等差数列,并分别求出 a n 、 S n 的表达式;

1 1 1 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? ; a n a n?1 5 4 S S S 2 (3) 是否存在自然数 n,使得 S 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ( n ? 1) ? 2009 ?若存在, 求出 n 2 3 n
(2)设数列 { 的值;若不存在,请说明理由。

又易知 Tn 单调递增,故 Tn ? T1 ? (3)由 S n ? na n ? 2n( n ? 1) 得

1 1 1 ,得 ? Tn ? 5 5 4

Sn ? 2n ? 1 n

S S2 S3 ? ? ? ? n ? ( n ? 1) 2 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2n ? 1) ? ( n ? 1) 2 2 3 n = 2n ? 1 ??13 分 由 2n ? 1 ? 2009,得 n=1005,即存在满足条件的自然数 n=1005. S1 ?

例 33 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

2 2Sn 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 an ? , 2Sn ? 1 3

(1) 求 S n 的表达式及 lim

an 的值; n ?? S 2 n

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 设 bn ?

1 (2n ? 1)3

?

1 (2n ? 1)3

,求证:当 n ? N 且 n ? 2 时, an ? bn 。

解:(1) an ? S n ? S n ?1 ?

2 2Sn 1 1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2S n S n ?1 ? ? ? 2(n ? 2) 2Sn ? 1 Sn Sn ?1

所以 ?

?1? 1 。 ? 是等差数列。则 Sn ? 2n ? 1 ? Sn ?

lim

an 2 2 ? lim ? ? ?2 。 2 n ?? S n ?? 2 S ? 1 2 lim S n ? 1 n n
n ??

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 ?2 , ? ? 2 2n ? 1 2 n ? 1 4 n ? 1

? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 综上, an ? ? 。 ? 2 ? n ? 2? ?1 ? 4n 2 ?
(3)令 a ?

1 1 1 ,当 n ? 2 时,有 0 ? b ? a ? ,b ? 3 2n ? 1 2n ? 1
1 ? 2n ? 1 1

等价于求证

? 2n ? 1?

3

?

1 ? 2n ? 1

1

? 2n ? 1?


3

当 n ? 2 时, 0 ?

1 1 1 ? , 令 f ? x ? ? x 2 ? x3 , 0 ? x ? , 2n ? 1 3 3

f ? ? x ? ? 2 x ? 3x 2 ? 2 x(1 ?
则 f ? x ? 在 (0,

3 3 1 3 x) ? 2 x(1 ? ? ) ? 2 x(1 ? ) ? 0, 2 2 2 3

1 ] 递增。 3

又0 ?

1 1 1 , ? ? 2n ? 1 2n ? 1 3 1 1 ) ? g( 3 ), 即 an ? bn 2n ? 1 2n ? 1

所以 g (

3

例 34 已知数列 ?an ? 各项均不为 0, 其前 n 项和为 S n , 且对任意 n ? N* 都有 (1 ? p)Sn ? p ? pan ( p 为大于 1 的常数),记 f (n) ? (1) 求 an ; (2) 试比较 f (n ? 1) 与
p ?1 f (n) 的大小( n ? N* ); 2p
2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? * ?1 ? ? ( . ? ? , n?N ) p ?1 ? ? 2 p ? ? ? ?

1 ? C1 a1 ? C2 a2 ? ? ? Cn an n n n . 2n S n

(3) 求证:(2n ? 1) f (n) 剟 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2n ? 1) 解:(1) ∵ (1 ? p)Sn ? p ? pan , ∴ (1 ? p)Sn ?1 ? p ? pan ?1 . ②-①,得
(1 ? p)an ?1 ? ? pan ?1 ? pan ,

① ②

即 an ?1 ? pan .

在①中令 n ? 1 ,可得 a1 ? p . ∴ ?an ? 是首项为 a1 ? p ,公比为 p 的等比数列, an ? p n . (2) 由(1)可得 p(1 ? p n ) p( p n ? 1) . Sn ? ? 1? p p ?1
2 n n 1 ? C1 a1 ? Cn a2 ? ? ? Cn an ? 1 ? pC1 ? p 2 C2 ? ? ? Cn p n ? (1 ? p)n ? ( p ? 1)n . n n n

∴ f ( n) ?

1 ? C1 a1 ? C2 a2 ? ? ? Cn an p ? 1 ( p ? 1)n n n n ? ? , n p 2n ( p n ? 1) 2 Sn
p ? 1 ( p ? 1)n ?1 ? . p 2n ?1 ( p n ?1 ? 1)

f (n ? 1) ?



p ?1 p ?1 ( p ? 1)n ?1 f ( n) ? ? n ?1 n ?1 ,且 p ? 1 , p 2 ( p ? p) 2p

∴ p n ?1 ? 1 ? p n ?1 ? p ? 0 , p ? 1 ? 0 . p ?1 f (n) ,( n ? N* ). ∴ f (n ? 1) ? 2p
2 例 35 数列 ?an ? :满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 6an ? 6(n ? N ? ).

(Ⅰ) 设 Cn ? log 5 (an ? 3) ,求证 ?Cn ? 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ? 解:(Ⅰ)由

1 1 5 1 ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? ? Tn ? ? . an ? 6 an ? 6an 16 4
2 2 an ?1 ? an ? 6an ? 6, 得 an ?1 ? 3 ? ( an ? 3) .

? log5 (an?1 ? 3) ? 2log5 (an ? 3) ,即
? ?C n ? 是以2为公比的等比数列
(Ⅱ) 又 C1 ? log 5 5 ? 1

Cn ?1 ? 2Cn ,

? Cn ? 2n ?1 即 log 5 (an ? 3) ? 2n ?1 ,

? an ? 3 ? 5 2 .
(Ⅲ)? bn ?

n?1

故 an ? 5

2 n?1

? 3.

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? , ?Tn ? ? ? ? ? 2n . an ? 6 an ? 6an an ? 6 an ?1 ? 6 a1 ? 6 an ?1 ? 6 4 5 ?9

又0 ?

1 5 ?9
2n

?

1 1 5 1 ? , ?? ? Tn ? ? . 16 4 5 ? 9 16
2

例 36 给定正整数 n 和正数 b ,对于满足条件 a1 ? a n ?1 ? b 的所有无穷等差数列 ?a n ? ,试
2

求 y ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ?1 的最大值,并求出 y 取最大值时 ?a n ? 的首项和公差. 解:设 ?a n ? 公差为 d ,则 a n?1 ? a1 ? nd , nd ? an ?1 ? a1 .

y ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ?1 ? a n ?1 ? (a n ?1 ? d ) ? ? ? ( a n ?1 ? nd ) ? ( n ? 1)a n ?1 ? (1 ? 2 ? ? ? n)d

? (n ? 1)a n?1 ?

n(n ? 1) d 2
a ? a1 nd ) ? (n ? 1)( a n ?1 ? n ?1 ) 2 2

? (n ? 1)( a n ?1 ?
?

n ?1 (3a n ?1 ? a1 ) . 2
2 2

又 a1 ? a n ?1 ? b,? ?a1 ? ?b ? a n ?1 . ∴ 3a n ?1 ? a1 ? ?a n ?1 ? 3a n ?1 ? b ? ?(a n ?1 ? ) ?
2 2

3 2

9 ? 4b 9 ? 4b , 当 且 仅 当 ? 4 4

a n ?1 ?

3 时,等号成立. 2 n ?1 (n ? 1)(9 ? 4b) ∴y? . (3an?1 ? a1 ) ? 2 8 9 4b ? 3 (n ? 1)(9 ? 4b) 当数列 ?a n ? 首项 a1 ? b ? ,公差 d ? ? 时, y ? , 4 4n 8 (n ? 1)(9 ? 4b) ∴ y 的最大值为 . 8

例 37 已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*),若数列 {a n ?1 ? ?a n } 是等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 k 为奇数时, 1 ? 1 ? 4 ; a k a k ?1 3 k ?1 (Ⅲ)求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (n ? N *). a1 a 2 an 2

得 ? =2 或 ? =-3 当 ? =2 时,可得 {a n ?1 ? 2a n } 为首项是 a 2 ? 2a1 ? 15 ,公比为 3 的等比数列, 则 a n ?1 ? 2a n ? 15 ? 3
n ?1



当 ? =-3 时, {a n ?1 ? 3a n } 为首项是 a 2 ? 3a1 ? ?10 ,公比为-2 的等比数列, ∴ a n ?1 ? 3a n ? ?10(?2)
n

n ?1


n

①-②得, a n ? 3 ? ( ?2) . (注:也可由①利用待定系数或同除 2n+1 得通项公式) (Ⅱ)当 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 4 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ? k ?1 k k ?1 a k a k ?1 3 3 ?2 3 ?2 3

3 4 k ? [8 ? 7 ? ( ) k ] ? 7 ? 6k ? 8 ? 4k 2 ? k ?1 ? k ?1 k ?0 k k k ?1 k ?1 k k ?1 3 ? (3 ? 2 )(3 ? 2 ) 3 (3 ? 2 )(3 ? 2 k ?1 )


1 1 4 ? ? k ?1 a k a k ?1 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 a k a k ?1 3 3 3

①当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ? (1 ? n ) ? a1 a 2 an 3 3 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? a1 a 2 a n a1 a 2 a n a n ?1

②当 n 为奇数时,

=

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? (1 ? n?1 ) ? 3 3 2 2 3 3

例 38 如图,把正 ?ABC 分成有限个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放

置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相

? 等.设点 A 为第一行,...,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为 a11, ,第 i 行中第 j 个数
为 a ij (1 ? j ? i ) .若 a11 ? 1, a 21 ? (1)求 a31、a32、a33 ; (2)试求第 n 行中第 m 个数 a nm 的表达式(用 n、m 表示); (3)记 S n ? a n1 ? a n 2 ? ? ? a nm (n ? N * ) ,求证:

1 1 , a 22 ? . 2 4

n?

1 1 1 4n ? 1 ? ??? ? (n ? N * ) S1 S 2 Sn 3

.解:(1) a31 ? (2) a nm

1 1 1 , a32 ? , a33 ? 4 8 16
n?m?2

?1? ?? ? ?2?

(3) S n ?

1 2
n?2

?

1 2
2n?2

当 n ? 2 时, S n ? 当 n ? 2 时,

1 2
n?2

?

1 2
2n?2

?

1 2
n?2

? 1 ,所以

1 1 1 1 ??? ?n ? 1 ,则 ? S1 S 2 Sn Sn

1 ? 又 Sn 2
所以

1 1
n?2

?

1 2
2n?2

4 n ?1 ? n ? 4 n ?1 2 ?1

1 1 1 4n ?1 ? ??? ? S1 S 2 Sn 3

an ?1 1 ? 1 ? .数列 {bn } 例 39 已知 a ? 0 , a ? 1 , 且 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 它满足条件 Sn a
lg 中, bn ? an · a .
n

(1)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对一切 n ? N 都有 bn ? bn ?1 ,求 a 的取值范围.
*

解:(1)?

an ?1 1 a (a n ? 1) ? 1? ,∴ S n ? Sn a a ?1

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

a (a1 ? 1) ?a. a ?1
a(a n ? 1) a(a n ?1 ? 1) n * ? ? a n ,∴ an ? a (n ? N ) a ?1 a ?1
n n

当 n ≥2 时, an ? S n ? S n ?1 =

n lg a lg n 此时 bn ? an · a ? a · a = n · lg a , 2 3 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? …… bn = lg a(a ? 2a ? 3a ? ……+ na ).
n

设 un ? a ? 2a ? 3a ? ……+ na ,
2 3
n

∴ (1 ? a)un ? a ? a ? a ? …… a ? na
2 3

n

n ?1

?

a ( a n ? 1) ? na n ?1 , a ?1

∴ un ?

na n ?1 a (a n ? 1) ? . a ? 1 (a ? 1) 2 na n ?1 a (a n ? 1) ? ]. a ? 1 ( a ? 1) 2
n n ?1

[ ∴ Tn ? lg a ·

……6 分

(2)由 bn ? bn ?1 ? na lg a ? ( n ? 1) a

lg a 可得

①当 a ? 1 时,由 lg a ? 0 ,可得 a ?

n n ?1 n n * 对一切 n ? N 都成立, ? ? 1(n ? N * ), a ? 1, ∴ a ? n ?1 n ?1
∴此时的解为 a ? 1 .

②当 0 ? a ? 1 时,由 lg a ? 0 可得 n ? (n ? 1)a, a ?

n , n ?1

?

n 1 n * * ≥ (n ? N ), 0 ? a ? 1, ∴ 0 ? a ? 对一切 n ? N 都成立, n ?1 2 n ?1 1 ∴此时的解为 0 ? a ? . 2

由①,②可知 对一切 n ? N ,都有 bn ? bn ?1 的 a 的取值范围是 0 ? a ?
*

1 或 a ?1. 2

例 40 已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An an , an?1 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列 ?bn ? 中, 点 Bn ? n, bn ? 在过点 ? 0,1? ,以方向向量为 ?1, 2 ? 的直线上。

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

? an , ? (Ⅱ)若 f ? n ? ? ? ?bn , ?

? n为奇数 ? ,问是否存在 k ? N ,使 f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ? 成立, ? n为偶数 ?
a n ?1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? bn ? ? an n ? 2 ? an ? 0 成立,求正

若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数 n ,不等式

数 a 的取值范围。 解:(Ⅰ)将点 An an , an?1 代入 y 2 ? x ? 1 中得

?

?

an ?1 ? an ? 1 ?

? an ?1 ? an ? d ? 1

an ? a1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? 5

直线l : y ? 2 x ? 1, ? bn ? 2n ? 1
? n ? 5, ? (Ⅱ) f ? n ? ? ? ? 2n ? 1, ?

? n为奇数 ? ? n为偶数 ?
? f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ? ? k ?4 35 ? 舍去? 2
) 由

当k为偶数时,k ? 27为奇数, ? k ? 27 ? 5 ? 4 ? 2k ? 1? , 2 ? k ? 27 ? ? 1 ? 4 ? k ? 5 ? , 当k为奇数时,k ? 27为偶数, ?

? k?

综上,存在唯一的k ? 4符合条件。
( Ⅲ

a n ?1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? bn ?

?

an n ? 2 ? an

?0

即a ?

? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ?? ?1 ? ? 2n ? 3 ? b1 ?? b2 ? ? bn ? 1 ? 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ?? ?1 ? ? 2n ? 3 ? b1 ?? b2 ? ? bn ? 1 ? 1 ?? 1? ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ??1 ? ?? ?1 ? ??1 ? 2n ? 5 ? b1 ?? b2 ? ? bn ?? bn ?1 ? 1 2n ? 3 ? 1 ? 2n ? 3 2n ? 4 ? ?1 ? ? ? ?? 2n ? 5 ? bn ?1 ? 2 n ? 5 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5 ? 2n ? 3

记f ? n ? ? ? ? ? ? ? ?

f ? n ? 1? ? f ? n ? 1? f ?n? ?

?1 4n 2 ? 16n ? 15 f ? n ? 1? ? f ? n ? , 即f ? n ? 递增, f ? n ?min ? f ?1? ? 0?a? 4 5 15 1 4 4 5 ? , 5 3 15 ?

4n 2 ? 16n ? 16

例 41 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 ? 3n ? k (k ? R, n ? N? ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
T (Ⅱ) 设数列 ?bn ? 满足 an ? 4(5 ? k ) anbn , n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和, 试比较 3 ? 16Tn

与 4(n ? 1)bn ?1 的大小,并证明你的结论. 解:(Ⅰ)由 Sn ? 2 ? 3n ? k (k ? R, n ? N? ) 得: n ? 2 时,
an ? S n ? S n ?1 ? 4 ? 3n ?1
? ?an ? 是等比数列,? a1 ? S1 ? 6 ? k ? 4 ? k ? ?2 ,得 an ? 4 ? 3n ?1 (n ? N? )
(Ⅱ)由 an ? 4(5 ? k )
an bn

和 an ? 4 ? 3

n ?1

得 bn ?

n ?1 4 ? 3n ?1

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ?1 ? bn ?

