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二轮复习数学专题一第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质


2012 年高考第二轮复习数学专题一第 2 讲 函数的图象与性质

函数、基本初等

(

1.(2011 课标全国卷,理 2)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是 ). - A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2 |x| x>0, ?lg x, ? 2. (2011 陕西高考, 11)设 f(x)=?x+ a3t2dt,x≤0, 若 f(f(1))=1, a=__________. 理 则

? ?

? ?0

高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现,若是解答题,则结合的 知识点较多,多在试卷的后两道压轴题中出现.对图象的考查,主要是两个方面:一是识图, 二是用图,即利用图象,通过数形结合的方法解决问题;对函数性质的考查,则主要是将单 调性、奇偶性,周期性等综合在一起考查,既有具体函数,也有抽象函数.

热点一 函数及其表示 该类题型主要涉及求函数定义域、值域、解析式以及抽象函数问题. ? x ?2 +1,x<1, 【例 1】 (1)已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于( ). ? ?x +ax,x≥1, 1 4 A. B. C.2 D.0 2 5 (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域. 思路点拨:(1)结合分段函数解析式,由内到外层层求解;(2)由 x 的取值范围求得 2x+1 的取值范围,即 f(x)的定义域.

(1)求 f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必 须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性. (2)求抽象函数的定义域时,若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义 域由不等式 a≤g(x)≤b 求出;若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域. (3)求值域的常用方法有:配方法、换元法、判别式法、不等式法、利用函数单调性法、 数形结合法等.由于求函数值域的方法多种多样,在选择方法时,要注意所给的函数表达式 的结构,由不同的结构选择不同的方法. 拓展延伸 若例 1(2)中 f(x)的定义域为(0,1),试求函数 F(x)=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定 义域. 热点二 函数图象及其应用 该部分主要考查以下内容:(1)知式选图或知图定式;(2)利用图象研究函数的单调性、最 值、零点;(3)利用图象研究方程、不等式问题.

?x+ 1 ,x>0, ? 【例 2】 已知函数 f(x)=x -3x +1,g(x)=? 4x 关于方程 g[f(x)]-a ?-x2-6x-8,x≤0, ?
3 2

=0(a 为正实数)的根的叙述有下列四个命题: ①存在实数 a,使得方程恰好有 3 个不同的实根; ②存在实数 a,使得方程恰好有 4 个不同的实根; ③存在实数 a,使得方程恰好有 5 个不同的实根; ④存在实数 a,使得方程恰好有 6 个不同的实根. 其中真命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 思路点拨:分别画出 f(x)和 g[f(x)]的图象,数形结合求解. (1)作函数图象的基本思想方法大致有三种:①通过图象变换利用已知函数图象作图;② 对函数解析式进行恒等变换,转化成已知方程对应的曲线;③通过研究函数的性质明确函数 图象的位置和形状. (2)已知函数解析式选择其对应的图象时, 一般是通过研究函数的定义域、 值域、 单调性、 奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等来获得相应的图象特征,然后对照图象特征选择正确 的图象. (3)研究方程的根的个数、根的范围问题,尤其是当方程不是常见的一元一次方程、一元 二次方程且方程与常见的基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f(x)=0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标, 方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的 交点的横坐标. 3 拓展延伸 若关于 x 的不等式 a≤ x2-3x+4≤b 的解集恰好是[a,b],则 a+b 的值为 4 ( ). 8 16 A.5 B.4 C. D. 3 3 热点三 函数性质的综合应用 该类题目往往把函数的奇偶性、单调性、周期性、最值、解析式等综合在一起进行考查, 求解这类问题时,一是要紧扣奇偶性、单调性的定义及有关的结论,二是要把各种性质之间 的联系充分利用好. 【例 3】 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 1 - 已知当 x∈[0,1]时,f(x)=?2?1 x,则 ? ? ①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数 f(x) 1 - 的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈[3,4]时,f(x)=?2?x 3. ? ? 其中所有正确命题的序号是__________. 思路点拨:①以 t 代替 x-1,利用周期定义进行判定;②由①结合已知条件可知函数图 象关于 x=1 对称,进而判断单调性;③利用①②即可判定;④由 4-x∈[0,1],结合周期性 及函数奇偶性进行判定.

(1)求解这类涉及函数性质的多项判断题时,既要充分利用题目的已知条件进行直接的推 理、判断,又要合理地运用函数性质之间的联系,结合已知的结论进行间接的判断,若能画 出图象的简单草图,“看图说话”,往往起到引领思维方向的作用. (2)判断函数的单调性的一般规律: 对于选择、 填空题, 若能画出图象一般用数形结合法; 而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判 断问题;对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法; 对于抽象函数一般用定义法. 拓展延伸 已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x).

(1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 010]上的所有 x 的 2 2 个数.

1.求函数的单调区间而忽视函数的定义域导致错误. 例如求函数 y ? log 1 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间时,易忽视 x2-3x+2>0 这一前提.
2 2

2.忽视定义域要求导致判断函数奇偶性错误. 1 例如判断函数 f(x)= x+ 的奇偶性时,且勿盲目判断 f(x)与 f(-x)之间的关系,应首先 x 求出函数的定义域,看函数定义域是否关于原点对称. 3.对函数图象的变换认识不深刻,造成图象变换中的错误. 例如已知函数 y=f(x)的图象求函数 y=f(1-x)的图象时,应先将 y=f(x)的图象关于 y 轴 翻折得 y=f(-x)的图象,然后再将 y=f(-x)的图象向右平移一个单位,即得所求函数图象, 而不是直接将 y=f(x)的图象平移.

