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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:选修4-5.2 证明不等式的基本方法



选修 4-5

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. 若|a-c|<|b|,则下列不等式中正确的是( A. a<b+c C. |a|>|b|-|c| 答案:D 解析:|a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|.故选 D. 1 1 2. [2013· 鸡西模拟]若实

数 x、y 满足 2+ 2=1,则 x2+2y2 有( x y A. 最大值 3+2 2 C. 最大值 6 答案:B 1 1 2y2 x2 x2 2y2 解析: 由题意知, 2+2y2=(x2+2y2)· 2+ 2)=3+ 2 + 2≥3+2 2, x ( 当且仅当 2= 2 时, x y x y y x 等号成立,故选 B. 3. [2013· 广东调研]已知 a,b 为实数,且 a>0,b>0. 1 1 1 则(a+b+ )(a2+ + 2)的最小值为( a b a A. 7 C. 9 答案:C 解析:因为 a>0,b>0, 3 1 1 3 所以 a+b+ ≥3 a×b× =3 b>0, a a 3 1 1 1 同理可证:a2+ + 2≥3 >0. b a b 由①②及不等式的性质得 3 1 1 1 1 3 (a+b+ )(a2+ + 2)≥3 b×3 =9. a b a b 2 4. [2013· 柳州模拟]已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 x-a a 的最小值为( A. 1 2 ) B. 1 ① ) B. 8 D. 10 B. 最小值 3+2 2 D. 最小值 6 ) ) B. a>c-b D. |a|<|b|+|c|



C.

3 2

D. 2

答案:C 解析:2x+ 2 2 2 =2(x-a)+ +2a≥ x-a x-a

2 3 2?x-a?· +2a=2a+4≥7,∴a≥ . 2 x-a
+n

5. [2013· 金版原创]若 q>0 且 q≠1, n∈N*, 1+qm m, 则 A. 1+q C. 1+q
m+n

与 qm+qn 的大小关系是(
n

)

>q +q
m

m

n n

B. 1+q

m+n

<q +q

m

m+n

=q +q

D. 不能确定

答案:A 解析:1+qm n-qm-qn=qm(qn-1)-(qn-1) =(qn-1)(qm-1), ①当 0<q<1 时,qn<1,qm<1. ②当 q>1 时,qn>1,qm>1. ∴(qn-1)(qm-1)>0,∴1+qm n>qm+qn,故选 A. 6. [2012· 湖北高考]设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, a+b+c ax+by+cz=20,则 =( x+y+z A. C. 1 4 1 2 ) B. D. 1 3 3 4
+ +

答案:C 解析:由柯西不等式得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,而由已知有(a2+b2+ a b c c2)(x2+y2+z2)=10×40=202=(ax+by+cz)2,故 = = =k,代入得 a2+b2+c2=k2(x2+y2 x y z a+b+c 1 1 +z2)=40k2=10,解得 k= (舍去负值),所以 =k= .故选 C. 2 2 x+y+z 二、填空题 7. 函数 y=2 1-x+ 2x+1的最大值为________. 答案:3 解析:y2=( 2· 2-2x+1· 2x+1)2 ≤[( 2)2+12][( 2-2x)2+( 2x+1)2]=3×3, ∴y≤3. 8. [2013· 许昌模拟]对于任意实数 a、b,若|a-b|≤1,|2a-1|≤1,则|4a-3b+2|的最大 值为________. 答案:6

1 1 解析:因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,所以|3a-3b|≤3,|a- |≤ ,所以|4a-3b+2|=|(3a 2 2 1 5 1 5 1 5 -3b)+(a- )+ |≤|3a-3b|+|a- |+ ≤3+ + =6,即|4a-3b+2|的最大值为 6. 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9. 已知 x,y,z 为正实数,且 + + =1,则 x+4y+9z 的最小值为________. x y z 答案:36 解析:解法一:由柯西不等式,得 x+4y+9z=[( x)2+(2 y)2+(3 z)2]· [( =36. 当且仅当 x=2y=3z 时等号成立, 此时 x=6,y=3,z=2. 所以当 x=6,y=3,z=2 时,x+4y+9z 取得最小值 36. 1 1 1 解法二:∵ + + =1, x y z 1 1 1 ∴x+4y+9z=(x+4y+9z)( + + ), x y z 4y 9z x 9z x 4y 即 x+4y+9z=14+ + + + + + ≥14+ x x y y z z 2 4y x ·+2 x y 9z x ·+2 x z 9z 4y · =36.(当且仅当 x=2y=3z 时取“=”), y z 1 2 1 1 1 1 1 ) +( )2+( )2]≥( x· +2 y· +3 z· )2 x y z x y z

即 x=6,y=3,z=2 时,(x+4y+9z)min=36.故填 36. 三、解答题 10. 已知 a>0,证明: 解:要证 以只要证( 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a 1 1 a2+ 2+2≥a+ + 2,因为 a>0,所 a a 1 1 a2+ 2≥a2+ 2+4+2 2(a a a

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2,只要证 a a

1 1 1 a2+ 2+2)2≥(a+ + 2)2,即证 a2+ 2+4+4 a a a

1 + ), 故只需证 2 a 故

1 1 1 1 a2+ 2≥a+ , 即证 a2+ 2≥2, 而由基本不等式可知 a2+ 2≥2 成立. a a a a

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

2 11. [2013· 正定模拟]设正有理数 x 是 3的一个近似值,令 y=1+ . 1+x (1)若 x> 3,求证:y< 3; (2)求证:y 比 x 更接近于 3. 3- 3+x- 3x ?1- 3??x- 3? 2 证明:(1)y- 3=1+ - 3= = , 1+x 1+x 1+x

∵x> 3,∴x- 3>0,而 1- 3<0,∴y< 3. (2)∵|y- 3|-|x- 3| =?

??1- 3??x- 3?? ?-|x- 3| 1+x ? ?
3-1 3-2-x -1)=|x- 3|( ), 1+x 1+x

=|x- 3|(

∵x>0, 3-2<0,|x- 3|>0, ∴|y- 3|-|x- 3|<0, 即|y- 3|<|x- 3|.∴y 比 x 更接近于 3. 12. [2013· 南昌调研]已知 x+y>0,且 xy≠0. (1)求证:x3+y3≥x2y+y2x; x y m1 1 (2)如果 2+ 2≥ ( + )恒成立,试求实数 m 的取值范围或值. y x 2 x y 解:(1)∵x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且 x+y>0,(x-y)2≥0, ∴x3+y3-(x2y+y2x)≥0. ∴x3+y3≥x2y+y2x.
3 3 x2-xy+y2 x y m1 1 m x +y (2)(ⅰ)若 xy<0,则 2+ 2≥ ( + )等价于 ≥ = , y x 2 x y 2 xy?x+y? xy

x2-xy+y2 ?x+y?2-3xy -3xy 又∵ = < =-3, xy xy xy 即 x3+y3 <-3,∴m>-6; xy?x+y?

3 3 x2-xy+y2 x y m1 1 m x +y (ⅱ)若 xy>0,则 2+ 2≥ ( + )等价于 ≤ = , y x 2 x y 2 xy?x+y? xy

x2-xy+y2 2xy-xy x3+y3 又∵ ≥ =1,即 ≥1,∴m≤2. xy xy xy?x+y? 综上所述,实数 m 的取值范围是(-6,2].



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