1 2 n?2 n ?1 ? ??? ? ? (1) 2 n?2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 1 2 3 n?2 n ?1 3Tn ? ? ? ??? ? ??? (2) 2 n ?3 4 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?2

1 1 1 1 1 n ?1 ? ? ? ?? ? ? 2 n ?3 n ?2 4 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n?1 1 1 1 1 1 n ?1 3 2n ? 1 ??10 分 ?Tn ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 n ?3 n?2 n ?1 8 8?3 8?3 8?3 8?3 8 ?3 16 16 ? 3n?1 n(n ? 1) 2n ? 1 n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) 4(n ? 1)bn?1 ? (3 ? 16Tn ) ? ? n?1 ? 3n 3 3n ? (2) ? (1) : 2Tn ?

? n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) ? n2 ? 5n ? 3

?当 n ?

5 ? 37 5 ? 37 ? 0 时有 n(n ? 1) ? 3(2n ? 1) ,所以当 n ? 5 (n ? N? ) 时有 或n ? 2 2

3 ? 16Tn ? 4(n ? 1)bn ?1
那 么 同 理 可 得 : 当

5 ? 37 5 ? 37 ?n? 时 有 n( n 1 )? 3 ( 2 , 1 ) 以 当 所 ? n? 2 2

1 ? n ? 5 (n ? N? ) 时有 3 ? 16Tn ? 4(n ? 1)bn ?1
6 综 上 : 当 n ? 5 (n ? N )时 有 3 ? 1 Tn ? 3 ? 1 Tn ? 6 4 ? bn11) n( ?
? ? 4 ? bn11) ; 当 1 ? n ? 5 (n ? N )时 有 n( ?

例 42

已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 3 , a2 ? 5 , 其 前 n 项 和 S n 满 足
1 . an ? an ?1

Sn ? Sn ?2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? .令 bn ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 2 x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ? ( n ≥1 ); (Ⅲ)令 Tn ?
1 ?b1a ? b2a2 ? b3a3 ? ? ? bn an ? ( a ? 0 ),求同时满足下列两个条件的 2
1
? ? 1? ?

1 6

所有 a 的值:①对于任意正整数 n ,都有 Tn ? ;②对于任意的 m ? ? 0, ? ,均存 6 6 在 n0 ? N ? ,使得 n ≥ n0 时, Tn ? m .
解:(Ⅰ)由题意知 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? ∴ an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a3 ? a2 ? ? a2

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 5 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3?
检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 .
n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? n ?1 ?2 ? ? ? ? n ? n ?1 (Ⅱ)由于 bn f ? n ? ? n ? n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?



Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ?? 1 ? 2 ? 1 ? 22 ? ? ? 1 ? 22 ? 1 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ? 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ??

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n?1 ? ? ? ? . 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6
(Ⅲ)(ⅰ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)知: Tn ? ∴ Tn ? m ?

1 1 ,即条件①满足;又 0 ? m ? , 6 6

1? 1 1 ? 3 ? 3 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ? n ? log 2 ? ? 1? ? 1 ? 0 . ? ??m?2 ? 2 ?1? 2 2 ?1? 1 ? 6m ? 1 ? 6m ?

? 3 ? ? 1? 的最大整数,则当 n ≥ n0 时, Tn ? m .?9′ 取 n0 等于不超过 log 2 ? 1 ? 6m ? ?
an ? a ? a a a a (ⅱ) a ? 2 时, n ≥1 , n ? ? ? ≥ , a n ≥ ? 2n , bn ? a n ≥ bn ? ? 2n ? ? bn ? 2n . 当 ∵ ∴ ∴ 2 2? 2 2 2 2 ?
n a 1? 1 1 ? ?1 ? a n ∴ Tn ? ? ? bi a i ? ≥ ? bi ? 2i ?1 ? ? ? ? n ?1 ?. 2 2 ?1? 2 2 ?1? ? 2 i ?1 i ?1 ? 2
n

?

?

1? 1 1 ? 1 ? n ?1 由(ⅰ)知存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, ? , ?? 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 3a
故存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ?

a 1? 1 1 ? a 1 1 ? ? ? n ?1 ? ,不满足条件. ?? ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 2 3a 6
n

an ? a ? a a ( ⅲ ) 当 0 ? a ? 2 时 , ∵ n ≥1 , n ? ? ? ≤ , ∴ a n ≤ ? 2n , ∴ 2 2 2 ?2?

a a bn ? a n ≤ bn ? ? 2n ? ? bn ? 2n . 2 2
∴ Tn ? ? 取m?
n 1 a a 1? 1 1 ? bi ai ? ≤ ? ? bi 2i ?1 ? ? ? ? ? ? ?. 2 2 2 2 ? 1 ? 2 2n ?1 ? 1 ? i ?1 i ?1 n

a ? 1? a 1? 1 1 ? a ? ? 0, ? , T 若存在 n0 ? N ? , n ≥ n0 时, n ? m , 当 则 ? ? ? n ?1 ? ? . 12 ? 6 ? 2 2 1? 2? 2 1 ? ? 1 2



1 1 1 ? n?1 ? 矛盾. 故不存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ? m .不满足条件. 1? 2 2 ?1 3

综上所述:只有 a ? 2 时满足条件,故 a ? 2 . 例 43 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)已知存在实数 ? ,使 ?

? n ? 1?? 2an ? n ? n ? N ? . 1 , an ?1 ? ? ? 2 an ? 4n

? an ? ? n ? ? 为公差为 ?1 的等差数列,求 ? 的值; ? an ? n ?

(3)记 bn ?

1 3
n?2 2

? n ? N ? ,数列 ?b ? 的前 n 项和为 S
?
n

n

,求证: S n ? ?

an ? 2

2 3 ?1 . 12

解:(1)? a1 ?

1 ,由数列 ?an ? 的递推公式得 2 3 8 a2 ? 0 , a3 ? ? , a4 ? ? 4 5
an ?1 ? ? (n ? 1) an ? ? n ? an ?1 ? n ? 1 an ? n

(2)?

(n ? 1)(2an ? n) ? ? (n ? 1) an ? 4n a ??n ? n = (n ? 1)(2an ? n) an ? n ? n ?1 an ? 4n
=

(? ? 2)an ? (4? ? 1)n an ? ? n ? ? 1 ? = 3 3an ? 3n an ? n

?a ??n ? ? ?1 的等差数列. ? 数列 ? n ? 为公差是 3 ? an ? n ?
由题意,令

? ?1
3

? ?1 ,得 ? ? ?2

(3)由(2)知

an ? ? n a1 ? 2 ? ? (n ? 1)(?1) ? ?n , an ? n a1 ? 1

所以 an ?

? n 2 ? 2n n ?1
?n ? 3 1 = 2 ?(n ? 1) ? 2(n ? 2) ( 3) n ? 2 n( n ? 2) ? n?3

此时 bn ?

3

n?2 2

= [

1 1 1 ? ], n?2 2 ( 3) (n ? 2) ( 3) n n

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? Sn ? [ 4 3 2 ( 3) ? 3 3 ( 3) ? 4 ( 3) 2 ? 2

?

1 1 ? ? ??? 5 ( 3) ? 5 ( 3)3 ? 3

1 1 1 1 1 ? ? ] = [? n 2 3 6 ( 3) ? (n ? 2) ( 3) ? n
n?2

?

1 1 ? ] n?2 ( 3) ? (n ? 1) ( 3) ? ( n ? 2)
n ?1

>

1 1 1 2 3 ?1 (? ? )?? 2 12 3 6

例 44 已知数列 {an } , a1 ? a2 ? 2 , an ?1 ? an ? 2an ?1 (n ? 2) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an
2 *

(Ⅲ)若函数 f ( x) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f (n) ? f (n). (n ? N ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

解: (1) ? an ?1 ? an ? 2an ?1 ,两边加 an 得: an ?1 ? an ? 2(an ? an ?1 ) (n ? 2) ,

? {an ?1 ? an }

是 以

2

为 公 比 ,

a1 ? a2 ? 4 为 首 项 的 等 比 数 列 .

? an ?1 ? an ? 4?2n?1 ? 2?2n ……①
由 an ?1 ? an ? 2an ?1 两边减 2 a n 得: an ?1 ? 2an ? ?(an ? 2an ?1 ) (n ? 2) ? {an ?1 ? 2an } 是 以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.
n n ①-②得: 3an ? 2[2 ? ( ?1) ]

? an ?1 ? 2an ? ?2? ?1)n ?1 ? 2? ?1) n ( (

所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] …………5 分 3

?
(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2 n ?1 ? 2 n ? ? [ n ?1 ? n ] ? ? n ?1 n an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ?2 ? 2 n ? 2 n ?1 ? 1

3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n ) ( n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2 2
当 n 为奇数时,? an ?

1 2 n ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 [2 ? (?1) n ] ? 0 ,? an ?1 ? 0, an ?1 3

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ?3 a1 a2 an a1 a2 an an ?1
2

(3)证明:? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

?x ? 0 ? 例 45 设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn, Dn 内的格点 记 (格点即横坐标 ? y ? ?nx ? 3n ?
和纵坐标均为整数的点)的个数为 f(n)(n∈N*). (1)求 f(1)、f(2)的值及 f(n)的表达式; (2)设 bn=2nf(n),Sn 为{bn}的前 n 项和,求 Sn; (3)记 Tn ? 值范围. 解:(1)f(1)=3, f(2)=6 当 x=1 时,y=2n,可取格点 2n 个;当 x=2 时,y=n,可取格点 n 个 ∴f(n)=3n (2)由题意知:bn=3n·2n Sn=3·21+6·22+9·23+?+3(n-1)·2n 1+3n·2n


f (n) f (n ? 1) ,若对于一切正整数 n,总有 Tn≤m 成立,求实数 m 的取 2n

∴2Sn=3·22+6·23+?+3(n-1)·2n+3n·2n+1 ∴-Sn=3·21+3·22+3·23+?3·2n-3n·2n+1 =3(2+22+?+2n)-3n·2n+1 =3·

2 ? 2 n ?1 ? 3n 2 n ?1 1? 2

=3(2n+1-2)-3nn+1 ∴-Sn=(3-3n)2n+1-6 Sn=6+(3n-3)2n+1 (3) Tn ?

f (n) f (n ? 1) 3n(3n ? 3) ? 2n 2n

T ? n ?1 ? Tn

(3n ? 3)(3n ? 6) n?2 2n ?1 ? 3n(3n ? 3) 2n 2n n?2 当n ? 1时, ?1 2n n?2 当n ? 2时, ?1 2n n?2 当n ? 3时, ?1 2n

∴T1<T2=T3>T4>?>Tn 故 Tn 的最大值是 T2=T3= ∴m≥

27 2

27 。 2

例 46 (2009 陕西卷理) 已知数列 ? xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 { xn } 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( ) 证明(1)由 x1 ?

1 2 6 5

n ?1



1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明:

(1)当 n=1 时,已证命题成立 易知 x2 k ? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ?

(2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2 k ? x2 k ? 2

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ? 2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1) ? x2( k ?1) ? 2 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 ,结论成立 6

当 n ? 2 时,易知 0 ? xn ?1 ? 1,?1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn ?1 2

? (1 ? xn )(1 ? xn ?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn ?1 ) ? 2 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 2 2 xn ? xn ?1 ? ) xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? ) x2 ? x1 ( 2 ( n-1 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5
3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

例 47 已知函数 F ? x ? ?

(I)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(II)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an ?

2n ? 1 .

解:( ? )因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3 x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ? ; .......... (1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? (1)+(2)得:

? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ???.(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ? ? ? ? 2 ? ? 2007 ? ? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ?F ? ?? F? ? ? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3 ? 2008 ? 6024 , 所以 S=3012

( ?? )由 an ?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得

an ?1 ? 1 ?
1

3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1
? 2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 ? ? 2? , an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

an ?1 ? 1
1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 an ? 1? ?
?

所以

1 1 2n ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? 1 2n ? 1 2 n ? 1
2

? ??? ? 因为 ? 2n ?
所以

? ? 2n ? ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
2

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n

所以 a1a2 a3 ...an ?

? a1a2a3 ...an ?

2

?

2 2 4 4 2n 2n ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2n ? 1 2n ? 1

>

2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n
k ?

例 48 过点 P(1,0)作曲线 C : y ? x ( x ? (0,??), k ? N , k ? 1) 的切线,切点为 M1,设 M1 在 x 轴上的投影是点 P1。又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 M2,设 M2 在 x 轴上的投影是 点 P2,?。依此下去,得到一系列点 M1,M2?,Mn,?,设它们的横坐标 a1,a2,?,an,?, 构成数列为 ?a n ? 。 (1)求证数列 ?a n ? 是等比数列,并求其通项公式; (2)求证: a n ? 1 ?

n ; k ?1

(3)当 k ? 2时, 令bn ?
k

n , 求数列?bn ? 的前 n 项和 Sn。 an

k ?1 k 解:(1)对 y ? x 求导数,得 y ? kx , 切点是M n (a n , a n ) 的切线方程是
k k y ? a n ? kan ?1 ( x ? a n )

当 n=1 时,切线过点 P(1,0),即 0

? a1k ? ka1k ?1 (1 ? a), 得a1 ?

k ; k ?1
an k ? . a n ?1 k ? 1

当 n>1 时,切线过点 p n ?1 (a n ?1 ,0) ,即 0 所以数列 ?a n ?是首项a1 ?

k k ? a n ? k an ?1 (a n ?1 ? a n ), 得

k k , 公比为 的等比数列, k ?1 k ?1 k n 所以数列 ?a n ? 的通项公式为a n ? ( ) ,n? N? k ?1
(2)应用二项公式定理,得

k n 1 n 1 1 2 1 n 0 1 2 n ) ? (1 ? ) ? Cn ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n ? 1? .????? (8分) k ?1 an ? (
(3)当

n 1 2 3 n .数列?bn ? 的前项n项和S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n 同乘以 , 得 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 k ? 2时, an ? 2 n , bn ?
两式相减,得

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 2 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n ?1 2 n 2 n ?1 1? 2 n?2 所以 S n ? 2 ? n 2
例 49 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)记 cn ? b2 n ? b2 n ? (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都 1
*

有 Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成 立,求 ? 的最小值。 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? 又 Q an ? 5an ? 1, an ?1 ? 5an ?1 ? 1

1 4

1 ? an?1 ? an ? 5an?1 ,即an?1 ? ? an 4
1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? ) n 4 1 4 ? (? )n 4 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1

? cn ? b2 n ? b2 n ?1 ?

5 5 25 ?16n ? 2 n ?1 ? 42 n ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? = (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n

13 4 ,? c1 ? 3 3 3 当 n ? 1时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16 1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
又 b1 ? 3, b2 ?

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ? 1
*

一方面,已知 Rn ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2 k ?1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? K K ? 2 k ?1 ) 4 ? 1 4 ?1 4 ?1 4 ?1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? [? 1 ? ( 2 ? 3 ) ? K K ? ( 2k ? 2 k ?1 )] 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 4 ?1 4 ? 1 ? 4n ? 5 ? ( ?
1

> 4n ? 1

? ? n ? Rn ? 4n ? 1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立

? ? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1 只对满足 n ?

