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数列二轮复习选题



2013 年高考复习文数数列二轮复习选题
1.已知数列 {an }与{bn } 满足 bn ?1 an ? bn an ?1 (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明 {cn } 是等比数列; (Ⅲ)设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明

3 ? (?1) n?1 ? (?

2) ? 1, bn ? , n ? N * , 且a1 ? 2. 2
n

S S S1 S2 1 ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? n ? (n ? N * ). a1 a2 a2 n?1 a2 n 3

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能 力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 bn ?

? 2, n为奇数, 3 ? (?1)n?1 , n ? N * ,可得 bn ? ? 2 ?1, n为偶数,
n

又 bn ?1 an ? bn an ?1 ? ? ?2 ? ? 1 , 当 n ? 1时, a1 ? 2a2 ? ?1,由a1 ? 2, 可得a2 ? ? ; 当 n ? 2时, 2a2 ? a3 ? 5, 可得a3 ? 8. (Ⅱ)证明:对任意 n ? N
*

3 2

a2n?1 ? 2a2n ? ?22n?1 ? 1
2a2n ? a2n?1 ? 22n ? 1




②-①,得 a2 n?1 ? a2 n?1 ? 3 ? 2 所以 {cn } 是等比数列。

2 n ?1

,即cn ? 3 ? 22 n?1 , 于是

cn?1 ?4 cn

(Ⅲ)证明: a1 ? 2 ,由(Ⅱ)知,当 k ? N 且k ? 2 时,
*

a2k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a7 ? a5 ) ? ? ? (a2k ?1 ? a2k ?3 )
? 2 ? 3(2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 k ?3 ) ? 2 ? 3 ?
故对任意 k ? N , a2k ?1 ? 2
* 2k ?1

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 1? 4

.

由①得 2

2 k ?1

因此, S 2 k

1 ? 22 k ?1 , k ? N * 2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? . 2 ? 2a2 k ? ?22 k ?1 ? 1, 所以a2 k ?

于是, S 2 k ? 1 ? S 2 k ? a2 k ?



S2 k ?1 S2 k ? a2 k ?1 a2 k

k ? 1 2 k ?1 ?2 . 2 k ? 1 2 k ?1 k ?2 k ? 1 ? 22 k k 1 k 2 ? 2 2 k ?1 ? ? ? 2k ? 1? k ? k k . 2k 1 2 2 2 ?1 4 4 (4 ? 1) 2 k ?1 ?2 2

2. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设 {a n } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 s n 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 , 即 q 2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1(舍去) ,因此 q ? 2. 所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ). (II) Sn ?

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2. .

3. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 (I) Sn 为
n

?a ?中, a
n

?a ?

1 1 ,公比 q ? 。 3 3 1 ? an 的前 n 项和,证明: S n ? 2
2

?

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an ,求数列 bn 的通项公式。 解析:本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。

1 (I)? a ? 1 ? ? ? ? n 3 3 ? ?
? Sn ?
1 ? an 2

n ?1

?

?1? ? ? S ? 3?

n

? 1? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 n? n ? 3 3?? 3 ? ? n 1 2 1? 3

(II) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an =-(1+2+3+
?

n( n ? 1) +n)=- 2

? 数列 bn 的通项公式为 bn =-

n( n ? 1) 2

4.本题满分 13 分)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减 少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年 初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明: n

须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( ) n ? 6 ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4
(II)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ?1), An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n;

3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 当 n ? 7 时, 3 n ?6 780 ? 210 ? ( ) 4 An ? . n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新.

5. (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 (a1 ? R), 且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ? ,试比较
1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n , 与 的大小。 a2 a2 a2 a2 a1

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a2 a4

本题主要考查等差数列等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和公式等基础知识,同时考查运算求

解能力及推理论证能力。满分 14 分。

(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为 d,由 ( )2 ?
得 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) 。从而 a1d ? d 2 因为 d ? 0 ,所以 d ? a1 ? an 故通项公式 an ? na. , (Ⅱ)解:记 Tn ?

1 a2

1 1 ? , a1 a4

1 1 1 ? 2 ? ... n , 因为 a2 ? 2n a , a2 a2 a2

1 1 (1 ? ( ))n 1 1 1 1 1 2 2 ? 1 [1 ? ( 1 ) n ]. Tn ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? . 1 a 2 2 2 a a 2 1? 2
所以,当 a>0 时, Tn ?

1 1 ;当 a<0 时, Tn ? 。 a1 a1

an - 6.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1·n 1(n≥2,n∈N*),数列{bn}的前 n 项和 Sn=log3?9n?(n∈N*). 3 ? ? (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{|bn|}的前 n 项和. [解析] (1)log3an=log3(an-1·n 1) 3 =log3an-1+(n-1), ∴log3an-log3a1=(log3a2-log3a1)+(log3a3-log3a2)+…+(log3an-log3an-1) n?n-1? =1+2+…+(n-1)= , 2 n?n-1? ∴log3an= , 2 an n2-5n ∴Sn=log3?9n?= (n∈N)* ? ? 2 ∴b1=S1=-2,当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n-3, ∴数列{bn}的通项公式 bn=n-3(n∈N*). (2)设数列{|bn|}的前 n 项和为 Tn, 5n-n2 当 bn=n-3≤0 即 n≤3 时,Tn=-Sn= ; 2 n2-5n+12 当 n>3 时,Tn=Sn-2S3= . 2


