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陕西师范大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


陕西师大附中 2014—2015 学年度第一学期 期中考试高一年级数学 1(必修)试题
命题人:黄 为 审题人:岳建良

一、选择题: (每题 4 分,共计 48 分)
1. 下列各组函数中,两个函数相同的是( A. y = ( 3 x ) 3 和 y = x C. y =
x 2 和 y = ( x )2

) B. y = ( x )2 和 y = x D. y =
3

x 3 和y =

x2 x

2.以下四个图形中可以作为函数 y = f (x ) 的图象的是(



3. 函数 f (x ) =
1 ,1] 3

3x 2 1- x

+ lg(3x + 1) 的定义域为( )
1 ,1) 3

A. (-

B. [-

C. (-

1 ,1) 3

D. [)

1 ,1] 3

4.下列函数中,在各自定义域上既为增函数又为奇函数的是( A. f ( x ) = x x C. f (x ) = 2x - 1 5. 已知全集U = {x ? N + | 等于( ) B. M I P B. f (x ) = x 2 + 2 D. f (x ) = - x 3

2 < x < 9}, M = {3, 4, 5}, P = {1, 3, 6}, 那么 {2, 7, 8}

A. M U P

C. (痧 M ) U( U P ) U

D. (痧 M ) I ( UP) U )

ì ? 2- x - 0.5, x ? 1, 1 ? 6. 已知函数 f (x ) = í ,则不等式 f (x ) > 的解集为( ? log81 x , x> 1 2 ? ? ?

A. (- ? ,1) C. (9, + ? )

B. (- ? , 0) U (9, ? ) D. (- ? ,1) U (9, ? ) )

7. 函数 f (x ) = x 2 + 4ax + 2 在 (- ? , 6) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ?
3

D. a ?

3

8 .一项实验中获得的一组关于变量 y , t 之间的数据整理后得到如图所示的散点 图.下列函数中可以近似刻画 y 与 t 之间关系的最佳选择是( )

A. y = a t

B. y = a t

C. y = at 3 )内

D. y = loga t

9.方程 lg x + x - 3 = 0 的实根为 x 0 ,则 x 0 位于区间( A. (3, + ? ) 10.设 y 1 = B. (2, 3) C. (1, 2) )

D. (0,1)

ln 2 ln 3 ln 6 , y2 = , y3 = ,则( 2 3 6

A. y 3 > y1 > y2 B. y2 > y1 > y 3 C. y1 > y2 > y 3 D. y1 > y 3 > y2

ì ? ax , x > 1, ? 11.若函数 f (x ) = ? 在 (- ? , ? ) 上单调递增,则 a 的取值范围 í a ? (4 ) x + 2, x ? 1 ? ? 2 ? ?
是( ) B. (1, + ? ) C. (4, 8) D. (1, 8)

A. [4, 8)

12.已知 lg 2 = 0.3010 ,由此可以推断 22014 是( A. 605 B. 606

)位整数 D. 608

C. 607

二.填空题: (每题 4 分,共计 16 分)
2 3 1 1 13. [ (0.027 3 + 50 ? 0.0016 4 )] 2 4

__________. (用数字作答)

禳 镲 3 14.集合 镲 x 挝N 睚 镲 3- x 镲 铪

N 的真子集有__________个.
是__________. 2x + 1 的解集 ..

15.关于 x 的方程 log3 (1 - 2 ?3x )
2

16 . 若 偶 函 数 f ( x) ? e?( x?m) ( e 是 自 然 对 数 的 底 数 ) 的 最 大 值 为 n , 则

f (nm ? mn ) ? __________.

三.解答题: (17-18 题每题 10 分,19-21 题每题 12 分,共计 56 分)
17.求证:函数 f (x ) = x 2 +
2 在数集 {x ? R | x x
1}上是增加的.