1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16) k ? 4
15 ? 16k ? 40 ? 8? ?8 (16k ? 1)(16 k ? 4)

? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2 m?1 ? b2 m ) < 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N )
*

则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2 m?3 ? b2 m?2 ) ? b2 m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4

例 50 已知数集序列{1}, {3, 5}, {7, 9,11}, {13, 15, 17, 19},??,其中第 n 个集合有 n 个元素, 每一个集合都由连续正奇数组成, 并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇 数, (Ⅰ) 求第 n 个集合中最小数 an 的表达式; (Ⅱ)求第 n 个集合中各数之和 Sn 的表达式;

? 1 ? (Ⅲ)令 f(n)= ?1 ? 3 ? (n ? N * ) ,求证:2≤ f (n) ? 3 ? Sn ? ? ? 解: (Ⅰ) 设第 n 个集合中最小数 an , 则第 n ? 1 个集合中最小数 a n ?1 ,

n

又第 n ? 1 个集合中共有 n ? 1 个数, 且依次增加 2 , ∴ an?1 ? 2(n ? 1) ? an ,即 an ? an?1 ? 2(n ? 1) (n ? 2) ,

∴ an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2), an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) , ???, a2 ? a1 ? 2 ,
相加得 an ? a1 ? 2 ? 又 a1 ? 1

,

(n ? 1)(1 ? n ? 1) ? n 2 ? n ,即得 an ? n 2 ? n ? a1 . 2 2 ∴ an ? n ? n ? 1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? n 2 ? n ? 1 , n(n ? 1) 从而得 Sn ? n(n2 ? n ? 1) ? ? 2 ? n3 . 2
n ? 1 ? ? 1? (Ⅲ)由(Ⅱ)得 S n ? n , ∴ f (n) ? ?1 ? ? ?1 ? ? (n ? N * ) , ? ? 3 S ? ? n? n ? ?
3

n

1 1 1 1 1 1 ∵ ?1 ? ? ? Cn0 ( )0 ? Cn ( )1 ? Cn2 ( ) 2 ? ??? ? Cnn ( ) n ? ? n n n n ? n? 1 1 1 ≥ Cn0 ( )0 ? Cn ( )1 ? 2 , n n n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? k ? 1) 1 1 k 1 又当 n ≥2 时, Cn ( )k ? ? ? n nk k! k! 1 1 1 ? ? ≤ . (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 1 1 ∴ ?1 ? ? ? Cn0 ( )0 ? Cn ( )1 ? Cn2 ( ) 2 ? ??? ? Cnn ( ) n ? ? n n n n ? n? 1 1 1 1 1 ≤1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ? 3? ? 3 . n
n

n

∴ 2≤ f (n) ? 3 .
例 51 首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

(I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数;

(II)若对一切 n ? N ? 都有 an ?1 ? an ,求 a1 的取值范围. 解:(I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ? 1 是奇数,其中 m 为正整数, 则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4

根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。 (II)(方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an ?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
32 ? 3 1? 3 ? 3. ? 1 ;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N ? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N ? . 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an ?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 (方法二)由 a2 ? 4

an ?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4
an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an ?1 ? an 与 an ? an ?1 同号。 4

因为 a1 ? 0, an ?1 ?

根据数学归纳法, ?n ? N ? , an ?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N ? 都有 an ?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 例 52 各项均为正数的数列 {an } , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数

m, n, p, q 都有
(1)当 a ?

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5 1

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有 解:(1)由

?

? an ? ?.

a p ? aq am ? an ? 得 (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq)

a1 ? an a2 ? an ?1 1 4 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 2 5 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an ?1 )
an ? 2an ?1 ? 1 . an ?1 ? 2

所以

1 ? an 1 1 ? an ?1 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an ?1
1 ? an } 为等比数列,从而 1 ? an

故数列 {

1 ? an 1 3n ? 1 ? n , 即 an ? n . 1 ? an 3 3 ?1
可验证, an ?

3n ? 1 满足题设条件. 3n ? 1

(2) 由题设

am ? an 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm? n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn ?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )

考察函数 f ( x) ?

a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 2 ? ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn ?1 ? g (a ) 恒成立.
*

又 b2 n ?

2 an ? g (a ) , (1 ? an ) 2

注意到 0 ? g ( a ) ?

1 ,解上式得 2

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) 1 ? g ( a) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a)

取? ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a) ,即有 g (a)
1

1

?

? an ? ?. .
n n ?1

2 例 53 设 f ( x) ? x ? a . 记 f ( x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( f

( x)) ,n ? 2,3,? ,

1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?
1 【证明】(1)如果 a ? ?2 ,则 f (0) ?| a |? 2 , a ? M 。

?

?

(2)如果 ?2 ? a ?

1 1 n n ?1 2 ,由题意 f (0) ? a , f (0) ? ( f (0)) ? a , n ? 2,3,? . 则 4 1 1 n ① 当 0 ? a ? 时, f (0) ? ( ?n ? 1 ). 4 2 1 1 事实上, n ? 1 时, f (0) ? a ? , 设 n ? k ? 1 时成立 k ? 2 为某整数) 则对 n ? k , 当 ( , 2
f (0) ? f
k k ?1

?1? 1 1 (0) ? a ? ? ? ? ? . ?2? 4 2
2

2

n ② 当 ?2 ? a ? 0 时, f (0) ? a ( ?n ? 1 ). 1 事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a , 设 n ? k ? 1 时成立( k ? 2 为某整数),则对 n ? k ,



? | a |? a ? f k (0) ? ? f k ?1 (0) ? ? a ? a 2 ? a .注意到 当 ?2 ? a ? 0 时,总有 a 2 ? ?2a ,即
2

1? ? a 2 ? a ? ?a ?| a | . 从而有 f k (0) ?| a | .由归纳法,推出 ? ?2, ? ? M 。 4? ?
(3)当 a ?

1 1 n 时,记 an ? f (0) ,则对于任意 n ? 1 , an ? a ? 且 4 4
2 an ?1 ? f n ?1 (0) ? f ( f n (0)) ? f (an ) ? an ? a 。

对于任意 n ? 1, an ?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? ) ? a ?
2







1 2 2 1 an?1 ? a ? an?1 ? a1 ? n(a ? ) 4 ?

1 1 1 ? a ? , 则 an ?1 ? an ? a ? 。 4 4 4 2?a n? 。 当 时 , 1 a? 4

an ?1 ? ( n

1 ? a) 4

fn 2 ?2 2 ? ,即 ? a?1 (0)? a 。因此 a ? M 。 a ?

综合(1)(2)(3),得 M ? ?? 2, 。 4? ? ?

?

1?

例 54 已 知 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 1, a n?1 ? a n ? 2n (n ? 1,2,3?) , {bn } 满 足 b1 ? 1,

bn ?1

2 n bn 1 1 ? bn ? ?? ? 1。 (n ? 1,2,3?) ,证明: n 2 k ?1 a k ?1bk ? k ak ?1 ? bk ? k
n

证明:记 I n ? ?
k ?1

1 a k ?1bk ? k ak ?1 ? bk ? k
1
?

,则 I 1 ?
??
n

1 ? I2 ? ? ? In 。 2

而 In ? ?
k ?1

n

(a k ?1 ? 1)(bk ? k )

?a
k ?1

n

1 。 k ?1 ? 1 k ?1 bk ? k

1

因为 a1 ? 1, a n?1 ? a n ? 2n ,所以 a k ?1 ? 1 ? k (k ? 1) 。 从而有

?a
k ?1

n

1
k ?1

?1

??

1 1 ? 1? ? 1。 n ?1 k ?1 k ( k ? 1)

n

(1)

又因为 bk ?1

bk2 bk (bk ? k ) 1 k 1 1 ? ? ? ? bk ? ? ,所以 , bk ?1 bk (bk ? k ) bk bk ? k k k



1 1 1 ? ? 。从而有 bk ? k bk bk ?1

?b
k ?1

n

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 。 (2) b1 bn ?1 b1 k ?k

1 ? In ? 1。 2 左边不等式的等号成立当且仅当 n=1 时成立。

由(1)和(2)即得

I n ? 1 。 综合得到

例 55

设 数 列 {a n }( n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m? n ? a m?n ? m ? n ?

1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2

m, n ? N, m ? n .
(1)证明:对一切 n ? N ,有 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 ; (2)证明:

1 1 1 ? ??? ? 1. a1 a 2 a 2009

证明

(1)在已知关系式 a m? n ? a m?n ? m ? n ?

1 (a2 m ? a2 n ) 中,令 m ? n ,可得 2
① ②

a 0 ? 0 ;令 n ? 0 ,可得 a 2 m ? 4a m ? 2m
令 m ? n ? 2 ,可得 a 2 n ? 2 ? a 2 ? 2 ?

1 (a 2 n ? 4 ? a 2 n ) 2

由 ① 得 a 2 n ? 2 ? 4a n ?1 ? 2(n ? 1) , a 2 ? 4a1 ? 2 ? 6 , a 2 n ? 4 ? 4a n ? 2 ? 2(n ? 2) ,

a 2 n ? 4a n ? 2n ,

代入②,化简得 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 . (2)由 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2 ,得 (a n ? 2 ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 2 ,故数列 {a n ?1 ? a n } 是首项为 a1 ? a 0 ? 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 a n ?1 ? a n ? 2n ? 2 . 于是 a n ?

? (ak ? ak ?1 ) ? a0 ? ? (2k ) ? 0 ? n(n ? 1) .
k ?1 k ?1

n

n

因为

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 1) ,所以 a n n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. a1 a 2 a 2009 2 2 3 2009 2010 2010

六、数列与概率统计交汇的综合题
例 56 为了研究某高校大学新生学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名进校学生的视情 况,得到频率分布直方图,如图 4,.已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数列 ?a n ? 的 前四项,后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ?的前六项. (Ⅰ)求等比数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)求等差数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)若规定视力低于 5.0 的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.

解:(I)由题意知: a1 ? 0.1? 0.1?100 ? 1 , a2 ? 0.3 ? 0.1?100 ? 3. ∵数列 ?a n ? 是等比数列,∴公比 q ?
n ?1 n ?1 ∴ an ? a1q ? 3 .

a2 ? 3, a1

(II) ∵ a1 ? a2 ? a3 =13,∴ b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 100 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 87 , ∵数列 ?bn ? 是等差数列,∴设数列 ?bn ?公差为 d ,则得,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 6b1 ? 15d ,∴ 6b1 ? 15d =87,

b1 ? a4 ? 27 , d ? ?5 , bn ? 32 ? 5n
a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0.91 , 100 b ? b6 (或= 1 ? 5 ? 0.91 ) 100
(III) = 答:估计该校新生近视率为 91%. 例 57 从原点出发的某质点 M, 按向量 a =(0,1)移动的概率为

2 ,按向量 b =(0,2)移动的概率为 3

1 ,设可达到点(0,n)的概率为 Pn, 3 求: (1).求 P1 和 P2 的值. 1 2 (2).求证:Pn+2= Pn+ Pn+1. 3 3 (3).求 Pn 的表达式.
解: (1). P1=

2 2 1 7 , P2 ? ( ) 2 ? ? . 3 3 3 9

(2).证明:到达点(0,n+2)有两种情况:从点(0,n)按向量 b ? (0,2) 移动;从点(0,n+1) 按向

2 1 2 1 与 Pn ?1 ? ,所以 Pn ? 2 ? Pn ? Pn ?1 . 3 3 3 3 1 1 1 (3).由(2)得 Pn+2-Pn+1= ? ( Pn ?1 ? Pn ), 故数列{Pn+1-Pn}是以 P2-P1= 为首项, ? 为 9 3 3 1 1 1 公比的等比数列,故 Pn+1-Pn= ? (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 , 9 3 3 1 1 于是 Pn-P1=( Pn ? Pn ?1 ) ? ? ? ? ? ( P2 ? P1 ) ? ? [1 ? (? ) n ?1 ] 12 3 3 1 1 ? Pn ? ? ? (? ) n . 4 4 3
量 a =(0,1)移动,概率分别为 Pn ?

七、分段数列综合题
例 58 数列{an}的首项 a1=1,且对任意 n∈N,an 与 an+1 恰为方程 x2-bnx+2n=0 的两 个根. (Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(Ⅰ)由题意 n∈N*,an·n+1=2n a + an+1·n+2 an+2 2n 1 a ∴ = = n =2'(1 分) an 2 an·n+1 a 又∵a1·2=2'a1=1'a2=2 a ∴a1,a3,?,a2n-1 是前项为 a1=1 公比为 2 的等比数列, a2,a4,?,a2n 是前项为 a2=2 公比为 2 的等比数列 - ∴a2n-1=2n 1' a2n=2n' n∈N*

? ? n2 1 ?2 ,n为奇数 即 an= ? ? 2 n ,n为偶数 ?

又∵bn=an+an+1 n-1 n+1 n-1 当 n 为奇数时,bn=2 +2 =3· 2 2 2 2 n n n 当 n 为偶数时,bn=2 +2 =2· 2 2 2 2
n ?1 ? ?3 ? 2 2 ,n为奇数 ∴bn= ? 1? n ? 2 2 ,n为偶数 ?

(Ⅱ)Sn=b1+b2+b3+?+bn 当 n 为偶数时, Sn=(b1+b3+?+bn-1)+(b2+b4+?+bn) n n 3-3· 4-4· 2 2 2 2 n = + =7· -7 ( 2 2 1-2 1-2 当 n 为奇数时, Sn=b1+b2+?+bn-1+bn n-1 =Sn-1+bn=10· 2 -7 ( 2
n ?1 ? ?10 ? 2 2 ? 7,n为奇数 Sn= ? n ? 7 ? 2 2 ? 7,n为偶数 ?

例 59 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

(1) 求 S n ;

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? 解: (1) 由于 cos ,故 ? sin 2 ? cos 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (? 12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

?

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) , ? ??? ? 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2
S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ? k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ?3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n ? 4 1 4 4n ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n 故 Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2 n? 2 n? 例 60 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2
(Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

a2 n ?1 1 S , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n ? 2 ? . n a2 n

2 .解:(Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

a4 ? (1 ? cos 2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
2 一般地,当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos
*

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

= a2 k ?1 ? 1 ,即 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2 k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k .
2 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
*

2k? 2k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2
k

所以数列 ?a2k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2 .

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? n * 2 ?2 , n ? 2k (k ? N ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

a2 n ?1 n 1 2 3 n ? 2 , Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , a2 n 2 2 2 2 2



1 1 2 3 n ② Sn ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 Sn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n(n ? 2) ? 1 成立. 要证明当 n ? 6 时, S n ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, n 2n
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k (k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)( k ? 3) k( k ? 2) ( k ?1)( k ?3) ( k ?1)( k ?3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k
n(n ? 1) 1 ? 1 .即当 n≥6 时, Sn ? 2 ? . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n≥6 时,

证法二 令 cn ?

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 (n ? 6) ,则 cn ?1 ? cn ? ? ? n ?1 ? 0. 22 2n ?1 22 2

6?8 3 ? ? 1. 64 4 n(n ? 2) 1 ? 1. 综上所述,当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? . 于是当 n ? 6 时, 2 2 n
所以当 n ? 6 时, cn ?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ?

例 61 设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,?, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈.

, (Ⅰ)若 m ? 2009 ,且 a1 ,a2 , ? a1005

是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008 ,? , a1006 是

公比为 q ? d 的等比数列;数列 a1 , a2 ,?, am 的前 n 项和 S n ( n ? m) 满足:

S3 ? 15, S2009 ? S2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
解:因 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列,从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d
2



S2009 ? S2008 ? 12a1 得a2008 ? a2009 ? 12a ,故 1
解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去)。因此 d ? 3 又

S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?( n?1) ? a1d 2010?n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

八、信息迁移题
例 62 设同时满足条件: ①

bn ? bn ? 2 ② ≤ bn ?1 (n ? N*) ; bn ≤ M ( n ? N*, M 是与 n 无关的 2

常数)的无穷数列 {bn } 叫“特界” 数列. (Ⅰ)若数列 {an } 为等差数列, S n 是其前 n 项和, a3 ? 4, S3 ? 18 ,求 S n ; (Ⅱ)判断(Ⅰ)中的数列 {S n } 是否为“特界” 数列,并说明理由. .解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d , 则 a1 ? 2d ? 4,3a1 ? 3d ? 18, 解得a1 ? 8, d ? ?2 , Sn ? na1 ? (Ⅱ)由 得

Sn ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ,故数列 {S n } 适合条件① 2 9 2 81 2 而 S n ? ? n ? 9n ? ? ( n ? ) ? (n ? N*) ,则当 n ? 4 或 5 时, S n 有最大值 20 2 4
即 S n ≤ 20 ,故数列 {S n } 适合条件②.

