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第六节正弦定理和余弦定理 配套资料教师用书



第六节

正弦定理和余弦定理

要求 内容 考纲 传真 正弦定理、余弦定理及其 应用 A B √ C

1.正弦定理和余弦定理 正弦定理 余弦定理

定理

a2=b2+c2-2bccos_A, a b c = = sin A sin B sin C=2R ①a=2Rsin_A,

b=2Rsin_B, c=2Rsin_C; ②a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; ③ a+b+c sin A+sin B+sin C a =sin A ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条 边; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其 他两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为钝角或直 A 为锐角 角 图形 b2+c2-a2 cos A= 2bc ; c2+a2-b2 cos B= 2ca ; a2+b2-c2 cos C= 2ab b2=c2+a2-2cacos_B, c2=a2+b2-2abcos C

内容

形形式

①已知三边,求各角;

决问题

②已知两边和它们的夹角,求第三边和 个角

关系式

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a>b

解的 个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高); 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2acsin B=2absin C; 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径).

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)在△ABC 中,∠A>∠B 必有 sin A>sin B.( )

(2) 在△ ABC 中的六个量中,若已知三个量,则可求另外三个 量.( ) )

(3)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则△ABC 为锐角三角形.(

(4)在△ABC 中,若 A=60° ,a=4 3,b=4 2,则∠B=45° 或∠ B=135° .( )

[解析] (1)中,sin A>sin B?a>b?∠A>∠B,(1)正确.

在(2)中,已知三个量中至少有一个边,才可求另外三个量, (2) 不正确. 在(3)中,A 为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形.(3)不正确. 在(4)中,a>b?∠B<∠A,则∠B=45° ,(4)不正确. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材习题改编)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. a b bsin A 10sin 60° [解析] 由正弦定理, 知sin A=sin B, ∴sin B= a = 15 3 =3. ∵a>b 且∠A=60° ,∴∠B<∠A=60° ,∴cos B>0, 6 ∴cos B= 3 . [答案] 6 3

1 3.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3则△ABC 的面积为 ________. 1 [解析] 由 cos C=3得 sin C= 1-cos2 C=
?1? 2 2 1-?3?2= 3 . ? ?

1 1 2 2 ∴S△ABC=2absin C=2×3 2×2 3× 3 =4 3. [答案] 4 3 4.(2014· 广东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,则b=________. [解析] 因为 bcos C+ccos B=2b,

a2+b2-c2 a2+c2-b2 所以 b· 2ab +c· 2ac =2b, a 化简可得b=2. [答案] 2 2 5.在△ABC 中,a= 5,b= 3,sin B= 2 ,则符合条件的三 角形有________个. [解析] ∵asin B<b<a,∴符合条件的三角形有两个. [答案] 2

(见学生用书第 68 页)

考向 1 判定三角形的形状 【典例 1】 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. [解] (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴bc=-2bccos A,cos A=-2. 2 又 0<A<π,∴A=3π. (2)由(1)知 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,

∴sin2A=(sin B+sin C)2-sin Bsin C. 3 又 sin B+sin C=1,且 sin A= 2 , 1 1 ∴sin Bsin C=4,因此 sin B=sin C=2. π? ? 又 B、C∈?0,2?,故 B=C.
? ?

所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 【规律方法】 1.(1)先用正弦定理化边角混合式为边的关系式,再用余弦定理 求角. (2) 利用正弦定理把 (1) 中关系式 a2 = b2+ c2 + bc 化为角的关系 式.按角判断三角形形状. 2.(1)判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出 角之间的关系. (2)化角为边, 通过代数变形找出边之间的关系. 正(余) 弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式;要移项提取公 因式,否则会有漏掉一种形状的可能. 【变式训练 1】 已知△ABC 的内角 A,B,C 成等差数列且 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,则下列命题中正确的有________(填 所有正确命题序号). π ①B=3; ②若 a,b,c 成等比数列,则△ABC 为等边三角形; ③若 a=2c,则△ABC 为锐角三角形; ④若 tan A+tan C+ 3>0,则△ABC 为钝角三角形. [解析] 对于①,∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,又 A