18.某地煤气公司规定,居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额 费组成.每个月的保险费为 3 元,当每个月使用的煤气量不超过 a m 3 时,只缴 纳基本月租费 c 元;如果超出这个使用量,超出的部分按 b 元 / m3 计费. (1)请写出每个月的煤气费 y (元)关于该月使用的煤气量 x ( m 3 )的函数 解析式和该函数的定义域; (2)如果某个居民 7 到 9 月份使用煤气与收费情况如下表(其中,仅 7 月份 煤气使用量未超过 a m 3 ) ,请求出 a, b, c 的值. 月 份 7月 8月 9月 煤气使用量/ m 3 4 25 35 煤气费/元 4 14 19

19.集合 A = {x ? R | ax 2

2x + 2 = 0 ,集合 B = y ? R | y 2

}

{

3y + 2 = 0 ,如

}

果 A U B = B ,求实数 a 的取值集合 . .. 20.若函数 f (x ) = x 2 + ax - 1(a ? R) 在区间 [- 1,1] 上的最小值为 - 14 ,求 a 的值. 21.已知函数 f (x ) = x + 1 + ax (a ? R) . (1)当 a = 0, 2 时,分别画出函数 f (x ) 的图象; (2)若函数 f (x ) 是 R 上的单调函数,求实数 a 的取值范围.

陕西师大附中 2014—2015 学年度第一学期 期中考试高一年级数学 1(必修)答题纸
一.选择题: (每题 4 分,共计 48 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题: (每题 4 分,共计 16 分)
13.____________________ 15.______ ______________ 14.____________________ 16.____________________

三.解答题: (17-18 题每题 10 分,19-21 题每题 12 分,共计 56 分)
17.求证:函数 f (x ) = x 2 +
2 在数集 {x ? R | x x
1}上是增加的.

18.某地煤气公司规定,居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额 费组成.每个月的保险费为 3 元,当每个月使用的煤气量不超过 a m 3 时,只缴 纳基本月租费 c 元;如果超出这个使用量,超出的部分按 b 元 / m3 计费. (1)请写出每个月的煤气费 y (元)关于该月使用的煤气量 x ( m 3 )的函数 解析式和该函数的定义域; (2)如果某个居民 7 到 9 月份使用煤气与收费情况如下图(其中,仅 7 月份 煤气使用量未超过 a m 3 ) ,请求出 a, b, c 的值. 月 份 7月 8月 9月 煤气使用量/ m 3 4 25 35 煤气费/元 4 14 19

19.集合 A = {x ? R | ax 2

2x + 2 = 0 ,集合 B = y ? R | y 2

}

{

3y + 2 = 0 ,如

}

果 A U B = B ,求实数 a 的取值集合 . ..

20.若函数 f (x ) = x 2 + ax - 1(a ? R) 在区间 [- 1,1] 上的最小值为 - 14 ,求 a 的值.

21.已知函数 f (x ) = x + 1 + ax (a ? R) . (1)当 a = 0, 2 时,分别画出函数 f (x ) 的图象;

(2)若函数 f (x ) 是 R 上的单调函数,求实数 a 的取值范围.

陕西师大附中 2014—2015 学年度第一学期 期中考试高一年级数学 1(必修)参考答案
一.选择题: (每题 4 分,共计 48 分)
题号 答案

1 A

2 D

3 C

4 A

5 D

6 B

7 C

8 D

9 B

10 B

11 A

12 C

二.填空题: (每题 4 分,共计 16 分)
13._______
20 ________ 7

14.________ 3 ________
1 16.________ ________ e

15._______ {- 1}_______

三.解答题: (17-18 题每题 10 分,19-21 题每题 12 分,共计 56 分)
17.证明:任取 x 2 > x1 > 1 ,函数值作差得
2 f (x 1 ) - f (x 2 ) = (x 1 +