Sn ? Sn ? 2 2

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 9n 2 (S ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn ) an ? 2 ? an ?1 d ? Sn?1 ? n? 2 ? ? ? ?1 ? 0 2 2 2

综上,故数列 {S n } 是“特界”数列。

例 63 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,? an ??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2 ? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n ? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1, 3, 4? 与 ?1, 2,3, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 解:(Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1, 3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3, 6? , 2 3 1 2 3 6
∴该数集具有性质 P.

(Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,? an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A ? k ? 2,3,? , n ? . 由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,? , n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an ?1 , n ? an , an an ?1 a2 a1

从而

an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an , an an ?1 a2 a1



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1 a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2 a4 ? a3 , a4 a3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3 a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3 a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知

a4 ? A. a3

2 a2 a4 ? a3 ,得

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a3 a2 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列..k.s.5. a4 a3 a2 a1

例 64 给定项数为 m (m ? N * , m ? 3) 的数列 {an } ,其中 ai ?{0,1} (i ? 1, 2,?, m) . 若存在一个正整数 k (2 ? k ? m ? 1) ,若数列 {an } 中存在连续的 k 项和该数列中另一个连续的 k 项恰好按次序对应相等,则称数列 {an } 是―k 阶可重复数列‖, 例如数列 {an }
0,1,1,0,1,1,0.

因为 a1 , a2 , a3 , a4 与 a4 , a5 , a6 , a7 按次序对应相等,所以数列 {an } 是―4 阶可重复数列‖. (Ⅰ)分别判断下列数列 ① {bn }: 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0. ② {cn }:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.

是否是―5 阶可重复数列‖?如果是,请写出重复的这 5 项; (Ⅱ)若数为 m 的数列 {an } 一定是 ―3 阶可重复数列‖,则 m 的最小值是多少?说明理 由; (III)假设数列 {an } 不是―5 阶可重复数列‖,若在其最后一项 am 后再添加一项 0 或 1, 均可使新数列是―5 阶可重复数列‖,且 a4 ? 1 ,求数列 {an } 的最后一项 am 的值. 解:(Ⅰ)记数列①为 ?bn ? ,因为 b2 , b3 , b4 , b5 , b6 与 b6 , b7 , b8 , b9 , b10 按次序对应相等,所以数列 ①是―5 阶可重复数列‖,重复的这五项为 0,0,1,1,0;

记 数 列 ② 为 ?cn ? , 因 为 c1 , c2 , c3 , c4 , c、 c2 , c3 , c4 , c5 , c6 、 c3 , c4 , c5 , c6 , c7 、 c4 , c5 , c6 , c7 , c8 、 5
c5 , c6 , c7 , c8 , c9 、 c6 , c7 , c8 , c9 , c10 没 有 完 全 相 同 的 , 所 以 ?cn ? 不 是 ―5 阶 可 重 复 数 列 ‖.

……………….3 分 (Ⅱ)因为数列 {an } 的每一项只可以是 0 或 1,所以连续 3 项共有 23 ? 8 种不同的情形.若 m =11,则数列 {an } 中有 9 组连续 3 项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为 11 的数列 {an } 一定是―3 阶可重复数列‖;若 m=10,数列 0,0,1,0,1,1,1,0,0,0 不是―3 阶可重复数 列‖;则 3 ? m ? 10 时,均存在不是―3 阶可重复数列‖的数列 {an } .所以,要使数列 {an } 一定 是―3 阶可重复数列‖,则 m 的最小值是 11. ……………….8 分

(III)由于数列 ?an ? 在其最后一项 am 后再添加一项 0 或 1,均可使新数列是―5 阶可重复数 列‖,即在数列 ?an ? 的末项 am 后再添加一项 0或1 ,则存在 i ? j , 使得 ai , ai?1 , ai? 2 , ai?3 , ai? 4 与 am?3 , am?2 , am?1 , am ,0 按次序对应相等,或 a j , a j?1 , a j? 2 , a j?3 , a j? 4 与
am?3 , am? 2 , am?1 , am ,1 按次序对应相等,

如果 a1 , a2 , a3 , a4 与 am?3 , am?2 , am?1 , am 不能按次序对应相等,那么必有 2 ? i , j ? m ? 4 ,
i ? j ,使得 ai , ai ?1 , ai ? 2 , ai ?3 、 a j , a j ?1 , a j ? 2 , a j ?3 与 am?3 , am?2 , am?1 , am 按次序对应相等.

此时考虑 ai ?1 , a j ?1 和 am ? 4 ,其中必有两个相同,这就导致数列 ?an ? 中有两个连续的五项 恰按次序对应相等, 从而数列 ?an ? 是―5 阶可重复数列‖, 这和题设中数列 ?an ? 不是―5 阶可重 复数列‖矛盾!所以 a1 , a2 , a3 , a4 与 am?3 , am?2 , am?1 , am 按次序对应相等,从而 am ? a4 ? 1.

例 65 数列 {an } 和数列 {bn } (n ? N ? ) 由下列条件确定: ① a1 ? 0, b1 ? 0 ; ②当 k ? 2 时, ak 与 bk 满足如下条件:当
ak ?1 ? bk ?1 ? 0 时, 2

ak ? ak ?1 , bk ?

a ?b ak ?1 ? bk ?1 a ?b ;当 k ?1 k ?1 ? 0 时, ak ? k ?1 k ?1 , bk ? bk ?1 。 2 2 2

解答下列问题: (Ⅰ)证明数列 {ak ? bk } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {n(bn ? an )} 的前 n 项和为 S n ; (Ⅲ)n(n ? 2) 是满足 b1 ? b2 ? ? ? bn 的最大整数时, a1 , b1 表示 n 用 的满足的条件。

解:(Ⅰ)当

ak ?1 ? bk ?1 a ?b 1 ? 0 时, bk ? ak ? k ?1 k ?1 ? ak ?1 ? (bk ?1 ? ak ?1 ) 2 2 2


ak ?1 ? bk ?1 a ?b 1 ? 0 时, bk ? ak ? bk ?1 ? k ?1 k ?1 ? (bk ?1 ? ak ?1 ) 2 2 2

所以不论哪种情况,都有 bk ? ak ? 故数列 {ak ? bk } 是等比数列

1 (bk ?1 ? ak ?1 ) ,又显然 b1 ? a1 ? 0 , 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? an ? (b1 ? a1 )( )

1 2

n ?1

,故 n(bn ? an ) ? (b1 ? a1 )?

n 2n?1

2 3 n ?1 n Sn ? (b1 ? a1 )(1 ? ? 3 ? ? ? n?2 ? n?1 ) 2 2 2 2
所以,

1 1 2 3 n ?1 n Sn ? (b1 ? a1 )( ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n Sn ? (b1 ? a1 )(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ) , 2 2 2 2 2 Sn ? (b1 ? a1 )[4(1 ? 1 2n )? n ] n 2 2

所以,

(Ⅲ)当 b1 ? b2 ? ? ? bn ( n ? 2) 时, bn ? bn ?1 (2 ? k ? n) 由 ② 知

ak ?1 ? bk ?1 a ?b ? 0 不 成 立 , 故 k ?1 k ?1 ? 0 从 而 对 于 2 ? k ? n , 有 2 2

ak ? ak ?1 , bk ?

ak ?1 ? bk ?1 1 ,于是 an ? an ?1 ? ? ? a1 ,故 bn ? a1 ? (b1 ? a1 )? n ?1 2 2



an ? bn 1 1 1 ? {a1 ? [a1 ? (b1 ? a1 )? n?1 ]} ? a1 ? (b1 ? a1 )? n , 2 2 2 2
an ? bn a ?b ? 0 ,则 bn ?1 ? n n 2 2



1 1 1 bn?1 ? bn ? {a1 ? (b1 ? a1 )? n } ? {a1 ? (b1 ? a1 )? n?1 } ? ?(b1 ? a1 )? n ? 0 2 2 2
所以 bn ?1 ? bn ,这与 n 是满足 b1 ? b2 ? ? ? bn ( n ? 2) 的最大整数矛盾。 因此 n 是满足

an ? bn ? 0 的最小整数, 2



an ? bn b ?a b ?a 1 ? 0 ? a1 ? (b1 ? a1 )? n ? 0 ? 1 1 ? 2n ? log 2 1 1 ? n 2 2 ?a1 a1
b1 ? a1 ? n 最小整数。 a1
*

因而,n 是满足 log 2

例 66 对于数列 {u n } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有

un ?1 ? un ? un ? un ?1 ? ? ? u2 ? u1 ? M ,
(Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

则称数列 {u n } 为 B ? 数列.

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 S n 是数列 { xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 { xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {S n } 是 B-数列, ②数列 { xn } 不是 B-数列; ④数列 {S n } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? (? )
2

1 2

n ?1

.于是

1 1 3 1 an ? an ?1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ? 2 ? ? ( ) n ? 2 , n ? 2. 2 2 2 2
| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ? ? ? | a2 ? a1 |
=

1 ? 3 ? 1 1 1 ? ? ( n ? ?1 ? ? ) ? ? ? )-1 ? = 3 ? ?1 ? )? ? 3. ( 2 ( n 2 ? 2 ? 2 2 2 ? ?

所以首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是 B-数列 2

.

(Ⅱ)命题 1:若数列 { xn } 是 B-数列,则数列 {S n } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 xn =1, n ? N ,易知数列 { xn } 是 B-数列,但 S n =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn ?1 | ? ? ? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {S n } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {S n } 是 B-数列,则数列 { xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {S n } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ? ? ? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn ?1 | ? | xn | ? ? ? | x2 |? M .于是 xn ?1 ? xn ? xn ? xn ?1 ? ? ? x2 ? x1

? xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn ?1 ? ? ? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 { xn } 是 B-数列。 (Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N , 有
?

an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1 ? M .
因为 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1

? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )( an ?1 ? an )

? ( an ?1 ? an ) an ?1 ? an ? 2 K an ?1 ? an .
因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM .
2 2 2 2 2 2

2 故数列 an 是 B-数列.

? ?

数列大题训练 50 题
1 .数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an .

(1)求{ a n }的通项公式; (2)求和 Tn =

1 1 1 ? ?? ? . 2a1 3a2 (n ? 1)an

2 .已知数列 {a n } ,a1=1,点 P(a n ,2a n ?1 )( n ? N *) 在直线 x ?

1 y ? 1 ? 0 上. 2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)函数 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N *,且n ? 2) ,求函数 n ? a1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

f (n) 最小值.
3 .已知函数 f ( x) ? ab

1 (a,b 为常数)的图象经过点 P(1, )和 Q(4,8) 8 (1) 求函数 f (x) 的解析式;
x

(2) 记 an=log2 f (n) ,n 是正整数, S n 是数列{an}的前 n 项和,求 S n 的最小值。
4 .已知 y=f(x)为一次函数,且 f(2)、f(5)、f(4)成等比数列,f(8)=15.

求 S n =f(1)+f(2)+…+f(n)的表达式.
5 .设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? c ? 1 ? can ,其中 c 是不等于 ?1 和 0 的实常数.

(1)求证:

?an ? 为等比数列;

1 (2)设数列 ?an ? 的公比 q ? f ? c ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? , bn ? f ? bn ?1 ?? n ? N , n ? 2 ? ,试 3
写出 ?

?1? ? 的通项公式,并求 b1b2 ? b2b3 ? ? ? bn ?1b n 的结果. ? bn ?

6 .在平面直角坐标系中,已知 An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),满足向量 An An ?1 与向

量 BnCn 共线,且点 Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率为 6 的同一条直线上. (1)试用 a1,b1 与 n 来表示 an; (2)设 a1=a,b1=-a,且 12<a≤15,求数列{an}中的最小项.
7 . 已 知 数 列 {an } 的 前 三 项 与 数 列 {bn } 的 前 三 项 对 应 相 同 , 且

a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n?1 an ? 8n 对任意的 n ?N*都成立,数列 {bn?1 ? bn } 是等差数列.
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)问是否存在 k ? N*,使得 bk ? ak ? (0,1) ?请说明理由.
8 .已知数列 {a n }中, a1 ? 5且a n ? 3a n ?1 ? 3 ? 1
n

(n ? 2,3,?)

(I)试求 a2,a3 的值; (II)若存在实数 ? , 使得{

an ? ? } 为等差数列,试求 λ 的值. 3n

9 .已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ,

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 Tn ?

Sn ,①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn ?1 :②若对一切正整数 n ,总有 2n

Tn ? m ,求 m 的取值范围。
10.已知数列 {a n } 的前 n 项和 f (n) 是 n 的二次函数, f (n) 满足 f (2 ? n) ? f (2 ? n), 且

f (4) ? 0, f (1) ? ?3.
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足 bn ?

an ? 1 ,求 {bn } 中数值最大和最小的项. an ? 2
n

12.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且当 n ? 2 时, an ? 2 ? 2an ?1 ? 0

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 {an } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 。
13.正数数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ,满足 2 S n ? an ? 1 ,试求:(I)数列 ? an ? 的通项公式;

(II)设 bn ?

1 1 ,数列的前 n 项的和为 Bn ,求证: Bn ? 。 an an ?1 2

14.已知函数 f (x) =

7x ? 5 ,数列 ? an ? 中,2an+1-2an+an+1an=0,a1=1,且 an≠0, 数列{bn}中, x ?1
1 }是等差数列; an

bn=f(an-1) (1)求证:数列{

(2)求数列{bn}的通项公式; (3)求数列{ bn }的前 n 项和 Sn.
15.已知函数

b f (x) =a·x 的图象过点 A(4, )和 B(5,1).

1 4

(1)求函数 f (x) 解析式; (2)记 an =log2 f (n) n∈N* , S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,解关于 n 的不等式

an ? S n ? 0
16.已知数列 ?a n ?的前 n 项的和为 S n ,且 a n ? S n ? S n ?1 ?n ? 2, S n ? 0? , a1

?

2 . 9

(1)求证: ?

?1 ? ? 为等差数列; ? Sn ?

(2)求数列 ?a n ?的通项公式.
17.在平面直角坐标系中,已知 An (n, an ) 、 Bn (n, bn ) 、 C n (n ? 1,0)( n ? N *) ,满足向量

??????? An An ?1 与向量 Bn C n 共线,且点 Bn (n, bn ) (n ? N *) 都在斜率 6 的同一条直线上.
(1)证明数列 ?bn ? 是等差数列;(2)试用 a1 , b1 与 n 来表示 a n ; (3)设 a1 ? a, b1 ? ?a ,且 12 ? a ? 15 ,求数 {a n } 中的最小值的项.
18.设正数数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足 S n

?

1 (a n ? 1) 2 . 4

(I)求数列{ a n }的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . a n ? a n?1

19.已知等差数列{an}中,a1=1,公差 d>0,且 a2、a5、a14 分别是等比数列{bn}的第二项、第

三项、第四项. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项 an、bn; (Ⅱ)设数列{cn}对任意的 n∈N*,均有 的值.
20.已知数列{ a n }满足 a1 ? 1 ,且 a n ? 2a n ?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N )
n *

c c1 c2 ? +…+ n =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2005 b1 b2 bn

(1)求证:数列{

an }是等差数列;(2)求数列{ a n }的通项公式; 2n Sn ? 2n ? 3 。 2n

(3)设数列{ a n }的前 n 项之和 S n ,求证:
2

21.设数列{an}的前 n 项和为 S n =2n ,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2 -a1) =b1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=

an , 求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn

22.已知函数 f ( x ) 与函数 y ?

a ( x ? 1) (a >0)的图象关于 y ? x 对称.

