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3.1.3导数的几何意义 导学案


3.1.3 导数的几何意义 导学案 王秀春
学习目标: 1 了解平均变化率与割线斜率之间的关系. 2. 理解曲线的切线的概念. 3. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 学习重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 学习难点:导数的几何意义. (1) 如图 3.1-2,当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PP n 的变 化趋势是什么?

一、知识回顾:
1. 根据图像回忆函数平均变化率的几何意义是什 么?__________________________________ 2.平均变化率的表达式____________________

y y=f(x)

(2)如何定义曲线在点 P 处的切线?

f(x2)

(3)割线 PPn 的斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系?

△y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x

(4)切线 PT 的斜率 k 为多少?

说明: (1)当 ?x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义 (1)函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数的几何意义是什么?

图 3.1-1

二、学习过程
(1) 、提出问题,展示目标 我们知道,导数表示函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率,反映了函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 附近的 变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢? (2) 、合作探究 1.曲线的切线及切线的斜率

(2)将上述意义用数学式表达出来。

(3)根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?

1

图 3.1-2

3.1.3 导数的几何意义 导学案 王秀春
3.导函数 (1)由函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么, 当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x) 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (2)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数之间的区别与联系是什么? 例 3. 如图 3.1-4,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 , 根据图像,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 解: 我们用曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 处的切线,刻画曲线 h(t ) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t ? t0 时,曲线 h(t ) 在 t 0 处的切线 l0 的斜率 所以,在 t ? t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当 t ? t1 时,曲线 h(t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 , 所以,在 t ? t1 附近曲线下降, 即函数 h( x) ? ?4.9 x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t1 附近单调递减. (3)当 t ? t2 时,曲线 h(t ) 在 t 2 处的切线 l2 的斜率 所以,在 t ? t2 附近曲线下降, 即函数 h( x) ? ?4.9 x2 ? 6.5x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减. 从图 3.1-3 可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度, ,

三、典例分析
例 1 求曲线 y ? f ( x) ? x 2 ? 1 在点 P(1,2) 处的切线方程.

变式训练 1 求函数 y ? 3x 2 在点 (1,3) 处的切线方程.

这说明曲线在 t1 附近比在 t 2 附近下降的缓慢. 图 3.1-4

例 2.如图 3.1-3,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时间 t (单位: min ) 变化的图象.根据图像,估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1 ). 图 3.1-3

2

3.1.3 导数的几何意义 导学案 王秀春
课堂练习 1.求曲线 y ? f ( x) ? x 3 在点 (1,1) 处的切线. 2.已知曲线 y ? x 3 上过点(2,8)的切线方程为 12 x ? ax ? 16 ? 0 ,则实数 a 的值为( A -1 B 1
2



C

-2

D

2 ) )

3. 已知曲线 y ? 2 x 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜率为(

A. 4
4.设 f ?( 2.求曲线 y ?
0

B. 16

C. 8

D. 2
0 0

x ) =0,则曲线 y ? f ( x) 在点 P( x , f ( x )) 处的切线(
B.与 x 轴平行或重合

x 在点 (4, 2) 处的切线.

A.不存在

C.与 x 轴垂直 D.与 x 轴斜交 )

5.已知函数 f ?x ? ?0 ? x ? 1? 的图像是点 ?0,0? 和 ?1,0? 上的一段圆弧,若 0 ? x1 ? x2 ? 1 则(

A
四、反思总结:
1.曲线的切线定义. P 即 ?x ? 0 时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 PT 称 当点 P n 沿着曲线无限接近点 为曲线在点 P 处的切线 2.导数的几何意义. 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 等 于 在 该 点 ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 , 即

f ?x1 ? f ?x2 ? ? x1 x2

B

f ?x1 ? f ?x2 ? ? x1 x2

C

f ?x1 ? f ?x2 ? D 都可能 ? x1 x2

6.若曲线 y ? 2 x 2 ? 4 x ? p 与直线 y ? 1 相切,则实数 p 的值是___________ 7.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 ?1,3? 处的切线倾斜角为________________

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

1 3 x ,与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,并与该曲线相切的直线方程是______________ 3 1 9.已知曲线 f ?x ? 在点 M ?1, f ?1?? 处的切线方程是 y ? x ? 2 ,则 f ??1? ? f ?1? ? _________ 2
8. 已知曲线 y ? 10.曲线 y ?

3.求曲线在一点处的切线的一般步骤 ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的面积是_______________________ 3 ? 3?
1 3 8 x 上的一点 P ( 2, ) ,求(1)点 P 处切线的斜率; (2)点 P 处的切线方程 3 3

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k 得到曲线在点 ?x

11. 已知曲线 y ?

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程

导数的几何意义 课后作业
/ 1.函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ( x 0 ) 的几何意义是(



A C

在点 x ? x0 处的函数值

B

在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 点 ( x0 , f ( x0 )) 与点(0,0)连线的斜率

曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 D

3

3.1.3 导数的几何意义 导学案 王秀春
12. 在曲线 y ? x 2 上过哪一点的切线, (1)平行于直线 y ? 4 x ? 5 ;

(2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 ;

(3)与 x 轴成 135 的倾斜角;

?

(4)求过点 R(1,-3)与曲线相切的直线。

4



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