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立体几何中的外接球问题
通过上几期我们将数列型不等式的证明学习完了,大家在后面的慢慢学会将几种技巧用在解题过 程中。 本期我们将研究立体几何中外接球的问题。 在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点, 对于学生来说这是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的情况下无从下手,不知道球心 在什么位置,半径是多少而无法解题。本期我们一起研究在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小 的问题。 一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。 【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a, b, c ,则体对角线长为 l ? a2 ? b2 ? c2 ,几何

a 2 ? b2 ? c2 体的外接球直径 2R 为体对角线长 l 即 R ? 2
【例题】:在四面体 ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为 1, 6 , 3 ,若该四面体的四个 顶点在一个球面上,求这个球的表面积。 解: 因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以:四面体外接球的直径为 AE 的长 即: 4R 2 ? AB2 ? AC 2 ? AD2
A D

E

C

4R2 ? 12 ? 32 ? 6 ? 16
2

2

所以 R ? 2
B

球的表面积为 S ? 4?R ? 16? 二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。 【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】 : 已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上,AB ? BC 且 PA ? 7 ,PB ? 5 ,PC ? 51 ,AC ? 10 , 求球 O 的体积。 解: AB ? BC 且 PA ? 7 , PB ? 5 , PC ? 51 , AC ? 10 , 因为 72 ? 51 ? 102 所以 PA ? PC
2

P

所以知 AC 2 ? PA2 ? PC 2 所以可得图形为:

B

在 Rt ?ABC 中斜边为 AC 在 Rt ?PAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O , 在 Rt ?ABC 中 OA ? OB ? OC
1

A

O

C

在 Rt ?PAC 中 OP ? OB ? OC 所以在几何体中 OP ? OB ? OC ? OA ,即 O 为该四面体的外接球的球心
R? 1 AC ? 5 2

4 500? 所以该外接球的体积为 V ? ?R 3 ? 3 3

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解 【例题】:已知在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 面ABC , ?BAC ? 120? , AB ? AD ? AC ? 2 ,求该棱锥的外 接球半径。 解:由已知建立空间直角坐标系
A(0, 0, 0) B(2, 0, 0)

z

D

C(?1 ,3, 0)

D(0, 0, 2)
A

球心坐标为 O( x, y, z) 则 AO ? BO ? CO ? DO , 由空间两点间距离公式知 x ? y ? z ? ( x ? 2) ? y ? z
2 2 2 2 2 2

C

y

x

B

x ? y ? z ? x ? y ? ( z ? 2)
2 2 2 2 2

2

x ? y ? z ? ( x ?1) ? ( y ? 3)2 ? z 2
2 2 2 2

解得

x ?1 y ?

3 3

z ?1

所以半径为 R ? 12 ? ( 四、四面体是正四面体

3 2 2 21 )?1 ? 3 3

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,根据勾股定理知,假设正四面体的边长为 a 时,它的 外接球半径为
6 a。 4

【例题】一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为(

)

A.3π

B.4π

C.3 3 π

D.6π
6 6 3 , 故 S 表=4πR2=3π. a? ? 2? 4 4 2

解析: 利用结论可知: 正四面体的边长为 2 , 得外接球半径 R ? 【练一练】

1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体
积是( A.
3 3 4

) B.
3 3

C.

3 4

D.

3 12

2

上期答案:
1 1 1 )an ? ? an ?1 ? 1 ? (1 ? )(an ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 ln(an?1 ? 1) ? ln(an ? 1) ? ln(1 ? )? . n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 ? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(an ? 1) ? ln(a2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n i ?2 i ?2 2 即 ln(an ?1) ? 1 ? ln3 ? an ? 3e ?1 ? e .

1.

解析: an?1 ? (1 ?

2.

n ? (n ? 1) ? n2 ? n ? n2 ? n ?

1 1 ? n? 4 2

1 1 n(n ? 2) ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? (n ? 1) ? (1 ? ) ? ??? ? (n ? ) ? 2 2 2

3



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