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第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示


2.3

第 二 章

平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 坐 标 表 示

1 理解教 材新知
2.3.4

知识点

平面 向量 共线 的坐 标表 示

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍

题型一

题型二
题型三 随堂即时演练 课时达标检测

4 应用落 实体验

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2.3.4

平面向量共线的坐标表示

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[提出问题] 已知下列几组向量: (1)a=(0,2),b=(0,4); (2)a=(2,3),b=(4,6); (3)a=(-1,4),b=(2,-8);
?1 ? ? 1 ? (4)a=?2,1?,b=?-2,-1?. ? ? ? ?

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问题1:上面几组向量中,a与b有什么关系? 提示:(1)(2)中b=2a;(3)中b=-2a;(4)中b=-a. 问题2:以上几组向量中a,b共线吗? 提示:共线.

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[导入新知]

平面向量共线的坐标表示

前提条件

a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0 当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量a、b(b≠0)

结论

共线

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[化解疑难]

向量共线的坐标表示的推导 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0, 则 a∥b?a=λb(λ∈R). 上式若用坐标表示,可写为 a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2), 即
? ?x1=λx2, a∥b?? ? ?y1=λy2

?x1y2-x2y1=0.

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[例 1]

(1)已知向量 a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a ( 1 B. 3 D.2 )

-2b),则 λ 的值等于 1 A. 2 C.1

??? ? ??? ? (2)已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断 AB 与 CD
是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?

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(1)[解析]

法一:a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a

-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),由(a+2b)∥(2a-2b)可得 1 2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,解得 λ= . 2 法二:假设 a,b 不共线,则由(a+2b)∥(2a-2b)可得 a
? ?1=2μ, +2b=μ(2a-2b),从而? ? ?2=-2μ,

方程组显然无解,即 a+

2b 与 2a-2b 不共线,这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾,从而假设 1 2 1 不成立,故应有 a,b 共线,所以λ = ,即 λ= . 1 2
[答案] A
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(2)[解] =(4,-6),

??? ? ??? ? -3)-(1,3) AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3),CD =(5,

??? ? ??? ? ∵(-2)×(-6)-3×4=0,∴ AB , CD 共线. ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 又 CD =-2 AB ,∴ AB , CD 方向相反. ??? ? ??? ? 综上, AB 与 CD 共线且方向相反.

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[类题通法] 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理,由 a=λb(b≠0)推出 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2-x2y1=0 直接求解.

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[活学活用] 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当实数 k 为何值时,(ka+b)∥(a- 3b)?这两个向量的方向是相同还是相反? 解:∵a=(1,2),b=(-3,2),
∴ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). 1 由题意得(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=- . 3 1 1 此时 ka+b=- a+b=- (a-3b), 3 3 1 ∴当 k=- 时,(ka+b)∥(a-3b),并且它们的方向相反. 3
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[ 例 2] ________.

(1) 若点

? 1? A(1 ,- 3) , B ?8,2? , C(x,1) 共线,则 ? ?

x=

??? ? ??? ? ??? ? (2)设向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),求当 k 为

何值时,A、B、C 三点共线.

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(1)[解析]

??? ? ? 7? ??? ? AB =?7,2?, AC =(x-1,4).
? ?

??? ? ??? ? ∵A,B,C 共线,∴ AB 与 AC 共线
7 ∴7×4- (x-1)=0,解得 x=9. 2
[答案] 9

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??? ? ??? ? (2)[解] 法一:若 A,B,C 三点共线,则 AB , AC 共线, ??? ? ??? ? 则存在实数 λ,使得 AB =λ AC , ??? ? ??? ? ??? ? ∵ AB = OB - OA =(4-k,-7), ??? ? ??? ? ??? ? AC = OC - OA =(10-k,k-12).
∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),
? ?4-k=λ?10-k?, 即? ? ?-7=λ?k-12?,

解得 k=-2 或 k=11.

∴当 k=-2 或 11 时,A、B、C 三点共线.
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??? ? ??? ? 法二:由题意知 AB , AC 共线, ??? ? ??? ? ??? ? ∵ AB = OB - OA =(4-k,-7),
??? ? ??? ? ??? ? AC = OC - OA =(10-k,k-12),

∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0, ∴k2-9k-22=0,解得 k=-2 或 k=11. ∴当 k=-2 或 11 时,A、B、C 三点共线.

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[类题通法] 三点共线的实质与证明步骤 (1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量 共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行 是一致的. (2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成: ①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.

