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苏教版高三一轮课时作业第2章 单元检测(B)



第2章

圆锥曲线与方程(B)

(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 以 x 轴为对称轴, 抛物线通径长为 8, 顶点在坐标原点的抛物线的方程为__________. 2.双曲线 9x2-4y2=-36 的渐近线方程是_______________________

_____. 3.若抛物线 y2=2px 上的一点 A(6,y)到焦点 F 的距离为 10,则 p=________. x2 y2 6 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,椭圆 2+ 2=1 的离心率为________. a b 2 a b x2 2 5.设 F1、F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,∠F1PF2=90° ,则△ 4 F1PF2 的面积是________. y2 6.过双曲线 M:x2- 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐 h 近线分别相交于点 B、C,且 AB=BC,则双曲线 M 的离心率是________. x2 y2 7.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 30° 的直 a b 线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为________. x2 y2 4 8.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 9 4+k 5 9.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________. 10.曲线 y=1+ 4-x2与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是 __________. x2 y2 11.在平面直角坐标系中,椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半径 a b 2 a ? 作圆,过点? ? c ,0?作圆的两切线互相垂直,则离心率 e=________. x2 y2 12.椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的焦点为 F1,F2,两条准线与 x 轴的交点分别为 M,N,若 a b MN≤2F1F2,则该椭圆离心率的取值范围是________. 13.若点 M 是抛物线 y2=4x 到直线 2x-y+3=0 的距离最小的一点,那么点 M 的坐标 是__________. x2 y2 14.过双曲线 - =1 的焦点作弦 MN,若 MN=48,则此弦的倾斜角为________. 9 18 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) x2 y2 14 15.(14 分)已知双曲线与椭圆 + =1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方 9 25 5 程.

16.(14 分)抛物线 y2=2px (p>0)有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的 方程是 y=2x,斜边长是 5 3,求此抛物线方程.

x2 17. (14 分)设 P 是椭圆 2+y2=1 (a>1)短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点, 求 PQ a 的最大值.

x2 y2 18.(16 分)点 A、B 分别是椭圆 + =1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 36 20 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF.求点 P 的坐标.

19.(16 分)已知抛物线 y2=2x,直线 l 过点(0,2)与抛物线交于 M,N 两点,以线段 MN 的长为直径的圆过坐标原点 O,求直线 l 的方程.

20.(16 分)已知抛物线 C:y=2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中 点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行;

→ → (2)是否存在实数 k 使NA· NB=0,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

第2章

圆锥曲线与方程(B)

1.y2=± 8x 解析 2p=8,抛物线开口向左或向右. 3 2.y=± x 2 3.8 p 解析 ∵6+ =10,∴p=8. 2 2 4. 2 a2+b2 6 3 6 解析 ∵ 2 =? ?2= = , a ?2? 4 2 a2-b2 1 ∴ 2 = . a 2 2 x y2 2 ∴椭圆 2+ 2=1 的离心率为 . a b 2 5.1 解析 由题意,得 PF1-PF2=± 4, 2 PF2 1+PF2=5×4=20. ∴2PF1· PF2=20-16=4, 1 ∴S△F1PF2= PF1· PF2=1. 2 6. 10 解析 直线 l 的方程是 y=x+1,两条渐近线方程为 y=± hx,由 AB=BC,可得 B 是 A、 -2 1+h2 1 C 的中点, =-1+ ,解得 h=0(舍去)或 h=3,故 e= = 10. 1 h+1 h-1 19 7. 3 8.- 或 21 25 1 9.- 4 x2 1 1 2 解析 y - =1,∴- =4,∴m=- . 1 m 4 - m 5 3? 10.? ?12,4? 3 解析 y=1+ 4-x2即为 x2+(y-1)2=4(y≥1)表示上半圆.直线过(-2,1)时 k= ;直 4