(1) 求 f ( x ) ; (2) 若 无 穷 数 列 ? an ? 满 足 a1 ? 1, Sn ? a 1 ? a 2 ? ??? ? an , 且 点 Pn ( a n , Sn ) 均 在 函 数

?1? y ? f ( x ) 上,求 a 的值,并求数列 ? ? 的所有项的和(即前 n 项和的极限)。 ? an ?
23.已知函数

f ( x) ?

x , 数列{an }满足a1 ? 1, an?1 ? f (an )( n ? N ? ) 3x ? 1
1 } 是等差数列; an
n

(1)求证:数列 {

(2)若数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, 记Tn ?

b b1 b2 ? ? ? ? n , 求Tn . a1 a 2 an
an an ?1 ( n?N * ),且

24.已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 0 , bn ?

{bn } 是以 q 为公比的等比数列
(I)证明: an ? 2 ? an q ;
2

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(II)若 cn ? a2 n ?1 ? 2a2 n ,证明数列 {cn } 是等比数列; (III)求和:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? a1 a2 a3 a4 a2 n ?1 a2 n
2

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25.已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,…

(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求数列{an}的通项及 Tn;
2 26.等差数列 {an } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1,a3,a9 成等比数列, S 5 ? a5 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ?
n2 ? n ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项的和. a n ? a n?1
n ?1

27.已知向量 a ? (2 , an ), b ? (an ?1 , 2
n

?

?

? ? ), (n ? N * ) 且 a1 ? 1 .若 a 与 b 共线,

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n .
28.已知:数列 {a n } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2 n ?1

an ?

n , a ? N? . 3

(1)求数列 {a n } 的通项; (2)设 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn. an

29.对负整数 a,数 a2 ? a ? 3, 6a ? 6, 10a ? 3 可构成等差数列.

(1)求 a 的值; (2)若数列 ?an ? 满足 a n ?1 ? a
n ?1

? 2a n (n ? N ? ) 首项为 a0 ,①令 bn ?

an (?2)n

,求 ?bn ? 的

通项公式;②若对任意 n ? N ? 有a2n?1 ? a2n?1 ,求 a0 取值范围.
30.数列 {a n }满足a1 ? 2, a 2 ? 5, a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n .

(1)求证:数列 {a n ?1 ? a n } 是等比数列; (2)求数列{ a n }的通项公式; (3)若 bn ? nan , 求数列{bn }的前n项和S n .
31.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的
'

前 n 项和为 S n ,点 (n, S n )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)、求数列 {an } 的通项公式;

?

(Ⅱ)、设 bn ?

3 m ? ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都 a n a n ?1 20

成立的最小正整数 m;
32.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1

?

1 , an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2) 2

(Ⅰ)判断 {

1 } 是否为等差数列?并证明你的结论; Sn
2

(Ⅱ)求 Sn 和 an (Ⅲ)求证: S ? S ? .... ? S n ?
2 1 2 2 2
0 0

1 1 ? . 2 4n

33 . 若 An 和 Bn 分 别 表 示 数 列 ?an ? 和 ?bn ? 的 前
7

n 项和,对任意正整数 n 有

an ? ?

2n ? 3 ,4 Bn ? 12 An ? 13n 。 2
0 2 0 9

(1)求 An ;

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3) 设集合 X ? {x | x ? 2a n , n ? N }, Y ? { y | y ? 4bn , n ? N } , 若等差数列 ?cn ? 的
* *

任一项 cn ? X ? Y ,c1 是 X ? Y 的最大数,且 ? 265 ? cm ? ?125 ,求 ?cn ?的通项公式。
34.已知点列 Pn (a n , bn ) 在直线 l:y = 2x + 1 上,P1 为直线 l 与 y 轴的交点,等差数列{an}

的公差为 1(n ? N )
*

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(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ) C ? n
1 (n ? 2) ,求和:C2 + C3 + … +Cn; n | P1 Pn |

(Ⅲ)若 d n ? 2d n?1 ? a n?1 (n ? 2) ,且 d1 = 1,求证数列 {d n ? n ? 2} 为等比数列:求{dn} 的通项公式
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35.已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ?

数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn . (Ⅰ)求证:数列

1 ,公比 q ? 1 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N? ) , 4 4 4

?bn ? 成等差数列; (Ⅱ)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ;
(Ⅲ)若 cn ?

1 m2 ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

1 36.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn( Sn ? 0 ),且 an ? 2Sn Sn ?1 ? 0 (n ≥ 2, n ? N* ), a1 ? . 2

(1)求证: ? (2)求 an;

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

2 2 (3)若 bn ? 2(1 ? n) an ( n ≥ 2) ,求证: b2 ? b32 ? ? ? bn ? 1.

37.已知

f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ? 3

(Ⅰ)当 a ? 4 , 2 ? x ? 5 时,问 x 分别取何值时,函数 f ( x) 取得最大值和最小值, 并求出相应的最大值和最小值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 R 上恒为增函数,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)已知常数 a ? 4 ,数列 ? an ? 满足 an ?1 ? 得数列 ?an ? (n ? N ) 成等差数列.
?

f (an ) ? 3 (n ? N ? ) ,试探求 a1 的值,使 an

38.在数列 {a n }中,已知a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n an ? 1

(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证: a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) ? ? ? a n (a n ? 1) ? 3
39.设函数 f(x)的定义域为 (0,??) ,且对任意正实数 x,y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 恒成

立,已知 f (2) ? 1且x ? 1 , f ( x) ? 0. 时 (1)求 f ( ) 的值; (2)判断 y ? f ( x)在(0,??) 上单调性; (3)一个各项均为正数的数列{an}满足: f ( S n ) ? f (a n ) ? f (a n ? 1) ? 1(n ? N ? ) 其 中 Sn 是数列{an}的前 n 项和,求 Sn 与 an 的值.
1 40 . 已 知 定 义 在 ( - 1,1 ) 上 的 函 数 f (x) 满 足 f ( ) ? 1 , 且 对 x,y ? (?1,1) 时 , 有 2
f ( x) ? f ( y ) ? f ( x? y )。 1 ? xy
2 xn
2 1 ? xn

1 2

(I)判断 f (x) 在(-1,1)上的奇偶性,并证明之; (II)令 x1 ? , xn ?1 ? (III)设 Tn 为数列 { 有 Tn ?
1 2

,求数列 { f ( xn )} 的通项公式;

1 } 的前 n 项和,问是否存在正整数 m,使得对任意的 n ? N * , f ( xn )

m?4 成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,则说明理由。 3
*

41.已知 f1 ( x) ? x ? 1 ,且 f n ( x) ? f1[ f n ?1 ( x)](n ? 1, n ? N )

(1)求 f n ( x) (n ? N ) 的表达式;
*

(2)若关于 x 的函数 y ? x ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? … ? f n ( x)(n ? N ) 在区间(- ? ,-1]上
2 *

的最小值为 12,求 n 的值。

?x ? 0 ? 42 . 设 不 等 式 组 ? y ? 0 所 表 示 的 平 面 区 域 为 Dn , 记 Dn 内 的 整 点 个 数 为 a n ? y ? ? nx ? 3n ?

?n ? N ? 。(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)
*

(I)求数列 a n 的通项公式;

? ?

(II)记数列 a n 的前 n 项和为 S n ,且 Tn ?

? ?

Sn 3· 2
n ?1

,若对于一切的正整数 n,总有

Tn ? m ,求实数 m 的取值范围。
43.在数列 ? an ? 中, a1 ? 2,an ?1 ? ? an ? ?
n ?1

? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0

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(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明存在 k ? N ,使得
?

an ?1 a ≤ k ?1 对任意 n ?N? 均成立 an ak

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44. 设数列{an}是首项为 4, 公差为 1 的等差数列,n 为数列{bn}的前 n 项和, S n ? n ? 2n. S 且
2

(I)求{an}及{bn}的通项公式 an 和 bn. ?an , n为正奇数, ? 问是否存在k ? N *使f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立?若存在,求 (II)若 f (n) ? ? bn , n为正偶数, ? ? 出 k 的值;若不存在,说明理由; (III)若对任意的正整数 n,不等式 正数 a 的取值范围.
a 1 ? ? 0 恒成立,求 1 1 1 n ? 1 ? an ?1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn

x2 ? x ? n 1 (n ? N ? , y ? 1) 的最小值为 an , 最大值为bn , 且 cn ? 4(an bn ? ), 数 45.函数 y ? 2 2 x ?1
列 {Cn } 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求数列 {c n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {dn } 是等差数列,且 d n ? (Ⅲ)若 f (n) ?

Sn ,求非零常数 c ; n?c

dn (n ? N ? ) ,求数列 { f (n)} 的最大项. (n ? 36) d n ?1

46 . 设 数 列 ? an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 它 的 前

n 项 的 和 为 S n , 点 (an ,S n )在 函 数

1 1 1 y ? x 2 ? x ? 的图像上;数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn .其中 n ? N ? . 8 2 2
⑴求数列 ? an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ⑵设 cn ?

an 5 ? ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn ? ( n ? N ). bn 9

的前n项和为S n , 且S n ? (1 ? ? ) ? ?an , 其中? ? ?1,0 ; 47.设数列 {a n }
(1)证明:数列 {a n } 是等比数列; (2) 设数列 {a n } 的公比 q ? f (? ), 数列{bn }满足b1 ? 求数列 {bn } 的通项公式; (3)记 ? ? 1, 记C n ? a n (

1 , bn ? f (bn?1 )( n ? N * , n ? 2) 2

1 ? 1), 求数列{C n }的前n项和Tn ; bn
1 2 ? x ? 1? 对一切实数 x 恒成立. 2

48.已知二次函数 f ? x ? 满足 f ? ?1? ? 0 ,且 x ? f ? x ? ?

(1)求 f ?1? (3)求证:

(2)求 f ? x ? 的表达式;
1 1 1 1 4n . ? ? ??? ? f ?1? f ? 2 ? f ? 3? f ? n ? 2n ? 4

49.在数列 {an } 中, a1 ? a , an ?1 ?

5an ? 6 , n ? 1,2,3,?. an

(Ⅰ)若对于 n ?N ,均有 an ?1 ? an 成立,求 a 的值;
*

(Ⅱ)若对于 n ?N ,均有 an ?1 ? an 成立,求 a 的取值范围;
*

(Ⅲ)请你构造一个无穷数列 {bn } ,使其满足下列两个条件,并加以证明: ① bn ? bn ?1 , n ? 1,2,3,? ; ② 当 a 为 {bn } 中的任意一项时, {an } 中必有某一项的值为 1.
50. f (x) 对任意 x ? R 都有

1 f ( x) ? f (1 ? x) ? . 2 1 1 n ?1 (Ⅰ)求 f ( ) 和 f ( ) ? f ( ) (n ? N ) 的值. 2 n n 1 2 n ?1 (Ⅱ)数列 ?a n ?满足: a n = f (0) + f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) ,数列 ?a n ? n n n
是等差数列吗?请给予证明; (Ⅲ)令 bn ? 的大小.

4 4a n ? 1

2 2 2 , Tn ? b12 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

16 . 试比较 Tn 与 S n n

数列大题训练 50 题

参考答案 1 .解:(1) ∵ ?

?2 S n ? (n ? 1)an n ,两式相减,得 an ? an ?1 (n ? 2) , n ?1 ?2 S n ?1 ? nan ?1



an a a a n n ?1 2 ? n ? n ?1 ?? ? 2 ? ? ?? ? ? n , a1 an ?1 an ?2 a1 n ? 1 n ? 2 1

∴ an ? n . (2) Tn ? =1 ?

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 2 3 n n ?1 1 n =1 ? = . n ?1 n ?1
2 .解 (1)∵ (a n ,2a n ?1 ) 在直线 x-y+1=0 上,

∴ an ? an?1 ? 1 ? 0,即an?1 ? an ? 1, ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n. (2)∵ f (n ? 1) ? f (n) ?

故 {a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 0, n ? N * 且n ? 2, 2n ? 2 2n ? 1 n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 2

7 7 , ∴ f (n) 的最小值是 . 12 12 x 3 .解:(1)因为函数 f(x)=ab (a,b 为常数)的图象经过点 P,Q 则有
∴ f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (2) ?

1 1 ? ? ?ab ? ?a ? 8 解得? 32 ? 4 ?ab ? 8 ?b ? 4 ? ?

? f ( x) ?
n

x? 1 x 4 (也可以写成 4 2 等不同的形式。 ) 32

5

(2)an = log2 f (n) = log2 4

32

= 2n - 5

因为 an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ; 所以{an}是首项为-3,公差为 2 的等差数列 n(?3 ? 2n ? 5) 所以 S n ? ? n 2 ? 4n ? (n ? 2) 2 ? 4, 2
依题意:[f(5)]2=f(2)· f(4). 2 即:(5k+b) =(2k+b)(4k+b),化简得 k(17k+4b)=0. ∵k≠0,∴b=-

S 当 n=2 时, n 取最小值 - 4

4 .解:设 y=f(x)=kx+b( k≠0),则 f(2)=2k+b,f(5)=5k+b,f(4)=4k+b,

17 k 4



又∵f(8)=8k+b=15 ② 将①代入②得 k=4,b=-17. ∴Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=(4× 1-17)+(4× 2-17)+…+(4n-17)

=4(1+2+…+n)-17n=2n2-15n.
5 .(1)

an c ? ? c ? 0 ? ,所以是等比数列 an ?1 c ? 1 bn ?1 1 1 ? bn ? bnbn ?1 ? bn ?1 ? ? ? 1 ,所以 ?bn ? 是等差数列 1 ? bn ?1 bn bn ?1

(2) bn ?

bn ?

1 n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 3 n ? 2

(3) Sn ?

6 .解:(1)∵点 Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为 6 的同一条直线上,



bn ?1 ? bn =6,即 bn+1-bn=6, ( n ? 1) ? n

于是数列{bn}是等差数列,故 bn=b1+6(n-1). ∵ An An ? 1 ? ?1,an ?1 ? a ?, Bn Cn ? ?? 1,?bn ?,又A n A n ?1与Bn C n 共线. ∴1× n)-(-1)(an+1-an )=0,即 an+1-an=bn (-b ∴当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1 =a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 当 n=1 时,上式也成立. 所以 an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2). (2)把 a1=a,b1=-a 代入上式,得 an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a. ∵12<a≤15,∴
7 9?a ? ? 4 ,∴当 n=4 时,an 取最小值,最小值为 a4=18-2a. 2 6

7 .解:(1)已知 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n ?1 an ? 8n (n? N*)

① ②

n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? … ?2n ?2 an?1 ? 8(n ? 1) (n? N*)
①-②得, 2n ?1 an ? 8 ,求得 an ? 2 在①中令 n ? 1 ,可得得 a1 ? 8 ? 2 所以 an ? 2
4? n

4? n



4 ?1



(n? N*).