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[活学活用] 已知点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).

??? ? ??? ? (1)求实数 x 的值,使向量 AB 与 CD 共线; ??? ? ??? ? (2)当向量 AB 与 CD 共线时, 点 A, B, C, D 是否在一条直线上?

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??? ? ??? ? 解:(1) AB =(x,1), CD =(4,x). ??? ? ??? ? ∵ AB ∥ CD ,∴x2=4,x=± 2. ??? ? (2)由已知得 BC =(2-2x,x-1), ??? ? ??? ? 当 x=2 时, BC =(-2,1), AB =(2,1), ??? ? ??? ? ∴ AB 和 BC 不平行,此时 A,B,C,D 不在一条直线上; ??? ? ??? ? 当 x=-2 时, BC =(6,-3), AB =(-2,1), ??? ? ??? ? ∴ AB ∥ BC ,此时 A,B,C 三点共线. ??? ? ??? ? 又 AB ∥ CD ,∴A,B,C,D 四点在一条直线上.
综上,当 x=-2 时,A,B,C,D 四点在一条直线上.
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[例 3]

如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC

与 OB 的交点 P 的坐标.

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??? ? ??? ? [解] 法一:由 O,P,B 三点共线,可设 OP =λOB =(4λ, ??? ? ??? ? ??? ? 4λ),则 AP = OP - OA =(4λ-4,4λ). ??? ? ??? ? ??? ? 连接 OC,则 AC = OC - OA =(-2,6).

??? ? ??? ? 3 由 AP 与 AC 共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得 λ= , 4
??? ? 3 ??? ? 所以 OP = OB =(3,3),所以点 P 的坐标为(3,3). 4

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??? ? ??? ? ??? ? 法二:设 P(x,y),则 OP =(x,y),因为 OB =(4,4),且 OP ??? ? x y 与 OB 共线,所以 = ,即 x=y. 4 4

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 又 AP =(x-4,y), AC =(-2,6),且 AP 与 AC 共线,所以
(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,所以点 P 的坐标为 (3,3).

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[类题通法] 向量共线在几何中的应用及注意事项 向量共线在几何中的应用,可分为两个方面: (1)已知两 向量共线,求点或向量的坐标; (2)证明或判断三点共线、直 线平行. 解题时要注意联系平面几何的相关知识,由两向量共起 点或共终点确定三点共线,由两向量无公共点确定直线平行.

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[活学活用] 已知直角坐标平面上四点 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求 证:四边形 ABCD 是等腰梯形. ??? ? 证明:由已知得, AB =(4,3)-(1,0)=(3,3), ??? ? CD =(0,2)-(2,4)=(-2,-2). ??? ? ??? ? ∵3×(-2)-3×(-2)=0,∴ AB 与 CD 共线.

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??? ? ??? ? AD =(-1,2), BC =(2,4)-(4,3)=(-2,1), ??? ? ??? ? ∵(-1)×1-2×(-2)≠0,∴ AD 与 BC 不共线.
∴四边形 ABCD 是梯形.

??? ? ??? ? ∵ BC =(-2,1), AD =(-1,2),
??? ? ??? ? ∴| BC |= 5=| AD |,即 BC=AD.
故四边形 ABCD 是等腰梯形.

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9.错用两向量共线的条件致误

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[典例]

已知 P1(2,-1),P2(-1,3),P 在直线 P1P2 上,且

???? 2 ???? | P1 P |= | PP2 |.则 P 点的坐标为________. 3
[解析]

???? ???? (1)当 P1 P 与 PP2 同向时,

???? 2 ???? 则有 P1 P = PP2 ,设 P 点坐标为(x,y), 3 ???? ???? P1 P =(x-2,y+1), PP2 =(-1-x,3-y).
2 ∴(x-2,y+1)= (-1-x,3-y), 3

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? ? 2+2×?-1? ?x= 3 , 2 ? 1+ 3 ? ∴? ? -1+2×3 3 ?y= , 2 ? 1+ ? 3 ?

?4 3? P 点坐标为?5,5?. ? ?

?x=4, ? 5 即? ?y=3. ? 5

???? ???? ???? 2 ???? (2)当 P1 P 与 PP2 反向时,则有 P1 P =- PP2 ,设 P 点坐 3
2 标为(x,y),∴(x-2,y+1)=- (-1-x,3-y), 3
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2 ? ? 2- ×?-1? 3 ?x= , 2 ? 1- ? 3 ∴? ? -1-2×3 3 ? , ?y= 2 1- ? 3 ? 故 P 点坐标为(8,-9). 综上可得,P
[答案]

? ?x=8, 即? ? ?y=-9.