2 2 2 2 2 2 2 ) - (x 2 + ) = (x 1 - x2 )+ ( ) x1 x2 x1 x 2 2(x 2 - x 1 ) x x (x + x 2 ) - 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 - x 2 ) + = (x 1 - x 2 ) 1 2 1 x 1x 2 x 1x 2

因 为 x1 < x 2 , 所 以 x 1 - x 2 < 0 , 而 x1 x 2 > 1 > 0 , x1 + x 2 >, 2 所 以

x1 x(2 + x1
f (x ) = x 2 +

)x-2 2 > , 0 于 是 f (x1 ) - f (x 2 ) < 0 , 即 f (x1) < f (x 2 ) , 所 以 函 数
2 在数集 {x ? R | x x
1}上是增加的.

18.(1)设每月使用的煤气量为 x m 3 ,煤气费为 y 元,那么
ì ? 3 + c, 0 #x a, y= ? í ? 3 + c + b(x - a ), x > a. ? ?

(2)由表格知道:
ì ? a= ì ? ? 3 + c = 4, ? ? ? ? ? 3 + c + b(25 - a ) = 14, 解得 ? íb = í ? ? ? ? ? 3 + c + b (35 a ) = 19, ? c= ? ? ? ? ? ? 5, 1 ,. 2 1.

2 , 由 A U B= 19. 化 简 集 合 B = {1 , }

B可 以 得 到 A ? B . 若 a = 0 ,

A = {x | - 2x + 2 = 0} = {1} ? B ;若 a ? 0 ,当 D = 4 - 8a < 0 时,即 a >

1 时, 2

A= 仆

- 8a = 0 时, B, 当D= 4 即a =

1 - 8a > 0 时,A = {2} ? B , 当D= 4 2

时,即 a <

1 且 a ? 0 时,必有 A = {1, 2} ,所以 1, 2 均为方程 ax 2 - 2x + 2 = 0 的实 2

a - 4+ 2= 0,这是不可能的.所以实数 a 的取值集合为 根,即 a - 2 + 2 = 0, 4

禳 镲 1 镲 . a | a = 0或a ? 睚 镲 2 镲 铪

20.二次函数的图象对称轴方程为 x = a ? 2

a . 2

(1)当 -

1 ,即 a ? 2 时, y 的最小值为 f (- 1) = - a ,依题意知 a = 14 ; a a a2 < 1 ,即 - 2 < a < 2 时, y 的最小值为 f (- ) = - 1 ,依题 2 2 4

(2)当 - 1 < -

a2 - 1 = - 14 ,解得 a = ? 2 13 (舍去) 意知 ; 4

(3)当 -

a ? 1 ,即 a ? 2

2 时, y 的最小值为 f (1) = a ,依题意知 a = - 14 ;

综上可知, a = ? 14 .

21.(1)图象略.
ì ? (a + 1)x + 1, x ? 1, (2)化简可得 f (x ) = ? í ? (a - 1)x - 1, x < - 1. ? ?

(a)当 a > 1 时,有 a + 1 > 0 , a - 1 > 0 ,故 f (x ) 在 [- 1, + ? ) 和 (- ? , 1] 上 都 为 增 函 数 . 任 取 x 1, x 2 , 使 x1 < - 1 , x 2 > - 1 时 , 有 f ( x1 ) < f (- 1)= a,

f (x 2 ) > f (- 1) = a ,故 f (x 2 ) > f (x1) .所以,当 a > 1 时,函数 f (x ) 在 R 上是增函
数.同理可知,当 a < - 1 时,函数在 R 上是减函数. (b)当 a = - 1或1 时,易知 f (x ) 在 R 上不具有单调性. (c)当 - 1 < a < 1 时,有 a + 1 > 0 ,a - 1 > 0 ,故 f (x ) 在 (- 1, + ? ) 上为增函 数, f (x ) 在 (- ? , 1) 上为减函数,即函数 f (x ) 在 R 上不具有单调性. 综上可知,实数 a 的取值范围是 (- ? , 1) U (1, + ? ) .

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