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零点的存在性定理设计


花东中学高一数学备课组

§3.1.1(2) 函数零点的存在性定理
一、教材分析 .内容分析 (一) 内容分析 .
《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修 1 第三 章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第二课时,主要内容是函数零点存在性定理,是 一节概念课.

.地位分析 (二) 地位分析 .
函数是中学数学的核心概念,核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系 性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的 联系在一起. 本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质, 具备初步的数形结合的能力基础之 上, 利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数, 从而掌握函数在某个区间上 存在零点的判定方法,为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础. 因此本节内容具有承前启后的作用,地位至关重要. (三)教学目标 分析 1.知识与技能 (1) 通过课前练习巩固零点的概念; (2)通过示例探究出零点存在性定理; (3)通过图像理解零点存在性定理; (4)应用实例理解零点的个数及零点存在的区间. 2.过程与方法 经历由特殊到一般的过程, 在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理, 从而掌握 零点存在性定理的过程中,养成研究问题的良好的思维习惯. 3.情感、态度与价值观 经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程,学会观察问题,发现问题,从而解决 问题;养成良好的科学态度,享受探究数学知识的乐趣.

(四)教学重点与难点分析 教学重点与难点分析
重点:掌握零点存在性定理并能应用. 难点:零点存在性定理的理解

(五)教学方法分析 教学方法分析
通过问题发现生疑,通过问题解决析疑,从而获取知识形成能力;应用引导与动手尝试 结合教学法,即学生自主探究与教师启发,引导相结合.

二、教学过程
教 学 环 节 课 前 练 习 教学内容 师生互动 设计 意图 实例回顾: 1.3 和 4 是否函数 f(x)=x2 - 4x 的零点? 2.已知函数 y= x2 - 2x– 3,则其零点有几 个?分别为多少? 生: 回 顾 1:3 不是、4 是 旧知, 2 2:函数 y= x - 2x– 3 的零点有 2 个, 分别为–1,3 引 入

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新知 1. 画出 y=x+1 与 y=-2x-1 函数的图像, 师: 引导学生利用图象观察零点的所 并说出它们的零点所在的区间 在区间,说明区间端一般取整数. 1. y=x+1 的零点在[-2,0] 2 . 已 知 y = x2 ? 2x ? 3 , 求 y=-2x-1 的零点在[-1,0] f (-2), f (1), f (4) 与 f(-2)· (1)、 (1)· (4) 2. f f f 的值,并观察它们的符号
3.观察函数 y = x2 –2 x – 3 的零点所在 区间及零点存在区间的端点函数值的 正负情况的关系

示 例 探 究 引 入 课 题

4.通过生活实例(如“鱼跃龙门” )引 导学生总结零点存在的条件。

生:零点–1∈(–2,1) 零点 3∈(1,4) 且 f (–2)·f (1)<0 f (1)·f (4)<0 师生合作分析, 并剖析定理中的关键 词 ①连续不断 ②f (a)·f (b)<0 师:由于图象连续不断, 若 f (a)>0,f (b)<0,则 y = f (x)的 图象将从 x 轴上方变化到下方, 这样 必通过 x 轴,即与 x 轴有交点 生(例) : 在 区 间 [ a, b] 上 有 零点; f (a). f (b) < 0; 在 区 间 [b, c] 上 有 零点; f (b). f (c) < 0; 在 区 间 [c, d ] 上 有 零点; f (c). f (d ) < 0. 师: (1)函数在区间[a,b]上的图象 连续不断, 又它在区间[a, b]端点的 函数值异号, 则函数在[a, b]上一定 存在零点 (2)函数值在区间[a,b]上连续且 存在零点, 则它在区间[a, b]端点的 函数值可能异号也可能同号 (3)定理只能判定零点的存在性, 不能判断零点的个数

由特 殊到 一般, 归纳 一般 结论, 引入 零点 存在 性定 理

零点存在性定理 如果函数 y = f (x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有 f (a)·f (b)<0 那么,函数 y = f (x)在区间[a,b] 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f (c) = 0 这个 c 也就是方程 f (x) = 0 的根 发 现 定 理 例如.观察下列函数图像的零点及零点 所在区间.(ppt)

形 成 定理, 分 析 关 键 词, 了 解 定 理.

定理的理解 (看图理解)(ppt)

深 化 理 解

通 过 图像 分析, 从 而 进 一 步 理 解 定理。

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应 用 举 例

f(a).f(b)<0 (a,b ∈ R, 且 a<b), 则 函 数 y=f(x)在(a,b)内( D ) A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定有无零点 3 2、函数 f(x)= –x – 3x+5 的零点所在 的大致区间为( A ) A (1,2) B ( – 2 ,0) C (-1,0) D (0,1 ) 3、已知函数 f(x)的图象是连续不断的, 有如下的 x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7

练习一: 1、对于定义在 R 上的函数 y=f(x),若

师:课堂走动观察 生: 1:D 2:A 3:C

通过 实例 深化 理解 定理

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26 那么函数在区间[1,6]上的零点至少有 ( C )个 A 5 B 4 C 3 D 2 练习二: 1:在同一直角坐标系里画出函数
f ( x) = ln x 和 1:生:在坐标系上画图,说出交点 个数

g ( x) = 6 ? 2 x 的 图

像,并观察两函数图像交点的个数。 2:说出函数 f ( x) = ln x + 2 x ? 6 的零点 的个数和零点所在的区间。如何用零点 存在性定理进行解析。 3:以上两个例子有什么联系?

练 习 巩 固

师生 合作 交流, 体会 师:投影学生图像 定理 生: 由图可知, 交点在区间[1,2]上。 的应 2: 生: (2)<0, (3)>0, f (2)· f f f 则 用 (3)<0,这说明函数 f (x)在区间(2, 3)内有零点.由于函数 f (x)在定义域 (0, +∞) 内是增函数,所以它仅有一 个零点. 3:师:求 f ( x) = ln x + 2 x ? 6 的零点 即 令 f ( x) = ln x + 2 x ? 6 =0 , 即

ln x = 6 ? 2 x ,即练习 1 的图像
的交点的 x 的值就是函数 f ( x) = ln x + 2 x ? 6 的零点。
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归 纳 总 结

1.数形结合探究函数零点 2.应用定理探究零点及存在区间. 3.定理应用的题型:判定零点的存在 性及存在区间. 学生总结师生完善补充

学 会 整 理 知识, 培 养 自 我 归 纳 知 识 的 能 力

1. 函数 f ( x) = ( x 2 ? 2)( x 2 ? 3x + 2) 的零 点个数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若 函 数 f ( x) 在 [ a, b] 上 连 续 , 且 有 ( ). A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定 3. 函数 f ( x) = e x ?1 + 4 x ? 4 的零点所在 区间为( ). A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)
4. 函 数 y = ? x 2 + x + 20 的 零 点 . 为 5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函 则 数, f ( x) 在 (0, +∞) 上有一个零点. 且 f ( x) 的零点个数为 . 6.《学习与评价》P.79:3、4、9

f (a). f (b) > 0 .则函数 f ( x) 在 [ a, b] 上

课 后 练 习

学生自主完成

整 合 知识, 提 升 能力

教学反思: 教学反思:

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