π +B+C=π,∴B=3,故①正确. 对于②由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, π 又 b2=ac,∴a2+c2-ac=ac 即(a-c)2=0,∴a=c,又 B=3, ∴△ABC 为等边三角形,故②正确. 对于③,若 a=2c,则 b2=a2+c2-2accos B=4c2+c2-2c2=3c2,∴b= 3c,此时满足 a2=b2+c2 说明△ABC 是直角三角形,故③不正确. π 2π 对于④由 B=3得 A+C= 3 .∴tan A+tan C=tan (A+C)(1-tan Atan C)=- 3(1-tan Atan C) =- 3+ 3tan Atan C. ∴tan A+tan C+ 3= 3tan Atan C. 若 tan A+tan C+ 3>0 则 tan Atan C>0. ∴tan A,tan C 同号,又在△ABC 中,A,C 不能同为钝角. ∴tan A,tan C 只能同正,故 A、C 都是锐角. ∴△ABC 为锐角三角形,故④不正确. [答案] ①②

考向 2 与三角形面积有关的问题 【典例 2】 (1)(2014· 课标全国卷Ⅱ改编)钝角三角形 ABC 的面

1 积是2,AB=1,BC= 2,则 AC=________. (2)(2014· 江西高考改编)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分 π 别为 a, b, c, 若 c2=(a-b)2+6, C=3, 则△ABC 的面积是________. 1 1 [解析] (1)S△ABC=2AB· BCsin B=2×1× 2 1 sin B=2, 2 ∴sin B= 2 ,若 B=45° ,则由余弦定理得 AC=1,∴△ABC 为 直角三角形,不符合题意,因此 B=135° ,由余弦定理得 AC2=AB2 +BC2-2AB· BCcos B=1+2-2×1× 2×?-
? ?

2? ?=5, 2?

∴AC= 5,符号题意. (2)c2=(a-b)2+6,即 c2=a2+b2-2ab+6,① π ∵C=3,由余弦定理得 c2=a2+b2-ab,② 1 1 3 3 3 由①②得 ab=6,∴S△ABC=2absin C=2×6× 2 = 2 . 3 3 [答案] (1) 5 (2) 2 , 【规律方法】 1.(1)先利用面积公式求 B,再由余弦定理求 AC,但要注意 B 为钝角.(2)由已知条件及余弦定理,先求出 ab,进而利用面积公式 求出面积. 1 2.(1)面积公式 S=2absin C 涉及边、角,容易和正、余弦定理

联系起来.(2)选择余弦定理和面积公式时,一般应选择角确定的一 组. 【变式训练 2】 (2013· 课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C

的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. [解] (1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B=4. 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos 4. 又 a2+c2≥2ac, 4 故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 考向 3 利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点) 命题视角 解三角形是高考考查的重要内容,主要命题角度有: (1)已知边、角关系求边或角;(2)与三角函数、平面向量综合;(3)与 数列、不等式综合. 【典例 3】 (1)(2014· 江苏高考)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2

sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________.

(2)(2014· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. ①求 a 的值; π? ? ②求 sin?A+4?的值.
? ?

[思路点拨] (1)先用正弦定理化角的关系式为边的关系式,结合余弦定理用 边表示 cos C,然后用基本不等式求最值. (2)①用正、余弦定理化角的关系式为边的关系式,列出关于 a 的方程. ②用余弦定理求 cos A,进而利用平方关系求 sin A. [解析] (1)∵sin A+ 2sin B=2sin C, ∴由正弦定理可得 a+ 2b=2c. a2+b2-c2 4a2+4b2-?2c?2 ∴cos C= 2ab = 8ab 4a2+4b2-?a+ 2b?2 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab = = ≥ = 8ab 8ab 8ab 6- 2 4 , 当且仅当 3a= 2b 时等号成立,故 cos C 的最小值为 [答案] 6- 2 4 6- 2 4 .

(2)①因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· 2ac . 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3.

b2+c2-a2 9+1-12 1 ②由余弦定理得 cos A= 2bc = =- 6 3. 由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos2A= 1 2 2 1-9= 3 .

π? ? π π 2 2 2 ? 1? 2 故 sin?A+4?=sin Acos4+cos Asin4= 3 × 2 +?-3?× 2 = ? ? ? ? 4- 2 6 . 【通关锦囊】 1.选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合, 或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边 角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解, 注意“大边对大角”在判定中的应用. 3.为顺利解决一些综合性问题应熟记一些常用定义定理及公式 等,如平面向量数量积的定义式及坐标式,完全平方公式、正、余弦 定理、三角变换公式,基本不等式等. 【变式训练 3】 (1)(2014· 陕西高考)△ABC 的内角 A,B,C 所

对的边分别为 a,b,c. ①若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); ②若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (2)(2013· 山东高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, 7 b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. ①求 a,c 的值;

②求 sin(A-B)的值. [解] (1)①∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). ②∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= 2ac = ≥ 2ac =2, 2ac 当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cos B 的最小值为2. (2)①由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B=9, 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 4 2 ②在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 9 , 由正弦定理得 sin A= asin B 2 2 b = 3 .