由题意 b1 ? 8 , b2 ? 4 , b3 ? 2 ,所以 b2 ? b1 ? ?4 , b3 ? b2 ? ?2 , ∴数列 {bn?1 ? bn } 的公差为 ? 2 ? (?4) ? 2 , ∴ bn?1 ? bn

? ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 ,

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 )
? (?4) ? (?2) ? ? ? (2n ? 8) ? n2 ? 7n ? 14 (n? N*).
4? k (2) bk ? ak ? k 2 ? 7k ? 14 ? 2 ,

7 7 4? k 当 k ? 4 时, f (k ) ? (k ? )2 ? ? 2 单调递增,且 f (4) ? 1 , 2 4

所以 k ? 4 时, f (k ) ? k 2 ? 7k ? 14 ? 24? k ? 1 , 又 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 , 所以,不存在 k ? N*,使得 bk ? ak ? (0,1) . 8 .(I)解 依 a1=5 可知:a2=23, a3=95 (II)解 设

an ? ? ? bn . 3n

若{bn}是等差数列,则有 2b2=b1+b3

即 2?

a 2 ? ? a1 ? ? a3 ? ? ? ? 3 32 33

2 1 1 (23 ? ? ) ? (5 ? ? ) ? (95 ? ? ) 9 3 27 1 得? ? ? 2
事 实 上 ,

bn?1 ? bn ?

a n ?1 ? 3n ?1

1 1 an ? 2? 2 ? 1 [( a ? 3a ) ? 1] ? 1 [(3n?1 ? 1) ? 1] ? 1 n ?1 n n 3 3n ?1 3n?1
a ?? 1 3 , 可使{ n n }成为首项是 、公差是 1 的等差数列 2 2 3

因此,存在 ? ? ?

9 .解:(1)令 n

? 1, 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a 2 ? a1 ? 2



?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ? ??n ? 1? ? a n ? S n ?1 ? n?n ? 1?
? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2?
∵ a 2 ? a1 ? 2 ,∴ a n ?1 ? a n ? 2 n ? N * ,即数列 ?a n ?是以 2 为首项、 2 为公差的等 差数列, ∴ a n ? 2n (2)① Tn ?

?

?

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 n ? 2?n ? N * ? ? ? Tn ?1 ? n n 2 2 2 n?1

②∵ T1 ?

S1 3 ? 1, T2 ? T3 ? ,又∵ n ? 2 时, Tn ? Tn ?1 2 2
3 3 ,∵对一切正整数 n ,总有 Tn ? m 恒成立,因此 m ? 2 2
2

∴各项中数值最大为

10.依题意设 f ( x) ? a(n ? 2) ? b(a ? 0)

(1)? f (4) ? 0 ,∴ 4a ? b ? 0 又 f (1) ? ?3. ∴ a ? b ? ?3. ②



由①、②得 a ? 1, b ? ?4, 所以 f (n) ? n ? 4n
2

又 a n ? f (n) ? f (n ? 1) ? n ? 4n ? (n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 2n ? 5(n ? 2)
2 2

而 a1 ? f (1) ? ?3 符合上式,∴ an ? 2n ? 5. (2)? bn ?

2n ? 4 1 ? 1? 2n ? 3 2n ? 3

当 n ? 2 时, bn 是增函数,因此 b2 ? 0 为 {bn } 的最小项,且 bn ? 1, 又 b1 ? 2 ,所以 {bn } 中最大项为 b1 ? 2 ,最小项为 b2 ? 0 。
11.(1)由 y=

y x x 1 得 x= ,∴ f ?1 ( x) ? (x ? ? ) 2 y ?1 1? 2 x 2x ? 1 2
an 2a n ? 1

又 an+1=f-1(an)(n ? N ? ),∴an+1=

?a1= ?

an 1 ,an+1= ,∴an ? 0 (n ? N+) 2a n ? 1 2007



1 1 1 ? ? 2(n ? N ? ) 且 ? ?2007 an ?1 an a1

∴{

1 }是以-2007 为首项, 2 为公差的等差数列 an



1 ? ?2007 ? 2(n ? 1) an

∴ an ?

1 为所求 2n ? 2009
1 , (2n ? 2009 )( 2n ? 2011)

(2)由(1)知 bn=

记 g(n)=(2n-2009)(2n-2011)(n ? N+) 当 1≤n≤1004 时,g(n)单调递减且 gmin(n)=g(1004)=3 此时 bn>0 且 bn 的最大值为

1 ; 当 n=1005 时,g(n)=-1; 3

当 n≥1006 时,g(n)单调递增且 gmin(n)=g(1006)=3 此时 bn>0 且 bn 的最大值为 综上:bn 的最大值为
12.(1) an ? 2an ?1 ? 2
n

1 ; 3

1 ,最小值为-1 3

?

an an ?1 ? ?1 2n 2n ?1

?a ? ? ? n ? 等差数列 n ?2 ?

? an ? n ? 2n
(2)错位相减, S n ? (n ? 1) ? 2
13.(I)由已知,得
n ?1

?2
2

4S n ? ? an ? 1 ? n ? 2 ? 4 S n ?1 ? ? an ?1 ? 1? ? n ? 2 ? ? ?
2

作差,得 ? an ? an ?1 ?? an ? an ?1 ? 2 ? ? 0 。 又因为 ? an ? 正数数列,所以 an ? an ?1 ? 2 ,由 2 S1 ? a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 (II) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an a n ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? …… ? ? )= ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2 ? 2n ? 1? 2
∵an≠0, 两边同除 an+1an

14.解:(1)2an+1-2an+an+1an=0

1 a n ?1

?

1 1 ? an 2 1 1 }是首项为 1,公差为 的等差数列 an 2 1 1 n ?1 ? (n ? 1)d ? = 2 a n a1

∴数列{

(2)∵

1? n , (n ? N ) n ?1 1? n ∵bn=f(an-1)=f( )=-n+6 (n∈N) n ?1
∴an-1= (3) -n+6 (n≤6, n∈N) n-6 (n>6, n∈N)

bn =

n( b1 ? 6 ? n) 2

?

n(11 ? n) 2

(n≤6, n∈N)

∴Sn=

S6 ?
15.(1)

(n ? 6)( b7 ? bn ) 2

?

n 2 ? 11n ? 60 (n>6, n∈N) 2

f ( x) ?

1 ?4 x 1024

(2)n=5,6,7,8,9
16.解:(1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ,∴ S n ? S n ?1 ? S n ? S n?1 ,



?1 ? 1 1 ? ? ?1?n ? 2? , ∴数列 ? ? 为等差数列. S n S n ?1 ? Sn ?

(2)由(1)知,

1 1 11 ? 2n ? ? (n ? 1) ? (?1) ? , S n S1 2

∴ Sn ?

2 . 11 ? 2n
2 2 4 , ? ? 11 ? 2n 13 ? 2n (11 ? 2n)(13 ? 2n)

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

?2 (n ? 1), ?9 , ? ∴ an ? ? 4 ? , ( n ? 2) ? (11 ? 2n)(13 ? 2n) ?
17.解:(1)∵点 Bn (n, bn )( n ? N *) 都在斜率为 6 的同一条直线上,

?

bn ?1 ? bn ? 6,即bn ?1 ? bn ? 6, (n ? 1) ? n

于是数列 {bn } 是等差数列,故 bn ? b1 ? 6(n ? 1). (2)? An An ?1 ? (1, an ?1 ? an ), BnCn ? (?1, ?bn ), 又 An An ?1与BnCn 共线,

???????

????? ?

??????? ????? ?

?1 ? (?bn ) ? (?1)( a n ?1 ? a n ) ? 0, 即a n ?1 ? a n ? bn . ?当n ? 2时, a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a 3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? a1 ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? a1 ? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2).
当 n=1 时,上式也成立. 所以 a n ? a1 ? b1 (n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2). (3)把 a1 ? a, b1 ? ?a 代入上式,
2 得 a n ? a ? a(n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2) ? 3n ? (9 ? a)n ? 6 ? 2a.

?12 ? a ? 15,?

7 9?a ? ? 4, 2 6

∴当 n=4 时, a n 取最小值,最小值为 a4 ? 18 ? 2a.
18.解:(Ⅰ)当 n

? 1时, a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 . 4


∵ Sn ? ∴ S n ?1

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 ? (a n?1 ? 1) 2 4

(n ? 2) .



①-②,得 a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 (a n ? 1) 2 ? (a n?1 ? 1) 2 , 4 4

整理得, (a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 , ∵ an ? 0 ∴ a n ? a n ?1 ? 0 .

∴ a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 ,即 an ? an ?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 {a n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列. ∴ a n ? 2n ? 1 . (Ⅱ)∵ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a n ? a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1



Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
19.解:(Ⅰ)由题意,有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d) .
2

而 a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1. 公比 q=

a5 =3,a2=b2=3. a2

∴bn=b2·n-2=3· n-2=3 n-1. q 3 (Ⅱ)当 n=1 时,

c1 =a2,∴c1=1× 3=3. b1

当 n≥2 时,∵

c1 c2 c ? ? ? ? n ?1 ? an , ……① b1 b2 bn ?1

c c c1 c 2 ? ? ? ? n ?1 ? n ? a n ?1 . b1 b2 bn ?1 bn
②—①,得

……②

cn ? an ?1 ? an ? 2, ∴cn=2bn= 2·n?1 (n ? 2) 3 bn

∴cn= ?

?3,    ? 1; 3 n ?1 ?2· , n ? 2.
1 2 3 2004

∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(3 +3 +3 +…+3
20.(1)? an

3(1 - 32004 ) ) =3+2· ? 32005. 1? 3

? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * )

a n a n ?1 a a ? n ?1 ? 1, 即 n ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) n n 2 2 2 2 n ?1 a 1 ? 数列{a n }是等差数列, 公差为d ? 1, 首项 1 ? , n 2 2 a 1 1 1 (2)由(1)得 n ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , n 2 2 2 2 1 ? a n ? (n ? ) ? 2 n 2 1 3 5 1 (3) ? S n ? ? 21 ? ? 2 2 ? ? 2 3 ? ? ? (n ? ) ? 2 n.......... ....(1) 2 2 2 2 1 3 5 1 ? 2 S n ? ? 2 2 ? ? 2 3 ? ? 2 4 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1.......... ......( 2) 2 2 2 2 ?
(1) ? (2)得 1 1 ? S n ? 1 ? 2 2 ? 23 ? ? ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 2 2

?

2(1 ? 2 n ) 1 ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3. 1? 2 2 Sn S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? (2 ? 3) ? 2 n ,? n ? 2n ? 3 2

21.解:(1)∵当 n=1 时 ,a1=S1=2;

当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=2n2 -2(n-1)2=4n-2. 故数列{an}的通项公式 an=4n-2,公差 d=4. 设{bn}的公比为 q,则 b1qd= b1,∵d=4,∴q=

1 ?1? - .∴bn=b1qn 1=2×? ? 4 ?4?

n ?1

=

2 4 n ?1

,

即数列{ bn }的通项公式 bn= (2)∵ c n ?

2 4 n ?1



a n 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4 n ?1 2 bn 4 n ?1
-1

∴Tn=1+3·1+5·2+··+(2n-1)4n 4 4 ·· ··

∴4Tn=1· 42+5·3+··+(2n-1)4n 4+3· 4 ·· ·· 两式相减得 3Tn=-1-2(41+42+43+··+4n 1)+(2n-1)4n= [(6n ? 5)4 n ? 5] ·· ··


1 3

∴Tn= [(6n ? 5)4 n ? 5]
22.(1) f ( x ) ?

1 9

x2 ? 1,( x ? 0) a

an a ? 1,∵ a1 ? 1? a1 ? 1 ? 1 a a (2) ∵ Pn ( an , Sn ) 在 y ? f ( x ) 上 1 1 ?1 ? ? 1,? a ? a 2 ? Sn ?
? Sn ? 2an ? 1 ,当 n ? 2 时 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ? Sn ? Sn ?1 ? a n ? 2an ? 2an ?1
? an ? 2an ?1 ,??an ? 等 比 且 公 比 为 q ? 2 , 首 项 为

a1 ? 1

1 ?1? ?1? 1 1 a1 ' ? ?2 ? ? 等比公比为 q ? ,首项为 1 ,所以 ? ? 的各项和为 ' 2 1? q 1? 1 ? an ? ? an ? 2
an 1 1 1 1 ,? ? ? 3即 ? ?3 3a n ? 1 a n ?1 a n a n ?1 a n

23.解:(1)由已知得: a n ?1 ?

?{

1 } 是首项为 a1 ? 1,公差 d=3 的等差数列 an 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2即a n ? (n ? N ? ) an 3n ? 2
n ?1

? (2)由(1)得 :
n

由 S n ? 2 ? 1得bn ? 2

? Tn ?

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (3n ? 2) ? 2 n ?1 a1 a 2 an

? 2Tn ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? 7 ? 2 3 ? ? ? (3n ? 5) ? 2 n ?1 ? (3n ? 2) ? 2 n ? (1 ? 2)Tn ? 1 ? 3(2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ?1 ) ? (3n ? 2) ? 2 n ? 1 ? 3(2 n ? 2) ? (3n ? 2) ? 2 n ? ?5 ? (3n ? 5) ? 2 n
? Tn ? (3n ? 5) ? 2 n ? 5.
24.解法:(I)证:由

a a a bn ?1 ? q ,有 n ?1 n ? 2 ? n ?2 ? q ,∴ an? 2 ? an q 2 (n ? N*) an bn an an ?1
2

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(II)证:? an ? qn ?2 q ,

? a2 n ?1 ? a2 n ?3q 2 ? ? ? a1q 2 n ?2 , a2 n ? a2 n ? 2 q 2 ? ? ? a2 q n ? 2 , ? cn ? a2 n ?1 ? 2a2 n ? a1q 2 n ?2 ? 2a2 q 2 n ?2 ? (a1 ? 2a2 )q 2 n ?2 ? 5q 2 n ?2
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??cn ? 是首项为 5,以 q 2 为公比的等比数列
(III)由(II)得

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1 a2 n ?1

?

1 2? 2 n 1 1 2? 2 n q , 2n ? 2 q ,于是 a1 a a

1 1 1 ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? a1 a2 a2 n ? a1 a3 a2 n ?1 ? ? a2 a4 a2 n ?

?

1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? a1 ? q q q q q ? a2 ? q ?

3? 1 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 1 ? ? ? 2 n?2 ? 2? q q q ?
当 q ? 1 时,

1 1 1 3? 1 1 1 ? 3 ? ?? ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? ? n a1 a2 a2 n 2 ? q q q ? 2 1 1 1 3? 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? a1 a2 a2 n 2 ? q q q ?

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当 q ? 1 时,

?

3 ? 1 ? q ?2 n ? 3 ? q 2 n ? 1 ? ? ?? 2 ? 1 ? q ?2 ? 2 ? q 2 n ? 2 (q 2 ? 1) ? ? ?

?3 q ? 1, ? n, 1 1 1 ?2 ?? ? ?? 故 ? 2n a1 a2 a2 n ? ? ? q ? 1 ? ,q ? 1. ? ? ? q 2 n ? 2 ( q 2 ? 1) ? ? ? ?
25.解:(1)由已知 an ?1 ? an ? 2an , ? an ?1 ? 1 ? (an ? 1)
2 2

? a1 ? 2 ,? an ? 1 ? 1,两边取对数得 lg(1 ? an ?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即 ?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)知 lg(1 ? an ) ? 2
n ?1

lg(1 ? an ?1 ) ?2 lg(1 ? an )

? lg(1 ? a1 ) ? 2n ?1 ? lg 3 ? lg 32 ?1 ? an ? 32
0 1 2 n-1

n?1

n ?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+a n ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
26.(1)解:设数列 {an } 公差为 d(d>0)

? 31? 2? 2

2

?…+2n-1

=3

2n -1

2 ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) 2

整理得: d 2 ? a1d ∵ d ? 0 ,∴ a1 ? d
2 ∵ S 5 ? a5



5? 4 ② ? d ? (a1 ? 4d ) 2 2 3 3 由①②得: a1 ? , d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 n2 ? n ? 1 25 n 2 ? n ? 1 25 1 1 (2) bn ? ? ? ? (1 ? ? ) 3 3 9 n(n ? 1) 9 n n ?1 n ? (n ? 1) 5 5 25 1 1 1 1 1 ∴ b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn ? [n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] 9 2 2 3 n n ?1 25 1 25 n 2 ? 2n ? (n ? 1 ? )? ? 9 n ?1 9 n ?1

∴ 5a1 ?