参考答案
考场传真 1.B 解析:A 中 y=x3 是奇函数不满足题意;由 y=|x|+1 的图像可知 B 满足题意;C - 中 y=-x2+1 在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意;D 中 y=2 |x|在(0,+∞)上为减函数, 故不满足题意,故选 B. 2.(2011 陕西,理 11)1 解析:∵1>0, ∴f(1)=lg 1=0, ∴f(f(1))=f(0). 又∵0≤0. ∴f(f(1))=f(0)=0+?a3t2dt

?0

a =t3|0=a3=1,

∴a=1. 核心攻略 【例 1】 (1)C
?2x+1,x<1, ? 解析:f(x)=? 2 ? ?x +ax,x≥1.

∵0<1,∴f(0)=20+1=2.∵f(0)=2≥1, ∴f(f(0))=22+2a=4a,∴a=2.故选 C. (2)解:∵f(2x+1)的定义域为(0,1), ∴1<2x+1<3, ∴f(x)的定义域是(1,3). ? ? ?0<x+a<1, ?-a<x<1-a, 拓展延伸 解:由? 得? ?0<x-a<1, ?a<x<1+a. ? ? ∵a>0,∴-a<a,1-a<1+a. 1 ①当 1-a>a,即 a< 时,a<x<1-a; 2 1 ②当 1-a≤a,即 a≥ 时,x 的解集为空集. 2 1 1 ∴当 0<a< 时,F(x)的定义域为(a,1-a);当 a≥ 时,F(x)的定义域不存在. 2 2 【例 2】 D 解析:令 t=f(x),函数 f(x)的图象如图(1)所示,函数 g(t)的图象如图(2)

所示.

图(1)

图(2) 1 1 当 a=1 时,g(t)=1 的解为 t1= ,t2=-3,结合图(1)知,由 x3-3x2+1= ,得 3 根; 2 2 3 2 由 x -3x +1=-3,得 2 根,此时共有 5 个不同的实根;当 0<a<1 时,g(t)=a 对应的两根 t1,t2(t1<t2)满足 t1<-3,-3<t2<0, 由 x3-3x2+1=t1,得 1 根,由 x3-3x2+1=t2,得 3 根,此时共有 4 个不同的实根; 5 当 1<a< 时,g(t)=a 对应的两根 t3,t4 均满足 0<t3<1,0<t4<1,此时共有 6 根; 4 5 同理 a≥ 时,有 4 根;故真命题的个数为 3,选 D. 4 3 拓展延伸 B 解析:由方程与不等式的关系可知,不等式 a≤ x2-3x+4≤b 的解集与 4 3 2 3 2 3 2 方程 x -3x+4=a 或 x -3x+4=b 的根有关,令 φ(x)= x -3x+4,则 φ(x)∈[1,+∞), 4 4 4 3 2 3 若 a>1, 则不等式 a≤ x -3x+4≤b 的解集为两段区域(如图所示), a<1, x2-3x+4≥a 故 ∴ 4 4 3 2 3 恒成立,因此,原不等式的解集即为不等式 x -3x+4≤b 的解集,也就是说,a,b 是 x2- 4 4 3x+4=b 的解,

?4a -3a+4-b=0, ∴? 3 ?4b -3b+4-b=0,
3
2 2

3 整理得 (a-b)(a+b-4)=0. 4 又 a≠b,∴a+b=4.选 B. 【例 3】 ①②④ 解析:在 f(x+1)=f(x-1)中,令 x-1=t,则 f(t+2)=f(t),因此 2 是函数 f(x)的周期,故①正确;由于 f(x)是偶函数,所以 f(x-1)=f(1-x),结合 f(x+1)=f(x 1 - - -1)得 f(1+x)=f(1-x),故 f(x)的图象关于 x=1 对称,而当 x∈[0,1]时,f(x)=?2?1 x=2x 1 ? ? 单调递增,所以 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f(x)在一个

1 周期区间[0,2]上的最大值为 f(1)=1,最小值为 f(0)=f(2)= ,所以函数 f(x)的最大值为 1,最 2 1 - - 1 小值为 ,故③不正确;设 x∈[3,4],则 x-4∈[-1,0],4-x∈[0,1],于是 f(4-x)=?2?1 (4 x) ? ? 2 1 - 1 =?2?x 3, 而由周期为 2 和函数为偶函数知 f(4-x)=f(-x)=f(x), 从而当 x∈[3,4]时, f(x)=?2? ? ? ? ? x-3 ,故④正确. 拓展延伸 (1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x). ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)解:当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x. 2 2 1 故 f(x)= x,-1≤x≤1. 2 又设 1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∴f(x-2)= (x-2). 2 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x), 1 ∴-f(x)= (x-2). 2 1 ∴f(x)=- (x-2),1<x<3. 2 1 x,-1≤x≤1, 2 ∴f(x)= 1 - ?x-2?,1<x<3. 2 1 由 f(x)=- ,解得 x=-1. 2 ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 1 故 f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z). 2 1 2 011 令 0≤4n-1≤2 010,则 ≤n≤ . 4 4 又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z). 1 ∴在[0,2 010]上共有 502 个 x 使 f(x)=- . 2

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