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数学归纳法 训练案



2015—2016 学年度高二数学导学案

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《数学归纳法》训练案
班级: 小组: 姓名: 教师评价:

【学习目标】 1.熟练掌握数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2.通过对基础题组及

提升题组的探究,总结出应用数学归纳法的规律和方法。 3.经历“观察-归纳-猜想-证明”的思维过程,感受数学的严谨性。 【基础题组】 1 、用数学归纳法证明: 1 ? ( ) A、1 2、证明 1 ? 的项数是( A、1 B、 1 ?

1 1 1 ? ?? ? n ? n(n ? 1) 在验证 n ? 2 成立时,左式是 2 3 2 ?1
C、 1 ?

1 2

1 1 ? 2 3

D、 1 ?

1 1 1 ? ? 2 3 4

1 1 1 n ? ??? n ? (n ? N ? ) ,假设 n=k 时成立,当 n ? k ? 1 时,左端增加 2 3 2 ?1 2
) B、k-1 项 C、k 项 D、

2k 项

3、某个与自然数 n 有关的命题,若 n ? k 时,该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时,该 命题也成立, 现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( ) A、当 n ? 6 时该命题不成立 B、当 n ? 6 时该命题成立 C、当 n ? 4 时该命题不成立 D、当 n ? 4 时该命题成立 【提升题组】 1、用数学归纳法证明: x2n?1 ? y 2n?1 (n ? N? ) 能被 x ? y 整除;

2、证明:平面上 n 个圆最多把平面分成 n ?n ? 2 个区域.
2

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3 、 已 知 数 列

?an ?

的 第 一 项 a1 ? 5 且

Sn?1 ? a n (n ? 2, n ? N? )
(1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)写出 an 的表达式,并用数学归纳法证明 ?an ? 通项公式.

【课外延伸】
数学归纳法的由来 最 早 的 使 用 数 学 归 纳 法 的 证 明 出 现 于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo ( 1575 年).Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2,由此揭开了数学归纳法之谜. 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当 n 属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法是由下面两 步组成:递推的基础:证明当 n=1 时表达式成立.递推的依据:证明如果当 n=m 时成立,那么当 n=m+1 时 同样成立.这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的 ,然后证明一个值到下一个值的证明 过程是有效的 . 如果这两步都被证明了 , 那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中 . 或许想成多米诺效应更容易理解一些 ,如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定: 第一张骨牌将要倒下,只要某一个骨牌倒了,与之相邻的下一个骨牌也要倒,那么你就可以推断所有的的骨牌 都将要倒.这样就确定出一种递推关系,只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下: ( 1)第一块骨牌倒 下; (2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下.这样,无论有多少骨牌,只要保证(1) (2)成 立,就会全都倒下.解题要点: 数学归纳法解题过程中,条件一定为: 假设.因此,推论中的假设不能作为已知的 条件,在接下来的推导过程中就不能直接将 n=k+1 代入假设的原式中去.需要将 k+1 代入到原有已知式中, 进一步推广得到与原来式有相同结构的表达式.通俗地说就是结构相同,原本 k 的地方可以完全用 k+1 替换.

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