?4 3? 点坐标为?5,5?或(8,-9). ? ?

?4 3? ? , ?或(8,-9) ?5 5?

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[易错防范]

???? 2 ???? ???? 2 ???? 1.本题易由| P1 P |= | PP2 |只得出 P1 P = PP2 的结论,从而 3 3
得出 P
?4 3? 点坐标为?5,5?的错误答案. ? ?

2.解决两向量共线问题时,要注意两非零向量 a 与 b 共线 有同向共线和反向共线两种情况,不要发生遗漏.

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[成功破障] 平面上有 A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB

? ??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? ? 上,且 AC = BC ,连接 DC 延长至 E,使|CE |= | ED |,则点 E 2 4
的坐标为________.

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? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? 解析:∵ AC = BC ,∴ OC - OA = ( OC - OB ). 2 2 ? ??? ? ??? ? ??? ∴ OC =2 OA - OB =(3,-6).

∴点 C 的坐标为(3,-6).

? ??? ? 1 ??? 又|CE |= | ED |,且 E 在 DC 的延长线上, 4 ? ??? ? 1 ??? ∴ CE =- ED .设 E(x,y), 4

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1 则(x-3,y+6)=- (4-x,-3-y), 4 1 ? ?x-3=-4?4-x?, 得? ?y+6=-1?-3-y?, 4 ? ∴点 E
?8 ? 的坐标为?3,-7?. ? ?

8 ? ?x= , 解得? 3 ? ?y=-7.

?8 ? 答案:?3,-7? ? ?

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[随堂即时演练]

1.已知 a=(-1,3),b=(x,-1),且 a∥b,则 x=( A.3 1 C. 3
解析:选 C

)

B.-3 1 D.- 3
1 ∵a∥b,∴(-1)×(-1)=3x,∴x= . 3

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??? ? 2.已知 A(2,-1),B(3,1),则与 AB 平行且方向相反的向量 a
是 A.(2,1) C.(-1,2) B.(-6,-3) D.(-4,-8) ( )

解析:选 D

??? ? AB =(1,2),向量(2,1)、(-6,-3)、(-1,2)

与(1,2)不平行;(-4,-8)与(1,2)平行且方向相反.

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3.已知向量 a=(1,2),b=(-2,3),若 λa+μb 与 a+b 共线,则 λ 与 μ 的关系是________.
解析:∵a=(1,2),b=(-2,3),∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(- 1,5),λa+μb=λ(1,2)+μ(-2,3)=(λ-2μ,2λ+3μ), 又∵(λa+μb)∥(a+b), ∴-1×(2λ+3μ)-5(λ-2μ)=0, ∴λ=μ.

答案:λ=μ

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4.已知 A(-1,4),B(x,-2),若 C(3,3)在直线 AB 上,则 x= ________.

??? ? ??? ? 解析: AB =(x+1,-6), AC =(4,-1), ??? ? ??? ? ∵ AB ∥ AC ,∴-(x+1)+24=0,∴x=23.
答案:23

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??? ? 1 ??? ? ? ??? 5.已知 A(-1,0),B(3,-1),C(1,2),并且 AE = AC ,BF = 3 ??? ? ??? ? ? 1 ??? BC ,求证: EF ∥ AB . 3 证明:设 E(x1,y1),F(x2,y2), ??? ? ??? ? ??? ? 依题意有 AC =(2,2), BC =(-2,3), AB =(4,-1).

??? ? 1 ??? ? 因为 AE = AC , 3
??? ? ?2 2? 所以 AE =?3,3?,
? ? ?2 2? 所以(x1+1,y1)=?3,3?,故 ? ? ? 1 2? E?-3,3?; ? ?

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??? ? 1 ??? ? 因为 BF = BC , 3 ??? ? ? 2 ? ? 2 ? 所以 BF =?-3,1?,所以(x2-3,y2+1)=?-3,1?,
? ? ? ?



?7 ? F?3,0?. ? ?

??? ? ?8 2? 所以 EF =?3,-3?.
? ?

又因为

? 2? 8 4×?-3?- ×(-1)=0, ? ? 3

??? ? ??? ? 所以 EF ∥ AB .
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[课时达标检测]

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