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初中数学竞赛辅导-配套课件(用于初一、初二)


m 形如 (n ? 0)的数叫有理数。其中m,n为整数。 n 性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作 小数点后面为零的小数)或循环小数的形式,反之亦然. 有 理 数 ? ?为有理数。 例1:证明循环小数2.6154 ? ? ? x, 证明:设 2.6154 ?? 两边同乘100,则有261.54=100 x 两式相减得: 99 x ? 261.54 ? 2.61 则 258.93 25893 x? ? 99 9900 无 理 数 无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封闭 的,而无理数与无理数的和,差,积,商不一定是无理 数.如: ? 2 ? 2 ? 0, ? 1, 3 ?2 3 ? 6 ? 即无理数对四则运算不封闭.但它有下列性质: 性质2 设a为有理数,b为无理数,则 (1)a+b,a-b是无理数; (2)a≠0时,ab与a/b为是无理数. 有理数和无理数统称为实数,记作R.即 证 (反证法) 2? 所以p一定是偶数.设p=2m(m是自然数),代入①得 4m2=2q2,q2=2m2, 例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1,a2,b1,b2为有理数,a为 无理数),则a1=a2,b1=b2,反之,亦成立. 证:将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1.若b1≠b2,则 反之,显然成立. 实 数 1.实数集R对加、减、乘、除 ( 除数不为0 ) 四则运算 是封闭的,即任意两个实数的和、差、积、商 ( 除数不 为0 ) 仍然是实数. 2.实数集是有序的,即任意两实数a,b必满足下述三个 关系之一: a<b,a=b,a>b 3. 实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则a>c 4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何 a , b ? R, 若b ? a ? 0,则存在正整数n,使得na ? b 5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间 必有另一个实数, 且既有有理数,也有无理数. 6.实数集R具有完备性,即实数集R与数轴上的点有着 一一对应关系. 例1 比较下列各组数的大小.(不查表) 若a>b>0,则an>bn(n为大于1的整数) 反之,若a>0,b>0,且an>bn,则a>b. 比较法则: (2)作商比较法: 若a,b 同号,则 a ?1? a ? b b a ?1? a ? b b a ?1? a ? b b ()作差比较法: 1 a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b 例2: 已知a,b是两个任意有理数,且a<b,求证:a与b 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性). 证: 因为a<b,所以2a<a+b<2b,即 a 1+b a 1+b 例4: 已知a,b是两个任意有理数,且a<b,问是否存 在无理数α ,使得a<α <b成立? 即 由①,②有 存在无理数α ,使得a<α <b成立. 整 除 问 题 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除 以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b整除, 或b能整除a,或b整除a,记作b丨a.此时,b是a的一个因 数(约数),a是b的倍数. 1.整除的性质 性质1 如果a和b都能被m整除,那么a+b,a-b也都能被m整 除(这里设a>b). 性质2 如果a能被b整除,b能被c整除,那么a能被c整除。 例如: 3丨6,6丨24,那么3丨24. 性质3 如果a能同时被m、n整除,那

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