27.(1)? a // b ? an an ?1 ? 2

? ?

2 n ?1

(n ? N * )



取 n ? 1 得 a1a2 ? 8,? a1 ? 1? a2 ? 8

? an ?1an ? 2 ? 22 n ?3
② ? ①得:



an ? 2 ? 4( n ? N * ) an

??an ? 中 的 奇 数 项 a1 , a3 , a5 ,? 是 以 a1 为 前 项 , 4 为 公 比 的 等 比 数 列 , 偶 数 项

a2 , a4 , a6 ,? 是以 a2 的前项,4 为公比的等比数列
?a2 k ?1 ? a1 ? 4k ?1 ? 22 k ? 2 ? ?? k ?1 2 k ?1 ? a2 k ? a2 ? 4 ? 2 ? ?2n ?1 (n为奇数) ? ? an ? ? n ?1 ?2 (n为偶数) ?
(2)当 n 为偶数时,
n 2 n 2

Sn ? (a1 ? a3 ? m ? an?1 ) ? (a2 ? a4 ? m ? an ) ?
当 n 为奇数时, Sn ? Sn ?1 ? an ? 3(2
n ?1

1? (1 ? 4 ) 8 ? (1 ? 4 ) ? ? 3(2n ? 1) 1? 4 1? 4

? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 3

? 2 n ?1 ? 3( n为奇数) ? ? Sn ? ? n ?3(2 ? 1)( n为偶数) ?
28.(Ⅰ) a1 ? 3a 2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2 n ?1

a1 ? 3a 2 ? 32 a3 ? ? ? 3n?2 a n?1 3n?1 a n ? an ? n n ?1 1 ? ? (n ? 2), 3 3 3

n , 3 n ?1 ? (n ? 2), 3 an ?

1 (n ? 2) 3n 1 (n ? N *) 3n

验证 n=1 时也满足上式: a n ? (Ⅱ) bn ? n ? 3 n

S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? 33 ? ? n ? 3 n 3S n ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? n ? 3n ?1 ? 2S n ? 3 ? 32 ? 33 ? ?3n ? n ? 3 n ?1 ,

? 2S n ?
Sn ?

3 ? 3n?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

n n ?1 1 n?1 3 ?3 ? ?3 ? . 2 4 4
2 2

29.(1) a ? a ? 3 ? 10 a ? 3 ? 12 a ? 12 ? a ? a ? 6 ? 0

又 a ? 0且a ? Z ? a ? ?2

(2)① a n ?1 ? (?2)

n ?1

? 2a n , ? bn ?1 ?

a n ?1 (?2) n ?1

? 1 ? bn

又 b0 ? a0 , ? bn ? n ? a0 ② an ? (?2)n bn ? (?2)n (n ? a0 )
? a2n?1 ? a2n?1

即 (?2)

2 n ?1

(2n ? 1 ? a0 ) ? (?2) 2 n ?1 (2n ? 1 ? a0 )

而 (?2)2n?1 ? 0 ? 4(2n ? 1 ? a0 ) ? 2n ? 1 ? a0
? a0 ? ?2n ? 5 5 11 n ? N ? ? a0 ? ?2 ? ? ? 3 3 3

30.解(1)由题意知: a n ? 2 ? a n ?1 ? 2(a n ?1 ? a n ).

?

a n ? 2 ? a n ?1 ? 2, 故数列{a n ?1 ? a n } 是等比数列 a n ?1 ? a n

(2)由(1)知数列 {a n ?1 ? a n } 以是 a2-a1=3 为首项, 以 2 为公比的等比数列,所以 a n ?1 ? a n ? 3 ? 2
n ?1

,
n?2

故 a2-a1=3·0,所以 a3-a2=3·1,a4-a3=3·2,…, a n ? a n ?1 ? 3 ? 2 2 2 2 所以 a n ? a1 ?

,

3(1 ? 2 n ?1 ) ? 3(2 n ?1 ? 1).即a n ? 3 ? 2 n ?1 ? 1. 1? 2
n ?1

(3) nan ? 3n ? 2
0

? n, 先求n ? 2 n ?1的前n项和.
n ?1

设 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n2
1 1 2


n ?1

2 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1)2
0 1 2

? n2 n ②
n ?1

①—②得: ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

? n2 n ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n

? Tn ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 n ? 1

S n ? 3(n ? 1) ? 2 n ? 3 ?

n(n ? 1) n
2

31.解:(Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得

a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, S n )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 S n =3n2-2n.
?

3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- (n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

3 3 1 1 1 = = ( ? ), a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 1 1 1 1 ? 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ?

因此, 要使 (1-

1 2

1 m 1 m ) ( n? N? ) < 成立的 m,必须且仅须满足 ≤ , m≥10, 即 6n ? 1 20 2 20
1 2 ? 1 ?2 S1

所以满足要求的最小正整数 m 为 10.
32.解证:(Ⅰ) S1 ? a1 ?

当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1即S n ? S n ?1 ? ?2S n S n ?1

?

1 1 ? ?2 S n S n ?1

故{

1 } 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n, S n ? Sn 2n

当 n≥2 时, a n ? ?2S n S n ?1 ? ?

1 2n(n ? 1)

?1 (n ? 1) ?2 1 ? 当 n=1 时, a1 ? ? a n ? ? 1 2 ?? (n ? 2) ? 2n(n ? 1) ?
(Ⅲ) S1 ? S 2 ? ... ? S n ?
2 2 2

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 2 2 4 4? 2 4?3 4 ? n2

?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ) ? (1 ? ? ? ... ? ) 4 4 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) n 2 3 n

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? 1 ? ? ? ? ... ? ? )? ? . 4 2 2 3 n ?1 n 2 4n 5 2n ? 3 2(n ? 1) ? 3 33.解:(1)? a1 ? ? , an ? an?1 ? ? ? ? ?1(n ? 2) , 2 2 2 5 ∴数列 ?an ? 是以 ? 为首项,-1 为公差的等差数列, 2 ?

? 5 2n ? 3 ? n? ? ? ? n(n ? 4) 2 2 ? 。 ? An ? ? ?? 2 2
(2)由 4 Bn ? 12 An ? 13n ,得 Bn ?

13n ? 12 An 6n 2 ? 11n 。 ?? 4 4

? bn ? Bn ? Bn?1 ? ?

6n 2 ? 11n 6(n ? 1) 2 ? 11(n ? 1) 12 n ? 5 ? ?? (n ? 2) 。 4 4 4

而当 n ? 1 时, B1 ? b1 ? ?

? bn ? ?

12n ? 5 。 4
*

12 ? 1 ? 5 17 ?? 。 4 4

(3)对任意 n ? N ,2an ? ?2n ? 3,4bn ? ?12 n ? 5 ? ?2(6n ? 1) ? 3 , 所以 Y ? X ,即 X ? Y ? Y 。

? c1 是 X ? Y 中的最大数,?c1 ? ?17 。
设等差数列 ?cn ?的公差为 d ,则 c10 ? ?17 ? 9d 。

? ?265 ? ?17 ? 9d ? ?125 , ? ?27

5 ? d ? ?12 , 9

? ?4bn ?是一个以-12 为公差的等差数列, ? d ? ?12 m(m ? N * ),? d ? ?24 ,
? cn ? 7 ? 24 n(n ? N * ) 。
34.解:(Ⅰ)? Pn (a n , bn ) 在直线 l : y ? 2 x ? 1上,? bn ? 2a n ? 1

∵P1 为直线 l 与 y 轴的交点,∴P1(0,1) ? a1 ? 0 , 又数列 {a n } 的公差为 1 ? a n ? n ? 1(n ? N )
*

? bn ? 2n ? 1(n ? N * )
(Ⅱ)? P (0,1), p n (a n , bn ) 1
2 ?| P1 Pn |? a n ? (bn ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? (2n ? 2) 2 ? 5 (n ? 1)

?Cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 2) n? | P1 Pn | 5n(n ? 1) 5 n ?1 n

?C 2 ? C3 ? ? ? C n ?

1

1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? )? (1 ? ) 2 2 3 n ?1 n n 5 5

(Ⅲ)? d n ? 2d n ?1 ? n

? d n ? n ? 2 ? 2(d n?1 ? n ? 1 ? 2)

?{d n ? n ? 2} 是以 2 为公比,4 为首项的等比数列,
? d n ? n ? 2 ? 2 n ?1 ,? d n ? 2 n ?1 ? n ? 2.
35.解:(Ⅰ)由题意知, an ? ( 1 )n

∵ bn ? 3log 1 an ? 2 , b1 ? 3log a1 ? 2 ? 1
4

4

( n ? N? )

∴ bn ?1 ? bn ? 3log 1 an ?1 ? 3log 1 an ? 3log 1
4 4 4

∴数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列, 其通项为 bn ? 3n ? 2 ( n ? N ? ).

an ?1 ? 3log 1 q ? 3 an 4

(Ⅱ)∵ cn ? (3n ? 2) ? ( 1 )n ,( n ? N ? ) 4 1 ? 4 ? ( 1 )2 ? 7 ? ( 1 )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( 1 )n?1 ? (3n ? 2) ? ( 1 ) n , ∴ Sn ? 1? 4 4 4 4 4 1 S ? 1? ( 1 )2 ? 4 ? ( 1 )3 ? 7 ? ( 1 )4 ? ? ? (3n ? 5) ? ( 1 )n ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 于是 n 4 4 4 4 4 4 1 ?) n ? ( 3? 2 ?n 1 ( ) 1 n? n? 两式相减得 3 Sn ? 1? 3 ? ( 12) ? ( 13? ? ? (1 1 ) ) ? ( ) ? 4 4 ? 4 4 4 4 4 ? ? 1 ? 3 ? 1 ? ( 1 )2 ? ( 1 )3 ? ? ? ( 1 )n?1 ? ( 1 )n ? ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 ?? ?4 4 2 4 4 4 ? 4 ? ? ? 1 ? (3n ? 2) ? ( 1 )n?1 . 2 4 2 ? 12n ? 8 ? ( 1 )n?1 ( n ? N ? ) ∴ Sn ? 3 3 4 (Ⅲ) ∵ cn?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( 1 )n?1 ? (3n ? 2) ? ( 1 )n ? 9(1 ? n) ? ( 1 )n?1 , ( n ? N ? ) 4 4 4 1 ∴当 n ? 1 时, c2 ? c1 ? 4 当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,即 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ∴当 n ? 1 时, cn 取最大值是 1 4 1 m2 ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立 ∴ 1 m2 ? m ? 1 ? 1 又 cn ? 4 4 4 2 即 m ? 4m ? 5 ? 0 得 m ? 1 或 m ? ?5
36. (1) an ? 2Sn Sn?1 ? 0 , Sn Sn ?1 ? ? ∵ ∴

an 1 1 ? 2 (n ≥ 2, n ? N* ) , 又∵ Sn ? Sn ?1 ? an , ∴ ? Sn Sn ?1 2

∴数列 ?

?1? 1 ? 2n. ? 是等差数列,且 Sn ? Sn ?

(2)当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 1 ? ?? . 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

?1 ? 1 ?2 当 n=1 时, a1 ? 不成立. ∴ an ? ? 2 1 ?? ? 2n(n ? 1) ?

(n ? 1), (n ≥ 2).

(3) bn ? 2(1 ? n)an ?
1 2 1 1 2 3

1 1 1 1 1 2 ,∴ bn ? 2 ? ? ? (n ≥ 2) . n(n ? 1) n ? 1 n n n

∴左边 ? 1 ? ? ? ? ? ?

1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 显然成立. n ?1 n n
2

37.解:(Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 | ?2 x ? 3

(1) 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? x(4 ? x) ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 3) ? 6 当 x ? 2 时, f ( x) min ? 5 ;当 x ? 3 时, f ( x) max ? 6 (2)当 4 ? x ? 5 时, f ( x) ? x( x ? 4) ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4
2

当 x ? 4 时, f ( x) min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12 综上所述,当 x ? 2 或 4 时, f ( x) min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12
? a ? 2 2 (a ? 2) 2 (x ? ) ? ? 3, x ? a ? 2 4 (Ⅱ) f ( x) ? ? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ? ? ? 2 ? 2 ?? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ??( x ? a ? 2 ) 2 ? (a ? 2) ? 3, x ? a ? ? 2 4
2

f ( x) 在 R 上恒为增函数的充要条件是 ? ?

?a ? 2 ? a ,解得 ?2 ? a ? 2 2 ? ?a ? 2 ? a ? 2 ?

f (an ) ? 3 ?| an ? 4 | ?2(n ? N * ) , an ① 当 a n ? 4 时, an ?1 ? ?an ? 6 ,即 an ?1 ? an ? 6 (1)
(Ⅲ) an ?1 ? 当 n=1 时, a1 ? a 2 ? 6 ;当 n≥2 时, a n ? an ?1 ? 6 又 ?a n ?为等差数列,∴ (2) (1)—(2)得,n≥2 时, an?1 ? an?1 ? 0 ,即 an ?1 ? an ?1

a n ? 3 (n ? N * )

此时 a1 ? 3 ∴ d ? ?2

②当 an ? 4 时 an ?1 ? an ? 2 ,即 an?1 ? an ? ?2

若 d ? ?2 时,则 an ?1 ? an ? 2 (3),将(3)代入(1)得 an ? 4 ?| an ? 4 | ,

? an ? 4 对一切 n ? N * 都成立
另一方面, an ? a1 ? 2(n ? 1) , an ? 4 当且仅当 n ?

? d ? ?2 不符合题意,舍去. ? 综合①②知,要使数列 ?an ? (n ? N ) 成等差数列,则 a1 ? 3
38.(I)解:由 a1 ? 2, a n ?1 ?

a1 ? 1 时成立,矛盾 2

2a n 可知, 对n ? N * , a n ? 0 an ? 1

从而由 a n ?1 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 两边取倒数得, ? ? 即 ? 1 ? ( ? 1) an ? 1 a n ?1 2 2a n a n ?1 2 an

? a1 ? 2,

1 1 ?1 ? ? . a1 2

? 数列{

1 1 1 ? 1}是首项为 ? , 公比为 的等比数列 an 2 2

?

1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? ?( ) n . an 2 2 2
1 1 2n ?1 ?1 ? ? n ? an 2 2n 2n . 2n ?1

?

? an ?

故数列 {a n }的通项公式是a n ?

2n . 2n ? 1

(II)? a n ?

2n . 2n ? 1
2i (i ? 1,2, ? n), ( 2 i ? 1) 2

? ai ( ai ? 1) ? 当i ? 2时,

2i 2i 2 i ?1 1 1 ? ai (ai ? 1) ? i ? i ? i ? i ?1 ? i 2 i i ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

? ? ai (ai ? 1) ? a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) ? ? ? a n (a n ? 1)
i ?1

n

? ?