?5n-n 2 ∴T =? n -5n+12 ? 2
n 2

2

n≤3 . n>3

7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1) (n=1,2,3,…). (1)求证:数列{an}为等差数列,并写出 an 关于 n 的表达式; 1 100 (2)若数列{ }前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 209 anan+1 [解析] (1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =nan-(n-1)an-1-2(n-1), 得 an-an-1=2(n=2,3,4,…). ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公差的等差数列 。 ∴an=2n-1. 1 1 1 (2)Tn= + +…+ a1a2 a2a3 an-1an = 1 1 1 1 + + +…+ 1×3 3×5 5×7 ?2n-1??2n+1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = [( - )+( - )+( - +…+( - )]= ?1-2n+1?= 2 1 3 3 5 5 7 2? ? 2n+1 2n-1 2n+1 n 100 100 100 由 Tn= > 得 n> ,满足 Tn> 的最小正整数为 12. 9 209 2n+1 209 8.已知数列{an}和{bn}满足 a1=m,an+1=λan+n, 2n 4 bn=an- + . 3 9 (1)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 λ,数列{an}一定不是等差数列. 1 (2)当 λ=- 时,试判断数列{bn}是否为等比数列. 2 [解析] (1)证明:当 m=1 时,a1=1,a2=λ+1,a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2. 假设数列{an}是等差数列, 由 a1+a3=2a2 得,λ2+λ+3=2(λ+1), 即 λ2-λ+1=0,Δ=-3<0,∴方程无实根. 故对于任意的实数 λ,数列{an}一定不是等差数列. 1 1 2n 4 (2)当 λ=- 时,an+1=- an+n,bn=an- + . 2 2 3 9 2?n+1? 4 bn+1=an+1- + 3 9 1 2?n+1? 4 =?-2an+n?- + ? ? 3 9 1 n 2 =- an+ - 2 3 9

2n 4 1 1 =- ?an- 3 +9?=- bn. ? ? 2 2 2 4 2 又 b1=m- + =m- , 3 9 9 2 2 1 ∴当 m≠ 时,数列{bn}是以 m- 为首项,- 为公比的等比数列; 9 9 2 2 当 m= 时,数列{bn}不是等比数列. 9 9 .已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=an2·n,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. b (2)设 cn=an2·n,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. b [解析] (1)a1=S1=4,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 又 a1=4 适合上式,∴an=4n(n∈N*). 将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 b1=2-b1, ∴T1=b1=1. 当 n≥2 时,Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn, 1 ∴bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴bn= bn-1, 2 ∴bn=21 n. (2)解法 1:由 cn=an2·n=n2·5 n, b 2 得 cn+1 1? 1?2 = 1+ . cn 2? n?
- -

1 4 当且仅当 n≥3 时,1+ ≤ < 2,即 cn+1<cn. n 3 解法 2:由 cn=an2·n=n2·5 b 2
- - -n

得,

cn+1-cn=24 n[(n+1)2-2n2] =24 n[-(n-1)2+2]. 当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0,即 cn+1<cn. 10.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·2n 1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
- - +1)-1 -

[解析] (1)由已知得,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n 1+22n 3+…+2)+2=22(n 而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2 (2)由 bn=nan=n· 2
3 2n-1 5 2n-1

.

.




Sn=1· 2+2· +3· +…+n·2n 1.① 2 2 2 从而 22·n=1·3+2·5+3·7+…+n·2n 1.② S 2 2 2 2 ①-②得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n 1-n·2n 1. 2
- + +

2 + = (4n-1)-n·2n 1 2 3 1 + + = (22n 1-2-3n·2n 1) 2 3 1 + = [(1-3n)2n 1-2] 3 1 + ∴Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9

11.设{an}为等比数列,且满足:Sn=2n+a. (1)求{an}的通项公式,并求最小的自然数 n,使 an>2010; n (2)数列{bn}的通项公式为 bn=- ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an [解析] (1)n=1 时,a1=2+a n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n
-1 -

∵{an}为等比数列,∴a1=2+a=21 1=1,∴a=-1 ∴{an}的通项公式为 an=2n 1, ∵an=2n 1>2010,又 211=2048, 故最小自然数 n 为 12. n n (2)bn=- =- n-1 an 2 1 1 1 Tn=-(1×1+2× +3× 2+…+n× n-1)① 2 2 2 1 1 1 1 1 T =-[1× +2× 2+…+(n-1)× n-1+n× n]② 2 n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ②-①得,- Tn=1+ + 2+…+ n-1-n·n 2 2 2 2 2 n+2 ∴Tn= n-1 -4 2 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+1=Sn-n+3,n∈N*,a1=2. (1)求数列{an}的通项; n 4 (2)设 bn= (n∈N*)的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< (n∈N*). 3 Sn-n+2 [解析] (1)∵an+1=Sn-n+3,n∈N*, ∴n≥2 时,an=Sn-1-(n-1)+3, ∴an+1-an=an-1,即 an+1=2an-1, ∴an+1-1=2(an-1)(n≥2,n∈N*), ∵a1=2,a2