线与半圆相切时, 11. 2 2

|3-2k|
2

5 3? 5 , . =2,得 k= .所以 k∈? 12 4? ? 12 k +1

a2 c 2 解析 由 2c=2,所以 c=1.因为两条切线互相垂直,所以 = 2R= 2a,所以 = . c a 2 2 12.? ,1? 2 ? ? 2a2 解析 MN= ,F1F2=2c,MN≤2F1F2, c a2 2 则 ≤2c,该椭圆离心率 e 的取值范围是? ,1?. c ?2 ? 1 ? 13.? ?4,1? ?y2=4x, ? 解析 由? 得 y2-2y+2m=0. ?2x-y+m=0, ? 1 1 因为 Δ=0 得 m= ,所以 y=1,x= , 2 4 1 ? 所以 M? ?4,1?. 14.60° 或 120° 解析 设弦的方程为 y=k(x-3 3), 代入 2x2-y2=18 得(2-k2)x2+6 3k2x-27k2-18=0, 27k2+18 6 3k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -2 k -2 ∴MN= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2=48, ∴k=± 3.故倾斜角为 60° 或 120° . 4 15.解 由于椭圆焦点为 F(0,± 4),离心率为 e= , 5 所以双曲线的焦点为 F(0,± 4),离心率为 2, 从而 c=4,a=2,b=2 3. y2 x2 所以所求双曲线方程为 - =1. 4 12 16.解 设△AOB 为抛物线的内接直角三角形,直角顶点为 O,AO 边的方程是 y=2x, 1 则 OB 边方程为 y=- x. 2 ? ?y=2x p ? ,p 由? 2 ,可得 A 点坐标为? 2 ?. ? ? ?y =2px 1 ? ?y=-2x 由? ,可得 B 点坐标为(8p,-4p). ?y2=2px ? ∵AB=5 3,∴ p ?2 ?p+4p?2+? ?2-8p? =5 3.

2 39 ∵p>0,解得 p= , 13 4 39 ∴所求的抛物线方程为 y2= x. 13 17.解 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),

则 PQ= x2+?y-1?2,又因为 Q 在椭圆上, 所以,x2=a2(1-y2), PQ2=a2(1-y2)+y2-2y+1 =(1-a2)y2-2y+1+a2 1 1 2 =(1-a2)?y-1-a2?2- ? ? 1-a2+1+a . 1 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则?1-a2?≤1, ? ? a2 a2-1 1 时, PQ 取最大值 . 1-a2 a2-1 18.解 由已知可得点 A(-6,0),F(4,0), 设点 P 的坐标是(x,y), → → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y), x2 y2 ? ?36+20=1 由已知得? , 当 y=

? ??x+6??x-4?+y2=0

3 则 2x2+9x-18=0,x= 或 x=-6. 2 3 5 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= 3, 2 2 3 5 ? ∴点 P 的坐标是? ?2,2 3?. 19.解 由题意知直线 l 的斜率存在, 设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+2, ? ?y=kx+2 解方程组? 2 , ? ?y =2x 消去 x 得 ky2-2y+4=0, 1 Δ=4-16k>0?k< (k≠0), 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2 4 则 y1+y2= ,y1y2= , k k 1 x1= y2 2 1 1 4 ?x1x2= (y1y2)2= 2. 4 k 1 x2= y2 2 2

? ? ?

OM⊥ON?kOM· kON=-1, ∴x1x2+y1y2=0, 4 4 ∴ 2+ =0,解得 k=-1. k k 所以所求直线方程为 y=-x+2, 即 x+y-2=0. 20.(1)证明

2 2 2 如图,设 A(x1,2x2 1),B(x2,2x2),把 y=kx+2 代入 y=2x 得 2x -kx-2=0, k 由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2=-1, 2 x1+x2 k ∴xN=xM= = , 2 4 k k2 , ?. ∴N 点的坐标为? ?4 8 ? 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 k? k2 y- =m? ?x-4?, 8 mk k2 将 y=2x2 代入上式得 2x2-mx+ - =0, 4 8 ∵直线 l 与抛物线 C 相切, mk k2? 2 2 ∴Δ=m2-8? ? 4 - 8 ?=m -2mk+k =(m-k)2=0,∴m=k. 即 l∥AB. → → (2)假设存在实数 k,使NA· NB=0, 则 NA⊥NB, 1 又∵M 是 AB 的中点,∴MN= AB. 2 1 由(1)知 yM= (y1+y2) 2 1 = (kx1+2+kx2+2) 2 1 = [k(x1+x2)+4] 2 2 1 k k2 +4?= +2. = ? ? 4 2? 2 ∵MN⊥x 轴,∴MN=|yM-yN| 2 k2 k2 k +16 = +2- = . 4 8 8

又 AB= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 k ?2 = 1+k2 ? ?2? -4×?-1? 1 = k2+1 k2+16. 2 k2+16 1 2 ∴ = k +1 k2+16, 8 4 → → 解得 k=± 2.使NA· NB=0.



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