21 22 2n ? 2 ??? n (21 ? 1) 2 (2 ? 1) 2 (2 ? 1) 2

21 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) 1 2 (2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 ? 2 ?1? n 2 ?1 1 ? 3 ? n ?1 ? 3. 2

39.1°f (1) ? f (1,1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0

1 1 1 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? f ( ) ? ?1 2 2 2

2?

f ( x)在(0,??)上单调递增, 设0 ? x1 ? x 2 ? x2 x x x ? 1 ? f ( 2 ) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ? 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1 x1

? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在(0,??)上是增函数. 3? f ( S n ) ? f (a n ) ? f (a n ? 1) ? 1 ? f ( S n ) ? f (2) ? f (a n ) ? f (a n ? 1) ? f (2 ? S n ) ? f [a n ? (a n ? 1)]
2 ? 2 ? S n ? an ? an 2 2 S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1

? a n ? a n ?1 ? 1 ? a n ? n S n ?
40.解:(I)令 x=y=0,得 f(0)=0。

n(n ? 1) 2

又当 x=0 时, f (0) ? f ( y) ? f (? y), 即 f (? y) ? ? f ( y) 。 ∴对任意 x ? (?1,1) 时,都有 f (? x) ? ? f ( x) 。
? f (x) 为奇函数。

2 xn 1 2 2 (II)?{xn } 满足 x1 ? , xn ?1 ? ? ? ? 1, 2 1 2 1 ? xn ? xn 2 xn
? 0 ? xn ? 1 。? f ( xn ?1 ) ? f (
2 xn
2 1 ? xn

) ? f[

xn ? (? xn ) ] ? f ( xn ) ? f (? xn ) 。 1 ? xn ? (? xn )

? f (x) 在 (?1,1) 上是奇函数, ∴ f (? xn ) ? ? f ( xn ) ? f ( xn ?1 ) ? 2 f ( xn ) ,即

f ( xn ?1 ) ?2。 f ( xn )

1 ?{ f ( xn )} 是以 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列。? f ( xn ) ? 2n ?1 。 2
1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 1 2 ? 2? 1 。 (III) Tn ? = 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? ??? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2 2n ?1 1? 2

假设存在正整数 m,使得对任意的 n ? N * , m?4 有 Tn ? 成立, 3 即2? 只需
1 2
n ?1

?

m?4 对 n ? N * 恒在立。 3

m?4 ? 2 ,即 m ? 10. 3
m?4 成立。 3

故存在正整数 m,使得对 n ? N * ,有 Tn ? 此时 m 的最小值为 10。
41.解(1) f n ( x) ? x ? n

(2)∵ f n ( x) ? x ? n ,∴ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? … ? f n ( x) ? nx ?

n(n ? 1) , 2

∴ y ? x ? nx ?
2

n(n ? 1) n n 2 ? 2n 。 ? ( x ? )2 ? 2 2 4

①当 ?

n n 2 ? 2n n 在区间(- ? ,-1]上是减函数 ? ?1 即 n ? 2 时,函数 y ? ( x ? )2 ? 2 4 2

∴当 x ? ?1 时, ymin ?
2

n2 ? n ? 2 ? 12 即 n2 ? n ? 22 ? 0 , 2

又 ? ? (?1) ? 4 ? (?22) ? 89 ,∴该方程没有整数解; ②当 ?

n 2 ? 2n n ? 12 ? ?1,即 n ? 2 时, ymin ? 2 2

∴ n ? 2n ? 48 ? 0 ,解得 n ? 6 或 n ? ?8 (舍去)
2

综上所述, n ? 6 为所求的值
42.解:(I)由 x ? 0,y ? 0, 3n ? nx ? 0 ,得 0 ?

x?3

∴x ? 1 或 x ? 2
∴ Dn 内 的 整 点 在 直 线 x ? 1 和 x ? 2 上 , 记 直 线 y ? ?nx ? 3n 为 l , l 与 直 线

x ? 1,x ? 2 的交点的纵坐标分别为 y1 、y2 ,则
y1 ? ? n ? 3n ? 2n,y2 ? ?2n ? 3n ? n
∴a n ? 3n n ? N

?

*

?
?
3n?n ? 1? 2

(II) ∵S n ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

?

∴Tn ?

n?n ? 1? 2
n

∴Tn ?1 ? Tn ?

?n ? 1??n ? 2?
2
n ?1

?

n?n ? 1? 2
n

?

?n ? 1??2 ? n?
2
n ?1

∴当 n ? 3 时, Tn ? Tn ?1 ,且 T1 ? 1 ? T2 ? T3 ?

3 2 3 ∴T2 ,T3 是数列 ?Tn ? 中的最大项,故 m ? T2 ? 2
n ?1

43.(Ⅰ) 解:由 an ?1 ? ? an ? ?

? (2 ? ? )2n (n ? N? ) , ? ? 0 ,

可得

? n ?1

an ?1

?2? ?? ? ???

n ?1

?

?2? ? ? ? ?1, n ? ??? an

n

n ? an ? 2 ? n ? an ? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ,所以 所以 ? n ? ? ? ? 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 ?n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

数列 ? an ? 的通项公式为 an ? (n ? 1)? ? 2
n
2 3 4

n
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新疆奎屯
·2007·

(Ⅱ)解:设 Tn ? ? ? 2? ? 3? ? ? ? (n ? 2)?

n ?1

? (n ? 1)? n ,




?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ? ? ? (n ? 2)? n ? (n ? 1)? n?1
当 ? ? 1 时,①式减去②式, 得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)?
2 3 n n ?1

?

? 2 ? ? n ?1 ? (n ? 1)? n ?1 , 1? ?

? 2 ? ? n ?1 (n ? 1)? n ?1 (n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 Tn ? ? ? (1 ? ? ) 2 1? ? (1 ? ? ) 2
这时数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 当 ? ? 1 时, Tn ?

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(n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? 2 2 (1 ? ? )

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n(n ? 1) 2

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这时数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ?

n(n ? 1) n?1 ?2 ?2 2

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(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列 ?

? an ?1 ? a2 ? 的第一项 最大,下面证明: a1 ? an ?


an ?1 a2 ? 2 ? 4 ? ? , n≥ 2 an a1 2

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由 ? ? 0 知 an ? 0 ,要使③式成立,只要 2an ?1 ? (? ? 4)an (n ≥ 2) ,
2

因为 (? ? 4)an ? (? ? 4)(n ? 1)? ? (? ? 1)2
2 2 n 2

n

? 4? (n ? 1)? n ? 4 ? 2n ? 4(n ? 1)? n?1 ? 2n? 2 ·

≥ 2n? n?1 ? 2n?2 ? 2an?1,n ≥ 2
所以③式成立
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因此,存在 k ? 1 ,使得

an ?1 a a ≤ k ?1 ? 2 对任意 n ?N? 均成立 an ak a1

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44.解:(I) a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 4 ? n ? 1 ? n ? 3.

当n ? 1时, b1 ? S1 ? 3. 当n ? 2时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? 2n ? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. 当n ? 1时上式也成立,? bn ? 2n ? 1(n ? N * ). 所以an ? n ? 3, bn ? 2n ? 1.????????????????? 4分
(II)假设符合条件的 k(k∈N*)存在, 由于 f ( n) ? ?

?n ? 3, n为正奇数, ?2n ? 1, n为正偶数,

∴当 k 为正奇数时,k + 27 为正偶数

由 f (k ? 27 ) ? 4 f (k ), 得2(k ? 27 ) ? 1 ? 4(k ? 3). ? 2k ? 43, k ? 当 k 为正偶数时,k + 27 为正奇数, 由 f (k ? 27 ) ? 4 f (k ), 得(k ? 27 ) ? 3 ? 4(2k ? 1). 因此,符合条件的正整数 k 不存在 (III)将不等式变形并把 a n ?1 ? n ? 4 代入得

43 . (舍) 2 26 . (舍) 7

即 7k ? 26,? k ?

a?

1 2n ? 3

(1 ? 1

1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ). b1 b2 b3 bn (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ). b1 b2 bn 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ). b1 b2 bn ?1
1 bn ?1 )? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 4 ? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5 2n ? 3 .


设 g ( n) ?

2n ? 3 1

? g (n ? 1) ?
g (n ? 1) ? g ( n)

2n ? 5
2n ? 3 2n ? 5

(1 ?

?


(1 ?

? (2n ? 5)( 2n ? 3) ?
g (n ? 1) ? 1,即g (n ? 1) ? g (n). g ( n)

(2n ? 5) ? (2n ? 3) ? 2n ? 4 2

?

? g (n)随n的增大而增大, 故g (n) min ? g (1) ?
45.解:(Ⅰ)由 y ?

1

1 4 5 4 5 (1 ? ) ? .?0 ? a ? . 3 15 15 5

x2 ? x ? n ,(n ? N *, y ? 1), 得x 2 ( y ? 1) ? x ? y ? n ? 0 2 x ?1

? x ? R , y ? 1 ,?? ? 1 ? 4( y ? 1)( y ? n) ? 0, 即4 y 2 ? 4(1 ? n) y ? 4n ? 1 ? 0
由题意知: an , bn 是方程4 y 2 ? 4(1 ? n) y ? 4n ? 1 ? 0 的两根,

1 4 ? Cn ? 4n ? 3,(n ? N *) ? an ? bn ? n ?
(Ⅱ) S n ? 2n ? n, d n ?
2

2n 2 ? n 1 6 15 ,? d1 ? , d2 ? , d3 ? 1? c 2?c 3? c n?c

1 ? {dn } 为等差数列,? 2d 2 ? d1 ? d3 ,? 2c2 ? c ? 0 ,?c ? ? 或c ? 0(舍) 2 1 经检验 c ? 时, {dn } 是等差数列, dn ? 2n 2
(Ⅲ) f (n) ?

2n 1 1 1 ? ? ? (n ? 36)(2n ? 2) n ? 36 ? 37 37 ? 2 36 49 n

36 即n ? 6时取 " ? " n 1 ? f (n)的最大值为 . 49 当且仅当n ?
46.⑴由已知条件得 Sn

1 1 1 ? an 2 ? an ? , ① 8 2 2 1 1 1 2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? , ② 8 2 2 1 2 1 1 2 ①-②得: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ,即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1) , 8 2 4
∵数列 ? an ? 的各项均为正数,∴ an ? an ?1 ? 4 ( n ? 2 ), 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ; ∵ b1 ? a1 , bn ?1 (an ?1 ? an ) ? bn , ∴ b1 ? 2,

bn ?1 1 1 ? ,∴ bn ? 2 ? ( )n?1 ; bn 4 4 an ? (2n ? 1)4n ?1 , bn
2 n?2

⑵∵ cn ?

∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? (2n ? 3) ? 4

? (2n ? 1) ? 4n?1 ,

4Tn ?

4 ? 3 ? 42 ? ? ? (2n ? 5) ? 4n ?2 ? (2n ? 3) ? 4n ?1 ? (2n ? 1) ? 4n ,
2 n ?1

两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ? ? ? 4 ∴ Tn ?

5 5 5 ) ? (2n ? 1)4n ? ? ? (2n ? ) ? 4n ? ? , 3 3 3

5 . 9

47.解:(1)由 S n ? (1 ? ? ) ? ?a n ? S n ?1 ? (1 ? ? ) ? ?a n ?1 (n ? 2)

相减得: a n ? ??a n ? ?a n ?1 ,?

an ? ? (n ? 2),? 数列{a n } 是等比数列 a n ?1 1 ? ?

(2) f (? ) ?

?
1? ?

,? bn ?

bn 1 1 ? ? ? 1, 1 ? bn ?1 bn bn ?1

1 1 1 ?{ }是首项为 ? 2, 公差为1的等差数列;? ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 bn b1 bn

? bn ?

1 n ?1
1 2
n ?1

(3) ? ? 1时, a n ? ( )

,? C n ? a n (

1 1 ? 1) ? ( ) n ?1 n , bn 2

1 1 1 ① ? Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? ? ? n( ) n?1 2 2 2 1 1 1 1 1 ② Tn ? ( ) ? 2( ) 2 ? 3( ) 3 ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n ①-②得: Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n 1 1 ? Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) ? 2(1 ? ( ) n ) ? n( ) n , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n 1 n 所以: Tn ? 4(1 ? ( ) ) ? 2n( ) 2 2
48.解: (1)根据 x ? f ? x ? ?

1 2 ? x ? 1? 对一切实数 x 恒成立, 2

令 x ? 1 ,可得 1 ? f ?1? ?

1 2 ?1 ? 1? ? 1 ,? f ?1? ? 1 ; 2

1 ? ?a ? c ? 2 ? f ? ?1? ? a ? b ? c ? 0 ? ? (2)设 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,则 ? ,解得 ? ? f ?1? ? a ? b ? c ? 1 ? ? b?1 ? ? 2

1 1 1 1 1 又 f ? x ? ? ax2 ? x ? c ? ax 2 ? x ? ? a ? x 恒成立,即 ax 2 ? x ? ? a ? 0 恒成立, 2 2 2 2 2
a?0 ? 1 1 1 1 1 1 2 ? ,解得 a ? , c ? , f ? x ? ? x2 ? x ? ? ? x ? 1? ?? 1 4 4 2 4 4 4 ? ? ? 2a ? 4a 2 ? 0 ? ? 4
1 1 1 1 4 4 4 4 1 2 (3) (2) f ? ? ? n ? 1? , 由 得 n ? ? ??? ? 2 ? 2 ? 2 ??? ? 2 f ?1? f ? 2 ? f ? 3? f ?n? 2 3 4 4 ? n ? 1?

? 1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 4n ?1 1 1 1 ?1 ? 4? ? ? ?? ? ? ? 4? ? ? ? ??? ? ? 4? ? ?? ? 2 ?3 3? 4 4 ?5 ? n ?1 n ? 2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? 2 3 3 4 ? 2 n ? 2 ? 2n ? 4 ?

49.(Ⅰ)解:依题意, an ?1 ? an ? a , n ? 1,2,3,?.

所以 a ?

5a ? 6 ,解得 a ? 2 ,或 a ? 3 ,符合题意. a
5an ? 6 ? an , 得 an ? 0,或 2 ? an ? 3. an

(Ⅱ解不等式 an ?1 ? an ,即

所以,要使 a2 ? a1 成立,则 a1 ? 0,或 2 ? a1 ? 3. (1)当 a1 ? 0 时, a2 ? f (a1 ) ?

5a1 ? 6 6 ? 5? ? 5, a1 a1

而 a3 ? a2 ? f (a2 ) ? a2 ?

5a2 ? 6 (a ? 2)(a2 ? 3) ? a2 ? ? 2 ? 0 ,即 a3 ? a2 ,不满足题意. a2 a2 5a1 ? 6 6 6 ? 5 ? ? (2, , a3 ? 5 ? ? (2, , ? , 3) 3) a1 a1 a2

(2)当 2 ? a1 ? 3 时, a2 ? f (a1 ) ? 满足题意. 综上, a ? (2, . 3) (Ⅲ)解:构造数列 {bn } : b1 ?

6 3 , bn ?1 ? 5 ? bn 2

(n ? N* ) . 那么 bn ? 5 ?

6 . bn ?1



妨设 a 取 bn , 那 么

a2 ? 5 ?

6 6 ? 5 ? ? bn ?1 a1 bn



a3 ? 5 ?

6 6 ? 5? ? bn ?2 a2 bn ?1



?



an ? 5 ?

6 6 3 ? 5 ? ? b1 ? , an ?1 b2 2 6 6 6 3 ? 5 ? ? 1 . 由 b1 ? ? 2 ,可得 bn ? ? 2 , ( n ? 1 , n ?N* ). an b1 5 ? bn ?1 2 6 (b ? 2)(bn ? 3) ? bn ? n ? 0 ,所以 bn ? bn?1 , n ? 1,2,3,? . 5 ? bn 5 ? bn

an ?1 ? 5 ?

因为 bn ?1 ? bn ?

又 bn ? 2 ? 5 ,所以数列 {bn } 是无穷数列,因此构造的数列 {bn } 符合题意.

50.解:(Ⅰ)因为

1 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 1 令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( )? . n n n 2 n n 2 1 n ?1 (Ⅱ) a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n ?1 1 又 a n ? f (1) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n
两式相加

1 n ?1 n ?1 . 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? n n 2 n ?1 所以 a n ? ,n? N , 4 n ?1?1 n ?1 1 又 a n ?1 ? a n ? ? ? .故数列 {a n } 是等差数列.分 4 4 4 4 4 ? (Ⅲ) bn ? 4a n ? 1 n 1 1 1 2 2 Tn ? b12 ? b2 ? ? ? bn ? 16(1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 ? 16[1 ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? 16[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n 1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn n n
所以 Tn ? S n



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