因为 a=c,所以 A 为锐角. 1 所以 cos A= 1-sin2A=3.

10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27

掌握 1 条规律 在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 利用 2 种途径 判定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转 换. 勿忘 2 点注意 1.已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其它 边或角.可能有一解、两解、无解; 2.在判定三角形形状时,等式 两边一般不要约去公因式,以免漏解.

(见学生用书第 69 页)

规范解答之 5

运用正、余弦定理解三角形

(14 分)(2014· 苏锡常镇调研)在△ABC 中,设角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 A=B+30° . (1)若 c=1,b=sin B,求角 B; 1 (2)若 a2+c2-2ac=b2 求 sin A 的值. ——————[规范解答示例]————————— c b (1)由正弦定理,得sin C=sin B, ∵c=1,b=sin B,∴sin C=1. ∵0° <C<180° ,∴C=90° .

(4 分) ∵A+B+C=180° ,∴A+B=90° . 又∵A=B+30° ,∴B=30° (6 分) 1 (2)∵a2+c2-2ac=b2, a2+c2-b2 1 ∴cos B= 2ac =4. (8 分) ∵0° <B<180° , 15 ∴sin B= 4 . (10 分) 3 1 ∴sin A=sin(B+30° )= 2 sin B+2cos B, 3 15 1 1 3 5+1 = 2 × 4 +2×4= 8 . (14 分) ————[构建答题模板]————— (12 分)

,第一步 由正弦定理及已知条件求角 C. ? 第二步 由三角形内角和定理及已知条件求 B. ? 第三步

由余弦定理及已知条件求 cos B. ? 第四步 由同角三角函数基本关系式求 sin B. ? 第五步 由两角和的正弦公式及已知条件求 sin A. 【智慧心语】 易错提示:(1)漏写角的取值范围导致失分. (2)应用正、余弦定理时不会选择公式. (3)记错和角的正弦公式. 防范措施:(1)三角函数值与角的取值范围、定角. (2)一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式要考虑用余 弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用 正弦定理,以上特征均不明显时,则可能正、余弦定理都要用到. (3)运用余弦定理时要注意整体思想. (4)熟练掌握三角变换公式. 【类题通关】 (2014· 苏州期末检测)在△ABC 中,设角 A,B,

1 C 的对边分别为 a,b,c 且 acos C+2c=b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 15,b=4,求边 c 的大小. 1 [解] (1)由正弦定理和 acos C+2c=b 得 1 sin Acos C+2sin C=sin B ∵sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

1 ∴2sin C=cos Asin C. 1 ∵sin C≠0,∴cos A=2, π ∵0<A<π,∴A=3. (2)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A, ∵a= 15,b=4, 1 ∴15=16+c2-2×4×c×2,即 c2-4c+1=0. ∴c=2± 3. 课后限时自测(二十一) [A 级 一、填空题 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3, b= 2,B=45° ,则角 A=________. 3 2 3 [解析] 由正弦定理得sin A=sin 45° ,∴sin A= 2 ,∴A=60° 或 120° . [答案] 60° 或 120° 2. 、(2014· 福建高考)在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3, 则△ABC 的面积等于________. [解析] 2 3 4 如图所示,在△ABC 中,由正弦定理得sin 60° =sin B, 基础达标练]

1 1 解 得 sin B = 1 , 所 以 B = 90° , 所 以 S △ ABC = 2 ×AB×2 3 = 2

× 42-?2 3?2×2 3=2 3. [答案] 2 3 3.(2014· 天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 1 a,b,c.已知 b-c=4a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 3 [解析] 由 2sin B=3sin C 及正弦定理得 2b=3c,即 b=2c. 1 1 1 又 b-c=4a,∴2c=4a,即 a=2c.由余弦定理得 9 2 2 3 2 2 c + c - 4 c - 4c b +c -a 4 1 cos A= 2bc = = 2 =- . 3 3c 4 2×2c2
2 2 2

1 [答案] -4 4.(2013· 辽宁高考改编)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 1 为 a, b, c.若 asin Bcos C+csin Bcos A=2b, 且 a>b, 则∠B=________. 1 [解析] 由正弦定理可得 sin Asin Bcos C+sin C· sin Bcos A=2 1 sin B,又因为 sin B≠0,所以 sin Acos C+sin Ccos A=2,所以 sin(A 1 π +C)=sin B=2.因为 a>b,所以∠B=6. π [答案] 6 5.(2013· 陕西高考改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为________ 三角形. [解析] ∵bcos C+ccos B

b2+a2-c2 c2+a2-b2 =b· 2ab +c· 2ac b2+a2-c2+c2+a2-b2 = 2a 2a2 = 2a =a=asin A,∴sin A=1. π ∵A∈(0,π),∴A=2,即△ABC 是直角三角形. [答案] 直角

6.如图 361,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE =1,连结 EC、ED,则 sin∠CED=________.

