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一元三次函数性质与图象探索



一元三次函数性质与图象探索
高中部 宋润生 我们已经学习了一次函数 , 知道图象是单调递增或

单调递减, 在整个定义域上不存在最大值与最小值, 在某一区间 取得最大值与最小值.那么,是什么决定函数的单调性呢?利用已学过 的知识得出:当 k>0 时函数单调递增;当 k<0 时函数单调递增;b 决定 函数与 y 轴相交的位置. 接着,我们同

样学习了二次函数 下: ,图象大致如

图1

图2

利用已学知识归纳得出:当

时(如图 1),在对称轴 上取得最小值

的左

侧单调递减、右侧单调递增,对称轴 当 时(图 2),在对称轴



的左侧单调递增、右侧单调递减,对

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称轴

上取得最大值

.在某一区间取得最大值与最小

值.其中 a 决定函数的开口方向,a、b 同时决定对称轴,c 决定函数与 y 轴相交的位置. 三次函数 的图象有六类.如图:

图3

图4

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图5

图6

图7

图8 , ,整个

分析:由图 3 函数有哪些特点呢?归纳:解析式是 整个定义域上函数单调递增,在图 4 中解析式是

定义域上函数单调递增减.整个定义域上不存在极值,函数必经过原 点.单调性又与什么知识相关呢?导数,现在求出函数 ,验证 的图象在 的图象在 , 根据图象知道, 在 与 0 的关系,当 是单调递增;当 时, 时, 的导数是 即 即

是单调递减相一致.当 处不是函数 f(x)的极值点. 所以

的根是函数取得极值的必要不充分条件.现在思考并验证函数 与函数 出:函数 图象有什么关系?经过验证得 与
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相同,当

时函数 单位;当 时函数

图象是 图象是 的导数都是 .

图象向上平移|d|个 图象向下

平移|d|个单位;函数 在图 5 中解析式是 增.在图 6 中解析式是

, 整个定义域上函数单调递 ,整个定义域上函数单调 的导数 ,经 的 即 ,所以

递增减.整个定义域上不存在极值.函数 过验证在图 5 中因为 图象在 即

,所以

是单调递增;在图 6 中因为 的图象在

是单调递减;函数都不存在极大值 ,在图 6 中 a<0、 呢?a>0、 是二次函数, ,导数 或 a<0、 时 函

或极小值. 为什么在图 5 中 a>0、 或 a<0、 当 a>0、

是又有什么结果呢?因为导数 或 a<0、 时判别式 有一个根.当 a>0、

数不小于 0,方程 ,方程 想如果 ,那么

有两个根.那么函数图象有什么特点呢?猜 有两根,函数 f(x)应有增也有减,我们来验

证一下图 7、图 8: 在图 7 中解析式是 上函数单调递增,在 得极大值,在 ,在 上函数单调递减;在 或 处取

处取得极小值;在图 8 中解析式是 ,在 或 上函数单调递减, 处取得极



上函数单调递增;在

处取得极小值,在

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大值,它们在 是

上最大值和最小值.为什么呢?函数 ,设 的两根是 ,当 的图象在 上

的导数 并且令 或

.经过验证在图 7 中,因为 时 或 ,所以 是单调递增;在 的图象在 因为 ,当 的图象在 在 上 ,所以 或 或

,所以

是单调递减.在图 8 中, 时 ,所以 是单调递减; 的图象在

是单调递增. 经过上述探索知道,函数在整个定义域上是单调递增(递减),左 右都增中间递减,还是左右都减中间递增,是由 a 确定,b、c 确定函数 有没有极值、d 确定函数与 y 轴的交点.并且函数单调递增(递减)有 没有极值与 判别式 相关,具体归纳如下性质: 设 函数 知: 时导数的图象 时导数图象 的导数是 的判别式为: 则 由导数 , 的图象可 的导函数 的

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图9 函数 f(x)图象

图 10

图 11

图 12

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三次函数 f (x)在 R 上是单调函数,(无极值) 时 的两根为 且 导数图象

图 13 函数 f (x)图象 函数 f (x)图象

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图 14 时 在 或 处 单调递增; 取得极大值

图 15 在 ,在 处

1、

单调递减(如图 14)在 取得极小值 时 . 在

2、

或 处

单调递减; 取得极小值

在 , 在 处

单调递增, (如图 15)在 取得极大值 .

注意:三次函数 f(x)有极值 三次函数图象的对称性: 三次函数

导函数

的判别式 >0

的图象是中心对称图形,其对 的

称中心是(-b/3a,f(-b/3a)).(三次函数 图象经过平移后能得到奇函数图象,可以用待定系数法求得) 三次函数 的图象对称轴上. 若三次函数 是两个极值点的中点. 根据以上性质可以灵活解决三次函数问题: 例 1、 设 , 讨论关于 x 的方程
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的图象的对称中心在其导函数

有极值,那么它的对称中心

的相异实根的个数?

解:分析:要讨论方程根的个数,直接求解非常困难,根据题意, 需把方程转化为函数问题,即方程变成 这转化为讨论函数 函数 函数 (1)当 只有一个根. (2)当 有两个根. (3)当 时,函数 与 有三个交点,方程有三个根. 或 时,函数 与 只有两个交点,即方程只 的导数 的极大值是 或 时,函数 与 ,设 ,

交点的个数. 的两根为 ,函数 与 的极小值是

(如图 16) ,

只有一个交点,即方程

图 16 例 2、已知函数 f(x)取得极值 .
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是 R 上的奇函数,当



(1)求 f(x)的单调区间和极大值;

(2)证明对任意 ,

,不等式

恒成立. ,函数 f(x)的导数

解:(1)函数 f(x)是奇函数,所以 依题意得, 所以 导数 时,函数 f(x)单调递增; 时,函数 f(x)单调递减;所以 (2)如图 17 对任意 , , 解得

,(如图 17)



, 函数 f(x)单调递减,所以

图 17 一般地 且 任意 时,在 处 都有 在导数 ;在 处 有两根 ,对

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我们利用研究函数的性质的方法和导数知识能够轻松研究三次(高 次)函数的性质,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,充分利用 好导数知识,能更有效解决三次函数的极值、对称性、证明不等式等问 题找到较好的解决办法.

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