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椭圆离心率的最值



椭圆离心率的取值 范围 椭圆离心率 x2 y2 1、F1 , F2为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左右焦点, a b P是椭圆上的动点,则 ?F1 PF2最大当且仅当P为 上下顶点; x2 y2 2、A, B为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左右定点, a b P是椭圆上的动点,则 ?APB大当且仅当为上下 顶点。 结论 x2 y2 F1 , F2为椭圆 2 ? 2 ? 1的左右焦点, P是椭圆 a b 上的动点,若 ?F1 PF2 ? ? , 则椭圆离心率的取值 范围为sin ? 2 ? e ?1 证明 y P m F1 O n x F2 设?F1PF2 ? ? m ? n ? 2a m 2 ? n 2 ? 4c 2 cos? ? 2m n ( m ? n ) 2 ? 4c 2 ? 2 m n cos? ? 2m n 2 2 2 2b 2b 2b ? ?1 ? ?1 ? 2 ?1 m?n 2 mn a ( ) 2 2b 2(a ? c ) 2 cos? ? 2 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 a a 2 2 2 1 ? cos ? 2? e ? ? sin 2 2 2 sin ? 2 ? e ?1 巩固练习 已知F1 , F2是椭圆的两个焦点,满 足 MF1 ? MF2 ? 0, 的点M总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围() A ( . 0,1) y P m F1 O n x F2 ? ? 1 B ( . 0, ] 2 2 C.(0, ) 2 2 D.[ ,1) 2 变式: x2 y 2 已知椭圆C; 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1 , F2, a b 点P是椭圆C上的一动点(异于长轴 端点),若总存在点 P, 使 FP C的离心率的取值范围是 () 1 ? PF 2 ? 0,则椭圆 ? ? 变式 x2 y2 若A, B为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)长轴的两个端点, a b 若椭圆上存在点 Q,使得?AQB ? 1200,则此椭圆的 离心率e的最小值为()


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