图 361

[解析] 在 Rt△EAD 和 Rt△EBC 中,易知 ED= 2,EC= 5, ED2+EC2-CD2 在 △ DEC 中 , 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ CED = = 2ED· EC 2+5-1 2× 2× 5 3 10 = 10 . 10 ∴sin∠CED= 10 . [答案] 10 10

7.(2013· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=________.

[解析] 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b.又因为 b+c=2a, 5 7 所以 a=3b,c=3b, a +b -c 2ab =
2 2 2

所以 cos C= 2π 所以 C= 3 . [答案] 2π 3

?5 ?2 ?7 ? ? b? +b2-? b?2 ?3 ? ?3 ?

5 2×3b×b

1 =-2.因为 C∈(0,π),

8.在钝角△ABC 中,a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围是 ________. a2+b2-c2 12+22-c2 5-c2 [解析] 由余弦定理得 cos C= 2ab = = 4 . 2×1×2 ∵角 C 是钝角,∴-1<cos C<0. 5-c2 ∴-1< 4 <0,∴ 5<c<3. [答案] 5<c<3

二、解答题 9.(2014· 大纲全国卷)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 1 b、c,已知 3acos C=2ccos A,tan A=3,求 B. [解] 由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A. 故 3tan Acos C=2sin C. 1 1 因为 tan A=3,所以 cos C=2sin C,tan C=2. 所以 tan B=tan[180° -(A+C)]=-tan(A+C)= -1.即 B=135° . tan A+tan C = tan Atan C-1

10.(2014· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 为 a, b, c.已知 a≠b, c= 3, cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A=5,求△ABC 的面积. [解] (1)由题意得 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 - = sin 2 A - 2 2 2 2 sin 2B, 3 1 3 1 即 2 sin 2A-2cos 2A= 2 sin 2B-2cos 2B, π? π? ? ? sin?2A-6?=sin?2B-6?.由 a≠b,得 A≠B.又 A+B∈(0,π),得
? ? ? ?

π π 2A-6+2B-6=π, 2π π 即 A+B= 3 ,所以 C=3. 4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A=5,sin A=sin C,得 a=5. 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A=5, 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= 4+3 3 10 ,

8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S=2acsin B= 25 . [B 级 一、填空题 → → π 1. (2014· 山东高考)在△ABC 中, 已知AB· AC=tan A, 当 A=6时, 能力提升练]

△ABC 的面积为________. → → π π π → → 2 [解析] 已知 A=6,由题意得|AB||AC|cos6=tan6,|AB||AC|=3, 1→ → π 1 2 1 1 所以△ABC 的面积 S=2|AB|· |AC|sin6=2×3×2=6. 1 [答案] 6 2.(2013· 福建高考)

图 362 如图 362,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin 2 2 ∠BAC= 3 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 2 2 [解析] ∵sin∠BAC=sin(90° +∠BAD)=cos∠BAD= 3 , ∴在△ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD, 2 2 ∴BD2=18+9-2×3 2×3× 3 =3, ∴BD= 3. [答案] 3

二、解答题 3.(2014· 湖南高考)

图 363 如图 363,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

7 21 (1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 14 , sin∠CBA= 6 , 求 BC 的长. [解] (1)在△ADC 中,由余弦定理, AC2+AD2-CD2 得 cos∠CAD= , 2AC· AD 故由题设知,cos∠CAD= 7+1-4 2 7 = 7 . 2 7

(2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= 7 ,cos∠BAD=- 14 . 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BAD· cos∠CAD-cos∠BAD· sin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 3 7? = 14 × 7 -?- ?× 7 = 2 . ? 14 ? BC AC 在△ABC 中,由正弦定理,sin α= . sin∠CBA 3 7× 2 AC· sin α 故 BC= = =3. sin∠CBA 21 6
? ? ?2 7?2 21 ?= 1-? 7 , ? 7 ?

1-?-

7?2 3 21 ?= 14 . 14 ?



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