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2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题



2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只 要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x

| x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 2.已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 ,且 a 2 , a 4 , a 5 成等差数列,则

1



a1 ? a 4 ? a 7 ? a3 ? a6 ? a9

3? 5 . 2

3.函数 f ( x) ?

x ?1 的值域为 [0, x ? 4x ? 7
2

6 ]. 6
1 . 3

4.已知 3 sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 1 , 3(sin? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? ? 5.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数,
? an ? , a n 为偶数, a n ?1 ? ? 2 ? ?3a n ? 1, a n 为奇数,

如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 a1 ?

5



6.在△ ABC中,角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a ? c ? 2b ,且 C ? 2A ,则 sin A ?

7 . 4
p q

7.在△ ABC中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC的内心, 若 AO ? p AB ? q AC ,则

的值为

3 . 2
-5 .

5 5 8.设 x1 , x 2 , x3 是方程 x 3 ? x ? 1 ? 0 的三个根,则 x15 ? x 2 的值为 ? x3

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9 . 已 知 正 项 数 列 {a n } 满 足
2 an an ?1 ? an an? 2 ? 4 an an? 1? an ? 1? 3 an an ? 1且 a1 ? 1 ,

a2 ? 8 ,求 {a n } 的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以 an an?1 ,得 1 ?
a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an

所以

1?

an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an

------------------------------------------4 分 令 bn ? 1 ?
a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {bn } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比数 an









bn ? b1 ? 4 n?1 ? 4 n

.

------------------------------------------8 分 所 以
1? a n ?1 ?1 ? 4n an

,



a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n

.

------------------------------------------12 分 于是,当 n ? 1 时,
a n ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1]a n?1 ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1] ? [(4 n?2 ?1) 2 ?1]a n?2
? ? ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1]a1 ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1] ,
k ?1 k ?1 n ?1 n ?1





,

n ? 1, ?1, ? n ?1 an ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1], n ? 2. ? ? k ?1

?

------------------------------------------16 分 10.已知正实数 a , b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的最小值. 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m?

?
2

,则

cos3 ? ? sin3 ? ? 1 (cos? ? sin? )(cos2 ? ? cos? sin? ? sin2 ? ) ? 1 ? . -----------------------------(cos? ? sin? ? 1) 3 (cos? ? sin? ? 1) 3

----------5 分 令
x ? cos ? ? sin ?





x ? 2 sin( ? ? ) ? (1, 2 ] 4

?





x 2 ?1 c ? so ? ? is n .------------------------------10 分 2 于是
x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2

----------------------

--------15 分 因为函数 f ( x) ? 因
f ( 2) ?
3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 2( x ? 1) 2


3 2 ?4 . 2



m











------------------------------------------20 分

11.设 f ( x) ? log a ( x ? 2a) ? log a ( x ? 3a) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 .若在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. 解

f ( x )? l oagx 2(? ax5 ? a 26? )

a

5a a2 lx o? g [ ( 2? ). 2 4

]

由?

5a 3 ? x ? 2a ? 0, 3 ? (a ? 2) ? 0 , 得 x ? 3a ,由题意知 a ? 3 ? 3a ,故 a ? ,从而 (a ? 3) ? x ? 3 a ? 0 , 2 2 2 ?






5a g ( x ?) x ? ( 2

2

a2 ? ) 在 4





[a ? 3, a ? 4]











.

------------------------------------------5 分 (1)若 0 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减,所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的 最大值为 f (a ? 3) ? loga (2a 2 ? 9a ? 9) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a 2 ? 9a ? 9) ? 1 成立,从而
2a 2 ? 9a ? 9 ? a ,解得 a ?


0 ? a ?1 .

5? 7 5? 7 或a? . 2 2 合

0 ? a ?1 ------------------------------------------10 分



(2)若 1 ? a ?

3 ,则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增,所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 2

的最大值为 f (a ? 4) ? loga (2a 2 ? 12a ? 16) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a 2 ?12a ? 16) ? 1 成立,从 而 2a 2 ? 12a ? 16 ? a ,即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ,解得 易 合. 综 上 可 知
13 ? 41 13 ? 41 . ?a? 4 4

13 ? 41 3 , 所 以 ? 4 2 ------------------------------------------15 分









a













(0,1) .

------------------------------------------20 分



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