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高二数学家教打印版---曲线方程椭圆、双曲线、抛物线



圆锥曲线方程 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot

r />二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

?
2

.

⑴椭圆的标准方程: ①
2 2 中心在原点,焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

a

b

⑴双曲线标准方程: ①

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2
a b

2

2

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

② 一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) ⑵顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a )(?b,0) . ① ② 轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b . ③ 焦 点 :

一般方程: Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) . ⑵i. 焦点在 x 轴上: ① 顶点: (a,0), (?a,0) 准线方程 x ? ? 渐近线方程: 焦点: (c,0), (?c,0) .④ 焦 距 :
2

(?c,0)(c,0)



(0,?c)(0, c)

F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .
⑤ 准线: x ? ? ⑦ 焦点半径: i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

a c

a2 a2 c 或y?? .⑥ 离心率: e ? (0 ? e ? 1) . c c a
x2 a2 y
2

x2 y2 x y ? ? 0或 2 ? 2 ? 0 a b a b ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,? a ), (0, a ) . 焦点: (0, c), (0,?c) .
准线方程: y ? ?

?

b2

? 1( a ? b ? 0) 上的一点,
渐近线方程:

a2 . c

F 1,F 2 为左、右焦点,则
PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex 0 ? 由椭圆方程的第二定义可以推出.

y2 x2 y x ? ?0或 2 ? 2 ? 0 a b a b

② x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. 轴 ③ 离心率 e ?

ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

x

2

b2

?

y

2

a2

? 1( a ? b ? 0) 上的一点,

c . a

④ 准线距

2a 2 2b 2 (两准线的距离) ;通径 . ⑤ c a

F 1,F 2 为上、下焦点,则
PF1 ? a ? ey0, PF2 ? a ? ey0? 由椭圆方程的第二定义可以推出.

参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ( F 1,F 2 分别为

由椭圆第二定义可知:
a2 a2 pF1 ? e( x0 ? ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) c c

⑥ 焦点半径公式:对于双曲线方程

双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:

归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹 为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经. 坐标: d ?

MF1 ? ex 0 ?a MF 2 ? ex 0 ?a M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a

2b 2 a2 y2 b2 y b
2 2

( ? c,

b2 b2 ) 和 (c, ) a a

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

⑶ 共离心率的椭圆系的方程: 椭圆 方程

x2 a2 x2 a
2

? ?

? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) , a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符 号)


y



y F1 M x x

? t (t 是大于 0 的参数,( a ? b ? 0) 的离心率也是

MF 1 ? ey 0 ? a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a ? M ?F 2 ? ?ey 0 ? a
2
F1

M'

M

c e? a
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若 P 是椭圆:

F2 M' F2

x2 a2

?

y2 b2

? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,

⑶ 等轴双曲线:双曲线 x ? y ? ?a 称为等轴双曲线,其渐近线方
2 2

若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积为 b 2 tan

?
2

(用余弦定理与

程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 .

⑷ 共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线.

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互 2 a b a b
x a
2 2

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: ⑸ 共渐近线的双曲线系方程:

?

y

2

b2

? 0.

焦点

F(

x2 a2

?

y2 b2

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0, y??

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为

准线 范围 对称轴

x2 a
2

?

y2 b
2

? 0 如果双曲线的渐近线为 x2 a
2

x y 它的双曲线方 ? ? 0 时, a b

p 2 x ? 0, y ? R x??
x轴

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0

p 2 x ? R, y ? 0

程可设为

?

y2 b
2

? ? ( ? ? 0) .

y轴
(0,0)

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②: 即定点在双曲线上, 条切线, 条与渐近线平行的直线, 1 2 合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平 行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线 数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的 斜率可用代入“?” 法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线
2 2 2 2

顶点 离心率 焦点
2

e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p p ? x1 PF ? ? y 1 2 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a

2 2 ② y ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x ? 2 py( p ? 0) 则 2

焦点半径为 PF ? y ? P . 2 ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. 四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ?

x a

?

y b

? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为

m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n.

PF 1
简证:

d1 ? e d2 PF 2 e

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.


c ,当 c ? 0, a ? b 时). a

y

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条 直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
2 1
x

4

3

因为具有对称性, 所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.


F1

53
F2



y



y

y

3
O

x
O

x

x O



y

x O



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